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1、第八章 数学悖论及其意义,悖论的起源已久，至今是一个涉及自然与社会科学中许多学科的论题由于数学的发展是充满着矛盾的历史，因此，数学中出现悖论是不可避免的，甚至还可以这样说，数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理这里，首先给出悖论的定义并列举历史上重要的悖论，然后对数学史上所谓三次危机作一个简要介绍。,1 悖论的定义和常见的悖论,值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理
2、论体系中，却不能自圆其说。,一、悖论的定义,我们采用徐利治教授主张的弗兰克尔和巴-希勒尔的说法“如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矿矛盾的命题，或是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说，这个理论包含了一个悖论。”,简言之，,在这个定义中，首先指明了任何一个悖论总是相对于某一理论系统而言的。,比如，著名的罗素悖论是一个被包含在古典集合论系统中的悖论。其次又指出一个悖论可以表现为某一理论系统中两个互相矛盾的命题的形式。不过从悖论的起源以及历史上一些著名的悖论来说，不一定都符合我们这个定义，它们有的是由于新概念的引入而违背
3、了具有历史局限性的传统观念，例如希帕索斯无理数的发现。有的是在推理过程看上去是合理的，但推理的结果却又违背客观实际。例如芝诺悖论。,二、常见的悖论,1、理发师悖论,李家村上所有有理发习惯的人分为两类，一类是自己给自己理发的，另一类是由别人给他理发的。这个村上有一位有理发习惯的理发师自己约定：“给且只给村里自己不给自己理发的人理发。”现在问：这位理发师属于哪一类的人？,2、罗素悖论（集合论悖论）,这是罗素在1903年提出的悖论。叙述如下：,3、康托悖论,这个悖论是康托1899年发现的。现叙述如下：,4、说谎者悖论,“我在说这句话时正在说谎”，试问这句话是真话还是假话？,分析如下：,若设它是真话，
4、则因这句话（它是真话）也是出自我之口，故按此话（我在说这句话时正在说谎）的论断，可知这句话（它是真话）也是说谎，即这句话是假话；若设它是假话，则因这句话（它是假话）也是出自我之口，故按此话的论断，可知这句话（它是假话）也是说谎，即这句话是真话。故由它的真（假）导致它的假（真），总是矛盾的，这就是悖论。,1947年设计出了世界上第一台用于解决逻辑问题的计算机，当用它来判断这个“说谎者悖论”，即判断：语句：“我在说这句话时正在说谎”是真，是假时，这时只见“计算机发狂”了似的反复不断地打出：对、错、对、错。,关于这个悖论的由来是这样的：,公元前6世纪，希腊的克里特人发现一个实际上没有构成现代意义下的
5、悖论的悖论。其原始命题是：一个克里特人说：“所有的克里特人所说的每一句话都是谎话。”由于从假设这句话为真会导出它的假，而由它的假并导不出矛盾来。这样构不成现代意义下的悖论，不过它的确是古代著名的悖论，连西方的圣经新约中也用这个悖论。它是悖论的历史起源的典型例子。,以上所举是逻辑（集合论）悖论和语义学悖论的典型例子。由于科学的发展，各个领域中出现许多思维的、推理不清的问题，过去人们都称之为悖论，现在看来可能不一定是悖论。,5、梵学者的预言,印度预言家的女儿要想捉弄父亲，一天在纸上写下一句话（一件事），让她的父亲预言这件事在下午3时以前是否发生，并在一个卡片上写“是”或“不”。这位预言家果然在卡片
6、上写了一个“是”字。他女儿在纸上写的一句话是：“在下午3点钟之前，你将写一个不字在卡片上”。,事实上：,他在卡片上写“是”或“不”都是错误的，他根本不可能预言对。因为如果他写个“是”字，这就与他的女儿在纸上说她的父亲将写一个“不”字不相符合，也就是说他预言不对；如果他写个“不”字，也就是说，在下午3点钟以前，你的确写了一个“不”字在卡片上，那怎么能说“不”呢？而应该说“是”才对啊！,6、蠕虫爬橡皮绳,一条蠕虫在一km长的橡皮绳一端以1cm/s的匀速向另一端爬行，而橡皮绳却以每秒（均匀）伸长1km,如此下去，试问蠕虫会不会看到橡皮绳的另一端点？,7、上帝全能悖论,8、芝诺悖论,公元前496430
7、年间埃利亚（意大利南部一个城市）学派中心人物芝诺，他反对毕氏学派企图用“单子说”来解决“线段不可通约”的问题。（毕氏对不可通约的线段用一种如此之小的度量单位，以致本身是不可度量的（即长度为0）却又要保持为一种单位，称作单子。用单子来度量它们，也就是以无穷小线段去公度正方形的边和对角线）。芝诺提出“单子本身是否有长度”的问题，并认为无穷小若有长度，则无限个相连接为无限大；无穷小若无长度，则无限个相连接仍是没有长度。芝诺还提出了著名的几个悖论。,（1）阿（基）里斯悖论,阿里斯是荷马（公元前1000年）史诗伊里亚特中一位善跑的英雄。假设阿里斯跑的速度是乌龟的10倍，而乌龟在阿里斯前面100米。当阿追
8、到100米时，乌龟前进了10米，阿又追上10米，乌龟又前进1米。阿又追上1米，乌龟又前进了0.1米。如此下去，阿里斯只是越追越近，但始终追不上乌龟。,（2）箭的悖论（飞矢不动）,“飞矢在每一个瞬间都占有一个特定位置，它在这一瞬间是不动的。每个瞬间都不动，无限个不动的瞬间总和还是不动的。所以飞矢不动”。,2 悖论的意义,数学拥有美的内容，也存在着“丑”的东西，数学悖论就是一种“丑”的表现，追求数学美能促进数学发展，同样地，为了消除它的“丑”也必能推动数学自身的发展，数学三次危机的克服对数学发展的推动作用，就是历史的事实。,一、数学第一次危机,公元前5世纪左右为古希腊毕达哥拉斯学派的兴盛时期，他们
9、认为“万物皆数”，“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”。他们发现并证明了勾股定理。,约公元前400年一个希腊人，毕氏学派的弟子希帕索斯发现了“等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约”。这个发现，在当时成为荒谬和违背常识的事，不仅触犯了毕氏学派的信条，而且也冲击了当时希腊人的普遍见解。因此在当时要求人们接受这种“荒谬”、违背常识的事实是多么困难的事啊！于是也看作是一种悖论。这个事实以及芝诺疑难就成为数学史上的第一次危机。危机的消除：,二、数学第二次危机,在希腊的后期，除了研究直线、折线的长度、直线形的面积外，还讨论过曲线的长度和曲线形的面积问题。经过中世纪和文艺复兴，直到十七、八世纪，人们
10、发现下列问题需要处理：已知路程函数，求速度以及它的逆问题；求一曲线的切线；求一函数的极值。,在研究上述问题过程中逐步产生了微积分，特别是牛顿和莱布尼茨的功绩，使得微积分理论和应用得以飞速发展。但是另一方面，微积分理论却建立在当时还是含糊不清的无穷小概念上。比如牛顿的流数（流数是指流量生成的速度变化率）法。在牛顿的流数法的整个过程中，人们到底把自变量的增量看作零还是不看作零？怎么能用它去作除法运算呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的项去掉呢？所以在牛顿的这个推导过程中存在着逻辑上的自相矛盾。,这样由于微积分当时缺乏牢固的理论基础，英国在主教贝克莱便对微积分大肆攻击：“既不是有限量，也不是无穷小，
11、但又不是无”、“是消失了的量的鬼魂”。贝克莱是出于恐惧当时自然科学发展所造成对宗教信仰的威胁，确也是由于当时的微积分理论缺乏牢固基础，所以当时的微积分遭到攻击和非难在所难免。历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现的混乱情形叫做第二次数学危机，也把贝克莱的攻击称为贝克莱悖论。危机的消除：,三、第三次数学危机,实数理论是微积分的理论基础；实数理论是建立在集合论的基础上。集合论是现代数学的理论基础。人们对19世纪末德国数学家康托尔提出的集合论深信不疑。在1900年于巴黎召开的国际数学会议上，法国数学家庞加莱宣布：“现在，我们能够说数学完全严格性达到了”。,可是时隔三年，却传出了惊人的消息：集合论有矛盾！,1903年英国数学家、哲学家罗素发表了著名的悖论。当时许多数学家被惊呆了，使数学陷入了危机，据说，大数学家戴德金原来打算把连续性及无理数第三版付印，这时把稿件抽回来并收回正欲出版的名著什么是数和数应是什么，他们觉得由于罗素悖论的出现，整个数学的基础都靠不住了。这就是第三次数学危机。危机的消除：,
