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1、第五章 平均指标与标志变异指标,第一节 平均指标一：平均指标的概念、作用和种类（一）平均指标的概念平均指标是反映同质总体各单位某一数量标志值或统一总体指标在不同时间上一般水平的一种综合性指标。有两种不同情况。平均指标不同于强度相对指标。平均指标对比的现象必须是同一总体，也就是说，子项与母项两个总量指标反映同一总体不同的内容，有一种对应性，比如平均工资；而强度相对指标则不同，它是两个不同总体总量指标的对比，如人均收入。,（二）平均指标的作用比较不同国家、地区、单位或部门、行业之间某种现象一般水平的差异。比如平均收入的大小比较同一国家、地区、单位或部门、行业在不同时期某种现象一般水平的发展变化情况
2、。比如平均收入的变化分析现象之间的依存关系。如表51进行有关推算和预测。,（三）平均指标的种类 平均指标有静态平均数和动态平均数之分。静态平均数是反映同质总体各单位在同一时间某一数量标志值上的一般水平。动态平均数反映的是总体指标值在不同时间上的一般水平。本章主要介绍静态平均数，动态平均数在后一章介绍。,根据平均数的数学特征，静态平均数可分为数值平均数和位置平均数。其中，数值平均数是指通过研究总体某一变量的全部值计算而得的平均数，它分为算术平均数、调和平均数和几何平均数三种；位置平均数不是这样，而是根据与其所处的特殊位置有关的部分变量值计算的，如中位数、众数等。,二、平均指标的计算1、算术平均数
3、：是将总体标志总量除以同一总体单位总数得到的平均指标,例如，某企业某月工资总额为280000元，职工人数200人，则该企业职工该月平均工资为：职工平均工资280000/2001400(元)要注意的是，分子的每一个标志值都必须由相应的总体单位来承担。根据所掌握的资料的特点，计算算术平均数时，可以分别采用简单算术平均数或加权算术平均数两种方法来计算。,、简单算术平均数（simple arithmetic mean）：当总体未分组，掌握的是各单位的标志值时，采用以下公式来计算，得到的平均数就叫简单算术平均数。某生产班组有5名工人，各人日产量分别为15、16、17、17、18，则平均每人日产量为(15
4、+16+17+17+18)/5=16.6,、加权算术平均数（weighted arithmetic mean）：如果掌握的资料是分组信息，各组的标志值相同，此时可采用加权计算的方法来计算，得到的平均数就是加权算术平均数。例：某生产班组有10名工人，日产量15件有1人，16件有2人，17件有3人，18件有4人，则平均每人日产量为：,实际工作中，除了用以上公式计算外，还可以直接用比重（即结构相对数）来计算加权算术平均数：见公式（P86）,2、调和平均数(一）简单调和平均数：是指各变量值倒数的算术平均数的倒数,（三）算术平均数与调和平均数的比较两种平均数反映的信息完全一样，只是计算的方法不同而已，如
5、例5-3与例5-4所示。选用哪个计算方法视所掌握资料的特点而定，如果已知了单位数，则选用算术平均数计算，否则选用调和平均数，如例5-3与例5-4当反映总体各单位数量特征的标志值是以相对数或平均数的形式出现时，一般不能采用简单算术平均的方法来计算，而应该先还原成基本形式，再利用公式计算。如例5-5与例5-6所示。,例已知甲、乙、丙三个企业的有关资料如表4-5，要求计算这三个企业的平均计划完成程度。,某银行营业部只有两笔大额贷款,一笔为200万元,年利率10%,另一笔为1000万元，年利率13%,求该营业部大额贷款的平均年利率。,平均计划完成程度,3、几何平均数（geometric mean）几何
6、平均数就是n个变量连乘积的n次方根。它也有加权与不加权之分。,例如，投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，10年的年利率分配是：第1年至第2年为5%；第3年至第5年为8%；第6年至第8年为10%；第9年至第10年为12%，则平均年利率为多少？平均年利率还有，如教材中的例5-8与例5-9几何平均数是一种具有特殊用途的平均数，主要用于一些现象的平均发展速度或平均比率的计算。,4、众数 Mode众数是总体中出现次数最多的标志值。它可以大致说明现象的一般水平。注：如果总体中出现次数最多的标志值不是一个，而是两个，那么就存在复众数。,众数的确定1.单项式变量数列 由单项式变量数列确定众数，可直接观察次
7、数，出现次数最多的标志值就是众数。男鞋尺码销售情况,2.组距数列 由组距数列确定众数，首先要由最多次数来确定众数所在组，然后再用比例插值法计算众数。,例某企业150个工人零件月产量的组距数列为,必须注意的是，利用以上公式计算众数时，是有一定条件的：首先，假定众数一定在众数组；其次，假定组内各单位的分布是均匀的；再次，就是只有一个明显的集中趋势,5、中位数(一)中位数的概念 将现象总体中各单位的标志值按大小顺序排列，位于中间位置的那个标志值就是中位数。中位数有时也可用来代表现象的一般水平。,(二)中位数的确定1.未分组资料中位数的确定方法先对变量值由小到大顺序排列；根据项数n确定中位数的位置，中
8、位数位置=(n+1/2)，n代表总体单位数；根据中位数位置找出中位数。当项数n为奇数，则居于中间位置的那个变量值就是中位数；当项数为偶数，即(n+1/2)为非整数时，位于中间位置的第(n/2)项和第(n/2)+1项的两个变量值的算术平均数就是中位数。,某运动队队员身高的中位数是多少？,2.由单项式变量数列确定中位数步骤是；计算累计次数，累计次数第一次超过(f/2)的那一组即为中位数所在组；与该组对应的标志值即为中位数。其中f为总次数。,某企业工人日产零件数,3.由组距式数列确定中位数由组距数列确定中位数，应先找出中位数所在组，累计次数第一次超过(f/2)的那一组即为中位数所在组，然后再用比例插
9、值法计算中位数的值。,某企业工人日产零件数,三：应用平均指标应注意的问题 1：总体的同质性是运用平均指标的前提 2：用组平均数补充说明总平均数。如表5-13 3：用次数分布的资料补充说明总平均数。如表5-14,第二节标志变异指标一、标志变异指标的概念、意义和种类(一)标志变异的概念 标志变异指标是反映总体各单位标志值之间差异程度的综合指标。平均指标把总体各单位数量标志值间的差异抽象化了，反映现象的一般水平，表明事物的集中趋势。标志变异指标恰好能弥补平均指标的不足，它分析的是总体单位的差异性。,(二)标志变异指标的作用 1、标志变异指标是评价平均数代表性的依据。平均指标代表了总体各单位某数量标志
10、的一般水平，标志变异指标值越大，平均指标的代表性就越小，反之亦然。2、标志变异指标可用来反映社会经济活动过程的均衡性和稳定性。标志变异指标值小，说明社会经济活动过程的均衡性和稳定性好，反之则差。标志变异指标主要有全距、平均差、标准差、标志变异系数。,例：A组：65、68、72、75分 B组：34、51、95、100分A组的总成绩：280分，平均成绩70分B组的总成绩：280分，平均成绩70分,二、标志变异指标的计算(一)全距range全距又称极差，是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，常记为R。全距(R)=最大标志值最小标志值,一般而言，全距的值愈小，则变量值愈集中，表明标志值的变异程度小，
11、反之则愈大。,(二)平均差mean absolute deviation 平均差就是总体各单位的标志值与算术平均数的离差绝对值的平均，它能综合反映总体中各单位标志值的差异程度。1：简单式,例，求甲、乙各组的平均差,（2）加权式在分组资料的情况下用加权平均法,例30 某单位职工的月工资水平分组资料如下表所示：求其平均差的值。,平均差指标能综合反映总体各单位变量值的变动程度，不过由于采用的是绝对值的形式，不适于代数运算，因而实际上应用不多。,（三）标准差（也叫均方差）1、标准差是测定标志变动度最重要的指标，是指总体各单位的标志值与其算术平均数的离差平方和的算术平均数的平方根。标准差的意义与平均差基
12、本相同，但在数学处理上有所不同，它用平方消除了负离差，因而也更科学。,（1）、简单式例32 甲乙两组的成绩分别如下表所示，试分别求其标准差,（2）加权式,例3 某单位职工的月工资水平分组资料如下表所示：求其标准差的值。,（四）离散系数离散系数是指各离散趋势绝对指标(比如全距、平均差、标准差)与其相应的平均数之比。比如极差系数、平均差系数、标准差系数(又叫变异系数)等。前面几种指标均是以绝对数形式来反映标志的变动程度，其大小不仅取决于各变量值的大小，也受计量单位的影响，为了解决上述绝对指标的不足，有必要计算离散系数。标准差系数计算公式：,例为比较两个不同城市居民家庭收入的差异程度，现从甲市任抽100户，得其平均年收入是42000元，年收入的标准差是38060元；从乙市任抽150户，得其平均年收入是62000元，年收入的标准差是50980元。试比较两市家庭的收入差异.,（五）交替标志的标准差当将总体单位可以划分为具有这个标志和不具有这个标志两种类型时，这种标志就称为交替标志。统计学上除数量标志外，有时也研究一些交替标志的数量特征，比如计算其平均数和标准差。此时必须先量化其标志值，一般用“0”和“1”来表示，其计算过程与数量标志一样。如p109所示。,课外作业：一：思考题 4；6；10 二：练习题 3;5,
