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1、2023/1/16,1,数字信号处理 Digital Signal Processing,第六章 IIR数字滤波器的设计,The Design of IIR Filter,福建农林大学金山学院信息与机电工程系(),2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,2,主 要 内 容,理解数字滤波器的基本概念掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,3,6.1 引言,数字滤波器：,是指输入输出均
2、为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。,高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。,优点：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,4,1、滤波器的基本概念,（1）滤波器的功能 滤波器的功能是对输入信号进行滤波以增强所需信号部分，抑制不要的部分。,a）时域说明b）频域说明,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,5,（2）四种基本的滤波器,四种基本滤波器为低通（LP）、高通（HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,6,（3）四种基本
3、滤波器的数字表示,低通高通带通带阻,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,7,2、LP到其他滤波器的变换,由LP实现的HP,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,8,LP实现的BP,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,9,LP实现的BRF,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,10,3、滤波器的性能指标,带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为滤波器的带宽（-3dB带宽）,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,11,通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。,2023
4、/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,12,4、数字滤波器的设计步骤,数字滤波器的设计三个步骤:(1)按要求确定滤波器的性能参数；(2)用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求；(3)用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用DSP。,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,13,5、数字滤波器的技术要求,选频滤波器的频率响应：,为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况,为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,14,理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器
5、逼近,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,15,通带最大衰减：,阻带最小衰减：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,16,6、IIR数字滤波器的设计方法,先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器,用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：,即为求滤波器的各系数,计算机辅助设计法,s平面逼近：模拟滤波器,z平面逼近：数字滤波器,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,17,6.2 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,设计思想：,s 平面 z 平面,模拟系统 数字系统,H(z)的频率响应要能模仿 Ha(s)的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的
6、单位圆,因果稳定的 Ha(s)映射到因果稳定的 H(z)，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内|z|1,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,18,设计方法：,-冲激响应不变法,-阶跃响应不变法,-双线性变换法,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,19,6.3 冲激响应不变法,一、变换原理,数字滤波器的单位冲激响应h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t),T抽样周期,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,20,设,则：,冲激响应不变法的映射关系,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,21,从频率响应来看：
7、,数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为2p/T只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即,才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,22,实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在|W|Ws/2处衰减越快，失真越小,当滤波器的设计指标以数字域频率wc给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,23,二、模拟滤波器的数字化,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,24,系数相同：,极点：s 平面 z 平面,稳定
8、性不变：s 平面 z 平面,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,25,当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正,令：,则：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,26,试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器,例：设模拟滤波器的系统函数为,解：据题意，得数字滤波器的系统函数：,设T=1s，则,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,27,模拟滤波器的频率响应：,数字滤波器的频率响应：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,28,优点：,缺点：,保持线性关系：w=WT线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,频率响应混迭只适用于限
9、带的低通、带通滤波器,h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应ha(t)时域逼近良好,冲激响应不变法的优缺点,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,29,6.4 双线性变换法,冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真为了克服这一缺点，采用双线性变换法。使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,30,一、变换原理及特点,冲激响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。改进思路：先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计
10、,31,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,32,为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,33,2）某一特定频率严格相对应：,1）低频处有较确切的对应关系：,特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置,二、变换常数c的选择,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,34,三、逼近情况,1）,2）,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,35,四、优缺点,优点：,避免了频率响应的混迭现象,s 平面与 z 平面为单值变换,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器
11、的设计,36,缺点：除了零频率附近，W与w之间严重非线性,2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变,分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,37,预畸变,给定数字滤波器的截止频率 w1，则,按W1设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到w1为截止频率的数字滤波器,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,38,五、模拟滤波器数字化方法,可分解成级联的低阶子系统,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,39,可分解成并联的低阶子系统,2023/1/16,第6章 IIR数字
12、滤波器的设计,40,已知模拟滤波器的系统函数如下：,试采用双线性变换法将其转换为数字滤波器。T=2 解:,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,41,试用双线性变换法，设计IIR数字滤波器，T=2。,例：设模拟滤波器的系统函数为,解：据题意，得数字滤波器的系统函数：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,42,6.2 常用模拟低通滤波器特性,将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器,模拟滤波器,巴特沃斯 Butterworth 滤波器,切比雪夫 Chebyshev 滤波器,椭圆 Ellipse 滤波器,贝塞尔 Bessel 滤
13、波器,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,43,1、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数,h(t)是实函数,将左半平面的的极点归Ha(s),将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为Ha(s)的零点，虚轴上的零点一半归Ha(s),Ha(s)Ha(-s)的零极点分布,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,44,由幅度平方函数得象限对称的s平面函数,对比 和，确定增益常数,由零极点及增益常数，得,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,45,例：,解：,极点：,零点：（二阶）,零点：,的极点：,设增益常数为K0,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器
14、的设计,46,1）巴特沃尔斯滤波器（Butterworth）,2、常见模拟滤波器设计,幅度平方函数：,当,称Wc为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽,N为滤波器的阶数,Wc为通带截止频率,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,47,1）幅度函数特点：,3dB不变性,通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小,过渡带及阻带内快速单调减小,当WWst（阻带截止频率）时，衰减的d1为阻带最小衰减,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,48,Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：,2）幅度平方特性的极点分布：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波
15、器的设计,49,极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点,极点间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,Ha(s)Ha(-s)的零极点分布(a)N=3(三阶）(b)N=4（四阶）,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,50,3）滤波器的系统函数：,为归一化系统的系统函数,去归一化，得,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,51,4）滤波器的设计步骤：,根据技术指标求出滤波器阶数N：,确定技术指标：,由,得：,同理：,令,则：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,52,求出归一化系统函
16、数：,或者由N，直接查表得,其中技术指标Wc给出或由下式求出：,其中极点：,去归一化,阻带指标有富裕,或,通带指标有富裕,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,53,例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于0.2p rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。,1、用冲激响应不变法设计,1）由数字滤波器的技术指标：,2）得模拟滤波器的技术指标：选T=1 s,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,54,a）确定参数,用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真,3）设计
17、Butterworth模拟低通滤波器,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,55,b)求出极点（左半平面）,c)构造系统函数,c)去归一化,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,56,4）将Ha(s)展成部分分式形式:,变换成Butterworth数字滤波器：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,57,用冲激响应不变法设计出的Butterworth滤波器,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,58,2、用双线性变换法设计,1）由数字滤波器的技术指标：,2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器
18、的设计,59,a）确定参数,用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题,3）设计Butterworth模拟低通滤波器,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,60,b)求出极点（左半平面）,c)构造系统函数,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,61,c)去归一化,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,62,4）将Ha(s)变换成Butterworth数字滤波器：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,63,2）切贝雪夫滤波器（Chebyshev）,N：滤波器的阶数,Wc：截止频率，不一定为3dB带宽,0e1，表示通带波纹大小，e越大，波
19、纹越大,CN(x)：N阶Chebyshev多项式,Type I Chebyshev,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,64,N为偶数,N为奇数,通带内：在1和 间等波纹起伏,通带外：迅速单调下降趋向0,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,65,Chebyshev滤波器的三个参量：,Wc：通带截止频率，给定,e：表征通带内波纹大小,N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数,由通带衰减决定,阻带衰减越大所需阶数越高,Ws为阻带截止频率,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,66,Type II Chebyshev filter,通带内：单调特性阻带
20、内：等波纹起伏,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,67,例：用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在频率低于0.2p rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。,1）由数字滤波器的技术指标：,2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,68,a）确定参数,3）设计Chebyshev模拟低通滤波器,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,69,b)求左半平面极点,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,70,c)构造系统函数,2023/1/1
21、6,第6章 IIR数字滤波器的设计,71,c)去归一化,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,72,4）将 变换成Chebyshev数字滤波器：,设计的四阶Chebyshev滤波器,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,73,椭圆滤波器(Elliptic filter),带内均匀波动 最快的滚降,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,74,贝塞尔滤波器（Bessel）,*最大相位平坦特性,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,75,小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤,将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标,通带截止频率、通带衰减,阻带截止频率、阻带衰减,通带截止频率,阻带截止频率,通带截止频率,阻带截止频率,确定数字滤波器的技术指标：,冲激响应不变法,双线性变换法,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,76,按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器,Butterworth低通滤波器,Chebyshev低通滤波器,将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器,冲激响应不变法,双线性变换法,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,77,6.5 设计IIR滤波器的频率变换法,2023/1/16,第6章 IIR数字滤波器的设计,78,
