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1、5-1,第五章 线性参数的最小二乘法处理,5-2,设有一金属尺，在温度t时长度可表示为yt=y0（1+t）,其中，y0为温度零度时的精确长度。为金属材料的线膨胀系数，求y0与的最可信赖值及其精度估计。,设a=y0，b=y0,则有yt=a+bt。在理论上，有,引题:求标准米尺线膨胀系数,从中任选两个方程可解得a、b,从而确定y0、。,线性参数的最小二乘法处理,由于测量误差的存在，需要n2,5-3,但是事实上，不可避免地存在测量误差。设在t1，t2，t3.tn温度条件下分别测得金属尺的长度是l1，l2，l3.ln，则有误差方程,最小二乘法,a、b及 y0、,线性参数的最小二乘法处理,5-4,几何解
2、释,对应于ti的测量数据li,i=1,2,n,t1 t2 tn,残余误差：,a、b的最可信赖值,为什么？怎样求a 和b？精度估计？,线性参数的最小二乘法处理,5-5,第一节 最小二乘法原理 第二节 正规方程 第三节 精度估计 第四节 组合测量的最小二乘 法处理,线性参数的最小二乘法处理,5-6,大纲要求,掌握最小二乘原理。掌握正规方程:等精度测量线性参数的最小二乘处理 不等精度测量线性参数的最小二乘处理掌握最小二乘精度估计方法。,线性参数的最小二乘法处理,5-7,若测量数据,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为,则各测量结果 出现于相应真值附近 区域内的概率分别为：,
3、第一节 最小二乘法原理,各误差相互独立，由概率乘法定理，各测量数据同时分别出现在相应区域的概率应为：,理论分析,5-8,等精度测量：,根据概率论的最大或然原理，由于测量值 已经出现，有理由认为这n个测量值出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有,由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应为,引入权pi,理论分析,第一节 最小二乘法原理,5-9,必须指出:上述最小二乘原理是在测量误差无偏、正态分布和相互独立的条件下推导出的，但在不严格服从正态分布的情形下也常被使用。实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。,最小二乘原理:测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和（或加权残
4、余误差平方和）最小。,第一节 最小二乘法原理,5-10,为确定t个不可直接测量的未知量 的估计量，可对与该t个未知量有函数关系的直接测量量Y进行n次测量，得测量数据（nt）并设有如下函数关系：,设直接量Y1,Y2,Yn的估计量分别为y1,y2,yn，则有：,第一节 最小二乘法原理,5-11,误差方程(残差方程)：,最小二乘法,等精度测量：,不等精度测量：,第一节 最小二乘法原理,5-12,矩阵形式,实测值矩阵,估计值矩阵,残差矩阵,误差方程系数矩阵,矩阵形式,误差方程,第一节 最小二乘法原理,5-13,误差方程的矩阵形式,其中：,矩阵形式,第一节 最小二乘法原理,5-14,矩阵形式,不等精度,
5、等精度,第一节 最小二乘法原理,5-15,第二节 正规方程,一、等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程二、不等精度测量线性参数最小二乘法的正规方程三、非线性参数最小二乘法处理的正规方程（略）四、最小二乘法与算术平均值的关系,5-16,正规方程,为了获得更可靠的结果，测量次数n总要多余未知参数的个数t，即所得误差方程式的个数总要多余未知数的个数。一般代数解方程法无法求解。最小二乘法可由误差方程得到有确定解的代数方程组，从而求解未知参数。这个具有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程。（或称为法方程）,5-17,线性参数最小二乘法处理程序,根据问题列出误差方程式按最小二乘法原理，利用求极值
6、的方法由误差方程得到正规方程求解正规方程，得到待求估计量给出精度估计,5-18,第二节正规方程,一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程,且,连续多元函数I(x1,x2,xn)的极值条件,5-19,正规方程,第二节正规方程,5-20,看正规方程组中第r个方程：,则正规方程可写成,即,正规方程的矩阵形式,5-21,将代入，得,矩阵形式,第二节正规方程,5-22,的数学期望,这里Y=Y1,Y2,YnT,X=X1,X2,XnT,C=ATA,可见 为X的无偏估计。,第二节正规方程,5-23,例1 已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为获得时铜棒的长度 和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜棒的长
7、度，如下表，求，的最可信赖值。,例题,解：,1）列出误差方程,5-24,按照最小二乘的矩阵形式计算,则有：,令 为两个待估参量，则误差方程为,5-25,那么：,5-26,例2 在串联谐振回路中，已知Y=L1/C,式中，Y，L，C分别是外加电信号的角频率和回路的电抗、电感、电容，不同角频率时的电抗测量值li如下表，求L、C的最可信赖值。,例题,第二节正规方程,5-27,解：令b=-1/C，则有误差vi=li-(Li+b/i)。L、b是两个待估计参数。正规方程为,例题,第二节正规方程,5-28,例题,解得,第二节正规方程,5-29,作代换：,二、不等精度测量线性参数最小二乘法处理的正规方程,把不等
8、精度测量线性参数最小二乘法处理转化为等精度测量问题。,5-30,由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程：,5-31,整理得：,5-32,即,不等精度的正规方程,将代入上式，得,（待测量的无偏估计）,5-33,例5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差：,试求 的最可信赖值。,解：首先确定各式的权,第二节正规方程,5-34,作代换：,第二节正规方程,5-35,例题,x1=4.186x2=2.227,第二节正规方程,5-36,三、非线性参数最小二乘处理的正规方程,针对非线性函数,其测量误差方程为,令，现将函数在 处展开，则有,5-37,将上述展开式代入误差方程，令,则误差方程转化为
9、线性方程组,于是可解得，进而可得。,近似值,5-38,四、最小二乘法与算术平均值的关系,为确定一个量X的估计值x，对它进行n次直接测量，得到n个数据,相应的权分别为，则误差方程为,运用最小二乘法的正规方程为,有误差方程知ai=1，因此有,这正是不等精度测量的加权算术平均值！,算术平均值原理可以看作是最小二乘法原理的特例。,5-39,第三节 精度估计,给出估计量x1,x2,xt的精度。,5-40,第三节精度估计,一、测量数据精度估计,(一）等精度测量数据的精度估计,可以证明 是自由度为(nt)的 变量。,对包含t个未知线性参数的Y()进行n次等精度测量得l1,l2,ln，由残差 v1,v2,vn
10、得标准差的估计量。,根据 变量的性质，有,vi互相独立，且服从正态分布,5-41,则可取,作为 的无偏估计量。,因此测量数据的标准差的估计量为,当t=1时？,第三节精度估计,5-42,例5.2试求例2中电抗的测量精度,解：已知残余误差方程为：vi=li-(0.182i-1/2.2i)。,第三节精度估计,5-43,(二)不等精度测量数据的精度估计,一、直接测量数据 的精度估计,测量数据的单位权标准差,当t=1时？,第三节精度估计,5-44,二、最小二乘估计量 的精度估计,最小二乘法所确定的估计量x1,x2,xt的精度取决于测量数据l1,l2,ln的精度和线性方程组所给出的函数关系。,第三节精度估
11、计,5-45,二、最小二乘估计量 的精度估计,1、等精度测量时估计量的精度估计,设有nn协方差矩阵,这里，Dlii为li的方差,Dlii=E(li-Eli)2=i2；Dlij为li与lj的协方差,Dlij=E(li-Eli)(lj-Elj)=ijij,ij.,若l1,l2,ln是等精度独立测量的结果，则有,且相关系数ij。,第三节精度估计,5-46,对于估计量x1,x2,xt，其协方差矩阵为,二、最小二乘估计量 的精度估计,第三节精度估计,5-47,二、最小二乘估计量 的精度估计,设,因此，有,第三节精度估计,5-48,解：已知正规方程为,例5.3 试求例题5.1中电感和电容估计量的精度。,有
12、,估计量L、b的标准差为,测量数据的标准差为,=0.0716,而C=-1/b，,C=?,第三节精度估计,5-49,二、最小二乘估计量 的精度估计,2、不等精度测量估计量的精度估计,第三节精度估计,5-50,第四节组合测量（combined measurement）的最小二乘法处理,5-51,组合测量基本概念,组合测量是通过直接测量待测参数的各种组合量（一般是等精度测量），然后对这些测量数据进行处理，从而求得待测参数的估计值，并给出其精度估计。,第四节组合测量的最小二乘法处理,例如要测量x,y,z三个量，可以采用如下组合测量,组合测量的优点是既能提高测量精度又能减少测量次数。若x,y,z三个量单
13、独测量，每个测量4次的话，总共需测12次。若用组合测量，三个量都还是各测了4次，但总测量次数只有7次，较前减少了5次，而又能达到同样的目的。,x=l1y=l2z=l3 x+y=l4y+z=l5x+z=l6x+y+z=l7,5-52,组合测量基本概念,通常组合测量数据是用最小二乘法进行处理，它是最小二乘法在精密测试中的一种重要应用。,t个被测量(t1),n个误差方程式,求解,n种组合(nt),测得,最小二乘法,第四节组合测量的最小二乘法处理,5-53,【例题】,要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离x1,x2,x3.已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求x1,x2,x
14、3 及其标准偏差。,第四节组合测量的最小二乘法处理,5-54,直接测量各组合量Li，得,首先列出误差方程,第四节组合测量的最小二乘法处理,5-55,由于,由此可得：,第四节组合测量的最小二乘法处理,5-56,则有,第四节组合测量的最小二乘法处理,5-57,那么，,测量数据 的标准差为,将最佳估计值代入误差方程中，得到,求估计量的精度估计,第四节组合测量的最小二乘法处理,5-58,由,则最小二乘估计量 的标准差为,求估计量的精度估计,第四节组合测量的最小二乘法处理,得知,5-59,例5.5 测量平面三角形的三个角，得A48o510”,B60o2524”，C70o427”。假设各测量值权分别为1，
15、2，3，求A、B、C的最佳估计值。,第四节组合测量的最小二乘法处理,解：本例有一个约束条件：A+B+C180o这类约束条件容易消去，将C180o-(A+B)代入即可。,列出不等精度测量方程组 A48.0933,pl1 B60.4233，p22 A+B109.298，p33,例题,5-60,第四节组合测量的最小二乘法处理,不等精度组合测量的正规方程为,例题(求被测量最佳估计值),解得 A=48.5195,B=60.6364,即有,而 C=180o-(A+B)=70.8441,5-61,第四节组合测量的最小二乘法处理,例题(精度估计),误差方程：vl=48.0933-A=-0.4262v2=60.4233-B=-0.2131v3=109.298-(A+B)=0.1421,测量数据的单位权标准差为,d11=5/11=0.4545,d22=4/11=0.3636,C=?,C180o-(A+B),角度A、B的标准差为,5-62,组合测量的特点,优点：精度较高。组合形式越多（n越大），测量结果的精度就越高。,应用：在精密测量工作中有十分重要的地位，如标准器的检定。,第四节组合测量的最小二乘法处理,
