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1、第五章 晶体中电子在电场和磁场中的运动,5.1 晶体中电子的速度、加速度和有效质量5.2 稳恒电场作用下晶体电子的运动 5.3 导体、半导体和绝缘体的能带论解释5.4 德哈斯范阿尔芬效应,5.1 晶体中电子的速度、加速度和有效质量,本节主要内容：,5.1.1 波包和电子速度,5.1.2 电子的加速度和有效质量,5.1.1 波包和电子速度,粒子(例如电子)空间分布在 附近的 范围内，动量取值为 附近 范围内；满足测不准关系。把波包中心 称为该粒子的位置，称为该粒子的动量。,波包：,晶体电子在波矢 状态的平均运动速度，相当于以 为中心的波包移动的速度。,自由电子波包：德布罗意波组成。,晶体周期性势
2、场中的电子波包：布洛赫波组成。,波包中心移动的速度为:,5.1.2 电子的加速度和有效质量,如果有外力 作用在电子上，显然在dt时间内，外力对电子将作功，其值为：,1.加速度,能带 中的晶体电子的运动速度：,一维：,根据功能原理得：,电子的准(赝)动量。,由电子的平均速度即可求出它的平均加速度。,电子加速度公式用矩阵表示为,2.电子有效质量,上式与 形式类似，只是现在一个二阶张量代替了，称其为倒有效质量张量。,倒有效质量张量的分量为：,选kx,ky,kz轴沿张量主轴方向，则有：,这时倒有效质量张量是对角化的。,下面以一维情况为例对电子有效质量进行简单的讨论。,(1)有效质量反比于能谱曲线的曲率
3、，,(2)有效质量是k的函数，在能带底附近总是取正值；在能带顶附近总是取负值。,例1：以体心立方晶格，紧束缚近似下的s能带为例，讨论有效质量的特点。,。,解：由紧束缚近似可得体心立方s能带的能量表达式：,在能带底部，kx=ky=kz=0处，,在能带顶部，,而在 处，,都变成,晶体中电子的有效质量为什么可能为负值？甚至还会变成无穷大呢？,晶体中的电子除受外力作用外，还和晶格相互作用。,设电子与晶格之间的作用力为，则牛顿定律简单记为,也就是说电子的有效质量m*本身已概括了晶格的作用。,将冲量用动量的增量来代换，上式化为：,二式比较得：,从上式可以看出，当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量
4、时，有效质量m*0；当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，m*0；当电子从外场获得的动量全部交给晶格时，m*，此时电子的平均加速度为零。,有效质量m*是固体物理学中的一个重要概念。,(1)m*不是电子的惯性质量，而是在能量周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量；,（2)m*不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是一个张量，只有特殊情况下，它才可化为一标量的形式；,（3)m*可以是正值，也可以是负值，特别有意义的是：在能带底附近，m*总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子交给晶格的动量，而在能带顶附近，m*总是负的，表示电子从外场得到的动量
5、少于电子交给晶格的动量。,有效质量与准动量都是人为定义的，用来描述晶体中电子的粒子性。用这些概念，处理晶体中电子的输运问题，可以把布洛赫电子看成是具有质量m*、动量为 的准电子，使我们能够只考虑外力作用下这样的准电子的运动。由于通常晶体周期场的作用是未知的，也不象外力那么容易求出，所以引入这两个量，给处理问题带来很大的方便。,例题 2 对于简单立方晶体，在紧束缚近似下计算s能带状态电子的速度和有效质量。,解：紧束缚近似下，简单立方晶体的s能带函数为:,状态k的电子速度:,对于倒有效质量张量，容易计算得到非对角元为零，即:,即倒有效质量张量是对角化的，轴沿着张量的主轴方向,在能带底，有效质量张量
6、为：,有效质量张量退化为标量。在能带底，晶体电子的有效质量大于零。,在能带顶，有效质量为:,晶体电子在能带顶的有效质量小于零。,例题3 在紧束缚近似下，计算一维单原子链s态电子的能带函数、能带电子的速度和有效质量。,解：,任选一个原子为原点，最近邻2个原子位置矢量的坐标分别是：计算得：,电子速度：,倒有效质量为：,作业：1、一个晶格常数为a的二维正方晶格，求：（1）用紧束缚近似求S能带表示式，能带顶及能带底的位置及能带宽度；（2）带底电子和带顶空穴的有效质量；（3）S带电子的速度表示式。2、已知一维晶体的电子能带可写成 其中a为晶格常数，求：（1）能带宽度；（2）电子在波矢K状态的速度；（3）带顶和带底的电子有效质量。,
