《第六章 动态载荷识别、模型修正与结构动力修改ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章 动态载荷识别、模型修正与结构动力修改ppt课件.ppt（109页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第六章 动态载荷识别、模型修正与结构动力修改,一、概述 前几章中我们主要叙述了各种模态参数的辨识方法。得到了结构系统的模态参数（模态频率，模态，模态阻尼，模态质量，模态刚度，模态参与因子等）。模态参数辨识技术为结构动态特性分析提供了有效的手段。模态分析技术还包括另一些分支，如载荷识别（结构动力学中的另一类逆问题）、结构物理参数辨识、结构动力修改、有限元模型修正与确认和模态综合等。载荷识别方法是根据已知结构的动态特性和实测的动力响应及求结构的动态载荷。这一技术的发展给那些无法直接测量载荷的结构系统提供了一种动态载荷的识别方法。,系 统,激励,响应,结构动力修改(重分析和动力学优化设计)技术是模态
2、分析与有限元分析和计算机辅助设计（CAD）相结合的重要结合点，亦是模态分析技术进入产品预设计阶段的重要方面，它将成为计算机辅助工程（CAE）中的重要一环。结构物理参数辨识及有限元模型修正和确认技术在结构动态特性分析中被广泛应用的有限元分析方法、由于在建立有限元模型时，引人各种人为的假设,这些假设往往与实际情况有一定差别，造成有限元分析的结果不准确。目前常用实验模态的结果去修正和确认有限元模型。,二、结构动载荷识别 结构动力载荷识别方法是解决动力载荷不易直接测量的难题。例如，火箭在飞行过程中所受的推力脉动载荷，房屋或建筑物所受的地动力或地震力，核反应堆壳体在工作时所受的载荷，汽车行驶时所受的路面
3、激励力等，这些动力载荷的直接测定十分困难，甚至是不可能的。因此人们自然寄希望于间接法。目前常用的间接法主要是指通过对结构的响应（包括位移、速度、加速度等）测量，根据已知的结构动态特性，识别结构的动载荷。这是一种结构动力学中逆问题处理方法，称为结构载荷识别。,结构载荷识别技术还远远落后于模态参数辨识技术的进展。还有一系列问题需要进一步研究，识别精度亦有待进一步提高。载荷识别方法一般可分为两大类，即频域载荷识别法与时域载荷识别法。频域识别法发展较早，已形成了比较完整的理论及计算方法，应用亦较广泛。时域法的研究目前还不够深入，但近年来亦出现了一些具有应用前景的方法,（一）载荷识别的频域方法 载荷识别
4、的频域法基本上有两种，即频响函数矩阵求逆法及模态坐标变换法。前者只要知道频响函数矩阵及响应谱矩阵，即可识别动态载荷；后者则必须知道系统的模态特性及模态参数（包括系统的各阶振型矩阵）才能识别载荷在频域中的特性，然后进一步确定载荷的时间历程。1.频响函数矩阵求逆法该方法对系统的输人（待识别）及输出（实测响应）之间的关系作如下假设：(1）输人输出之间呈线性关系。(2）系统的响应完全由待识别的载荷所产生。,结构的分成确定性响应及随机响应两种情况。1）确定性响应 设系统响应按其性质可需要确定的载荷数为P，响应的侧量点数为L，并且频响函数矩阵是完整的。载荷与响应之间有如下大家熟悉的关系：式中：X（）为响应
5、谱向量（LX1）；F（）为载荷谱向量（P X1）；H（）为频响函数矩阵（LXP）上式的求解，理论上是非常容易的。若待定的载荷数P与响应的测点数L 相等，则H（）为方阵，因此载荷谱向量F（）可由下式 求得,此法较为简单，在确定了频响函数矩阵及响应向量的傅氏谱后，便可计算载荷谱。但实际上，常常是欲识别的载荷数P与响应的实际测量点数L 不相等，通常是LP。因此必须对频响函数矩阵求广义逆。这样，载荷识别的公式便为 式中H（）矩阵的上角符号“H”为共扼转置。2）随机响应若系统在随机激励力作用下，其响应亦为随机的。此时，激励力与响应之间有如下关系 式中：SXX（）为被测各响应之间的互功率谱密度矩阵，(LX
6、L)；SFF（）为各待识别力之间的互功率谱密度矩阵，(PXP)。在实际工程结构中，若各输人力之间彼此独立无关时矩阵SFF（）中的非对角线项均为零，即矩阵SFF（）为对角阵。,当PL 时，可以利用响应的自功率谱密度求解各输人力的自功率谱密度。此时可利用下式求解：当PL时，亦可用上式求解 SFF 当PL时，即激励点的数目比测量点的数目大时，上式独立方程个数有L（L+1）个，因此，测点数必须满足 总之，动态载荷识别就是求解式或式。通常方程个数大于未知数，是矛盾方程。在具体求解时，要尽量避免系数矩阵出现病态，在选择响应的测量位置和方向时，应力求避免对称。采用频响函数矩阵求逆确定动态载荷的方法虽然思路很
7、简单，但当要求确定的载荷数目P很大时，计算工作量较大，并在所感兴趣的频段内，每个离散频率都必须做矩阵求逆运算。当接近共振频率时，会出现数值计算的不稳定性问题。,3）上述频响函数矩阵求逆确定动态载荷的方法曾用于确定某直升机桨轴载荷。直升机在飞行过程中所发生的振动主要由旋翼、发动机及尾桨所造成，最主要是旋翼产生的振动载荷，其激励频率为转速乘以叶片数。由于气流不稳定的影响，还有随机成分存在。旋翼受力是直升机设计的最根本的依据，是决定飞机造价的重要因素。将这些力简化并转到主轴上，定为被识别的载荷。1）.被识别载荷。被识别的载荷为作用在主轴上的6 个力和力矩，即,载荷向量为载荷的方向和和位置如上图所示。
8、2）.响应测量。测量的响应是主减速器架 8个支撑杆上的应变。采用应变片粘贴于杆身，应变信号通过遥测装置接收，作为飞机的响应信号。遥测装置的原理框图如图所示。由于6个激励力。作用均通过此8个支撑杆传到整个机身上，因此这些杆的应变能很好地反映激励力的大小及性质，并可直接用于减速器支架的疲劳问题研究。,3）应变频响函数矩阵的测量。频响函数的测量在地面进行。将飞机悬吊在空中，模拟飞机在空中的自由状态。悬吊系统垂直方向的固有频率为0.9 Hz。分别对带旋翼和不带旋翼两种情况进行试验，以作比较。采用应变频响函数矩阵的直接测试方法 激励方式有两种：一为敲击法，激励力的大小为3kN（300kgf)，脉冲持续时
9、间8ms 左右；一为正弦激励，其中又采用阶梯形式、慢扫描、快扫描三种方式加载。正弦激励力的大小在100N(10kgf）左右。为获得力矩载荷，采用偏心加力，用数据处理方法解偶。数据处理的关键是对小信噪比信号的处理问题。下图为一典型的频响函数和相干函数。,4）.空中飞行实测（得到未知力作用下的应变响应）。信号的传递和汇集采用PCM编码远程遥测系统。实测应变的时间历程如下图所示。在实侧应变中，静应变量为主，约占90%，动应变基本上是周期性函数，其频率为12Hz。约有10 的随机成分，采用多次平均法，以提高数据的可靠性。,5）.6个激励力的计算。主减速器支架是结构对称，但受力并不对称的构件。为了避免方
10、程系数矩阵的病态，对实测的16 个位置，只选取了L=6，分别位于6 个杆子，使用对应这6 点的应变频响函数矩阵，求解式求解方法采用主元素消去法,得到六个待识别力.表6.1a,6.1b 和6.1c给出了测试的应变响应,应变频响函数和识别出来的外载荷.,表6-1a 实测应变响应结果,16.01.2023,表6-1b应变频响函数,表6-1c 识别出的动载荷,2.模态坐标转换法 在已知结构的模态参数情况下,动态载荷的识别可依据模态参数，采用模态坐标转换的方法来获得。对N 自由度，且具有比例阻尼的线性系统，已知其模态矩阵为（NXN），系统的响应谱向量为X（）(NX1)，它们之间有如下关系：式中 称为频域
11、模态坐标向量。,式 中的，从数学意义上讲，即为坐标变换矩阵，通过它把物理坐标下的响应X（）变换到模态坐标中的响应 Q（）。于是，系统的运动方程式转换到模态坐标中后为 式中：mr、cr、k r，为系统第r 阶模态的模态质量、模态阻尼、模态刚度；P（）为频域中的广义力（或模态力）向量。它们都是系统的模态参数，都可由模态分析得到。因此，在测定了系统的响应及己知模态矩阵后，即可由式求得模态坐标向量Q（）然后由式求得模态力向量 P（）,则动态载荷谱向量可由下式确定,对实际工程结构往往不能得到完整的模态集，只能得到部分模态。若只有n个模态，n N，而且测量响应的点数L 往往亦小于自由度数，L N，则式改写
12、为 模态坐标向量可由下式计算 式的阶数也应是n阶的，此时可识别的动态载荷数P 不能大于模态数n，也不能大于响应的测点数L,P L，Pn。此时矩阵不再是方阵，因此动态载荷可由下式确定：式中 是从模态矩阵中挑选相应的P行而形成的。,3.优化逆系统方法从理论上讲利用频响函数矩阵求逆法识别动态载荷时，利用式第7页 可方便地求出系统的动态力向量。但实际上，对于一个实际结果系统而言，测量噪声及各种信号污染是不可避免的。即使能得到真实的频响函数值，用式 亦得不出精确的动态载荷。动载荷识别的度很大程度上取决于频响函数矩阵 的条件数，大的条件数常使它“病态”。在求逆运算时将造成较大误差，使识别失败。条件数事实上
13、表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于，如果的条件数大，的微小改变就能引起解 较大的改变，数值稳定性差。4.多输人多输出动态载荷识别的逆系统优化估计方法，可使动态载荷估计的总均方差最小。,1)理论分析 考虑如图多输入多输出系统，其中fi（t），xi（t）和 mi（t）（i=1,2，p）分别表示系统输入载荷的真实值、测量值和输入噪声；vj（t），yj（t）和nj（t）（j=1,2,，q）分别表示系统输出的真实值、测量值和输出噪声。这里我们假定噪声信号为零均值稳态随机过程，且与任何其他信号无关，由图示符号系统我们有 定义一个线性时不变逆系统，并以真实系统的输出 y(t）作为该系统的输人，原输入为它的
14、输出，令该系统的脉冲响应矩阵为（t)，即,这里 为逆系统愉出的估计值。选择矩阵（t）使该系统之输出估计值与真实系统输入值之间的总均方差 最小，此时该逆系统之输出入 即为真实系统输人（动态载荷）的最佳估计。式中 表示估计误差向量：;E 表示期望值。式 可进一步写成 这里Ji为第i个的载荷估计误差：上两式表明，如果每一个载荷的均方估计误差都最小，则所有载荷的总体均方估计误差亦最小。因此，我们先考虑第i个载荷的估计。由式我们有,这里i，j（t）为逆系统的第j个输入与第i个输出之间的脉冲响应函数。由此，要使Ji为最小，则需满足 综合考虑上述三式可得 上式表明，对于一个多输人多输出系统来说，当每一个载荷
15、的估计误差与任意一个响应的测量值正交，则所有载荷的总体均方估计误差最小。该结论亦可视为多输人多输出系统的一个广义正交性原理。,将式代入式得作期望运算得到两端作傅氏变换得到,对所有的激励力于是有W是逆系统的频响函数由上式得到 F是未知的，是要识别的，为什么式成立？这是因为原系统的输出X，就是逆系统的输入F。,所以当逆系统确定后就有这就是动载荷在频域的优化估计值，它的时域估计值（时间历程）就可由 的傅氏逆变换求得。,（二）载荷识别的时域法 载荷识别的时域法提出较晚，目前国内外正在展开研究。这些方法中有建立在求解Volterra第一类积分方程问题基础上的针对连续系统及离散系统的时域辨识法；亦有建立在
16、微小时间内动态载荷为阶跃函数假设基础上的求解振动微分方程的方法。后者主要针对离散系统。由于在实际工程应用中，离散系统更多为人们所采用，因此本节着重介绍针对离散系统的时域动态载荷识别方法。1 基本原理N 自由度，且具有比例阻尼的线性系统的运动方程式为 式中：M、C、K 分别为N N 阶的系统质量、阻尼和刚度矩阵；X（t）、X（t）、分别为N l 阶的位移、速度及加速度响应向量;F(t）为动态力向量，亦为Nxl 阶。由理论计算或实验模态分析方法可求得该系统的模态参数：模态频率r，模态向量r，模态阻尼r，模态质量m，模态刚度kr，r=l,2，n。由各阶模态向量组成模态矩阵,应用模态坐标变换 式中Q(
17、t)为模态坐标向量，N1.于是 式 可改写为用模态坐标表示的非耦合方程式式中Mr、Cr、Kr分别为模态质量、模态阻尼及模态刚度矩阵，NN阶。模态频率及模态阻尼比为,（二）载荷识别的时域法 载荷识别的时域法提出较晚，目前国内外正在展开研究。这些方法中有建立在求解Volterra第一类积分方程问题基础上的针对连续系统及离散系统的时域辨识法；亦有建立在微小时间内动态载荷为阶跃函数假设基础上的求解振动微分方程的方法。后者主要针对离散系统。由于在实际工程应用中，离散系统更多为人们所采用，因此本节着重介绍针对离散系统的时域动态载荷识别方法。1 基本原理N 自由度，且具有比例阻尼的线性系统的运动方程式为 式
18、中：M、C、K 分别为N N 阶的系统质量、阻尼和刚度矩阵；X（t）、X（t）、分别为N l 阶的位移、速度及加速度响应向量;F(t）为动态力向量，亦为Nxl 阶。由理论计算或实验模态分析方法可求得该系统的模态参数：模态频率r，模态向量r，模态阻尼r，模态质量m，模态刚度kr，r=l,2，n。由各阶模态向量组成模态矩阵,式中D为常数，由初始条件决定。设初始条件为将上述初始条件代入，在区间t内求解，可由下式得阶跃函数prj 式中：,如果只知道位移响应qrj（j=1,2,3，s）,则式可写为应用此式时，认为pr在区间2t=tj+1-tj-1为阶跃函数。若模态位移，速度及加速度 均为已知，则模态力计
19、算公式还可以写为由上三式可求得在各离散时间ti（j=1,2,3，s）上的模态力序列（j=1,2,3，s）。对每阶模态（j=1,2,3，N）进行上述计算，可求得模态力向量的时间序列,根据模态坐标变换，则可求得实际载荷向量Fj（t）的时间序列 由上式即可求得各点载荷（载荷向量）的时间序列（离散时间上的载荷）。若系统的阻尼为一般粘性阻尼，则系统的运动方程可用状态向量来表示，系统的运动微方程可写为 式中：,此时，系统为复模态。由模态分析已知模态参数为：特征值特征值矩阵特征向量,式中（i=1,2,3，N）为各相应点的模态系数，其共轭为i*，模态矩阵，模态坐标变换，应用模态坐标转换，使 解耦，可得,上式中
20、：模态坐标函数，系数矩阵，特征值矩阵模态力矩阵,将 每个模态展开，对第r阶模态，则有，上式即为以模态坐标qr描述的独立方程，将上式在时域中离散，在时间间隔中视为阶跃力函数作用的运动方程。上式的解为由此可得模态力的时间历程为若动力相应不仅测出位移和速度，还可以测加速度，则模态力的时间历程可直接按下式计算：,2.动态载荷时域识别法的步骤根据上述分析，动态载荷识别的步骤可归结如下：(1)实测系统的响应，求得系统响应的时间历程，或离散时间下的响应向量：(2）实验模态分析或理论模态计算，确定系统的模态参数，包括模态特征值矩阵A=r,模态矩阵、模态质量矩阵Mr、模态刚度矩阵Kr，系统矩阵ar、br。（3）
21、态坐标变换，由式 或式 可得模态坐标矩阵（4）计算模态力。（5）坐标逆变换求出实际载荷向量；对比例阻尼系统，对一般阻尼系统,三、结构（物理）参数识别和有限元模型修正,回答什么问题：认为有限元建模不准，如何用试验模态结果来识别和修正结构参数？使修正后的有限元模型可更好地用于响应等预计！1.有限元建模模型存在哪些误差：各种理论假设、边界条件的近似性，材料参数的不确定性，支撑刚度和连接刚度的不恰当模拟，阻尼特性或者是被忽略或者远远不够精确等2.试验模态结果虽然存在测试噪声，实际系统不完全是线性的，但仍然认为试验模态模型和有限元模型相比要可靠得多。3.试验模态模型可用于验证有限元模型的可靠性。因此提出
22、模型修正的概念。4.所谓模型修正是：获得一个新的有限元模型能够重现所有模态参数的模型（N 个固有频率，N 个模态振型的幅值及相位），或者是获得一个能够重现所有测得的频率响应函数的有限元模型，或者是一个具有正确的质量，刚度，阻尼矩阵的有限元模型前二者与第三者意义是不同的。,这一节要讲三个问题 计算模型和试验模型间的相关准则 模态缩减和扩展从模态试验获取和修正结构参数,16.01.2023,概述：模型参数修正的主要方法从被修正的参数来分大致有两类：1.直接修正矩阵法 2.基于灵敏度分析的参数修改法。从有限元模型和试验模态模型之间的相关要求来分有三类：1.要求计算得到的模态频率和试验得到的模态频率相
23、一致；2.要求计算模态频率、模态振型和试验得到的模态频率、模态振型 相一致；3.要求计算得到的频率响应和试验得到的频率响应相一致。在基于灵敏度分析的参数修改法中的误差函数构造中，三者可以 适当加权表达在同一个误差函数中，而且估计迭代方法同属于贝 叶斯法。,数值模型和试验模态模型的相容性问题 讨论模型修正之前，应该指出，数值模型和试验模态模型之间存在不相容性（不相容就是没法比较的意思）。这种不相容性主要由试验模态模型的不完整性产生。试验模态模型的不完整性，1.是数值模型的自由度数远大于试验模态模型的自由度数，和数值模型相比，试验模态模型的自由度数不完整（也就没法相容）；2.是指试验模态数不完整，
24、由于试验频率宽度有限，而且在高频段模态密度高，难以从中提出模态，因此试验模态数m更小于计算模态数。第二种不完整性并不很重要，因为人们主要关心的是低阶模态。第一种不完整性对有限元模型和试验模态模型之间的相关分析，对模型修正造成了相当困难。因此，有限元模型的缩减，或试验模态模型的扩展也是本节讨论的间题之一。,16.01.2023,计算模型和试验模型间的相关准则 有限元模型修正一般通过三种模型进行。1.是由质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵构成的空间状态模型（spacial model),利用摄动法或优化方法直接对质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵进行修正。2.是模态模型（Modal model)，由模态频率、
25、模态向量等构成。3.模型是频率响应函数模型，由足够多的频率响应函数构成。在下面的公式中，下标e 表示试验模型，下标a 表示计算模型。空间模型或时域模型由下列微分方程给出：如求得质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，则空间模型可以确定。模态模型由模态频率，模态振型，模态阻尼，模态质量矩阵和模态刚度矩阵 给出。一般而言，模态模型由试验确定，因为模态阻尼无法由计算得到。但是 模态频率、模态振型可以由空间模型的特征方程解得。,频率响应模型由频率响应函数矩阵给出。频率响应函数矩阵由下式给出：或 其中Z()是阻抗矩阵。为频率响应矩阵的逆矩阵。对无阻尼系统，三者关系为1）空间模型的相关准则 由于阻尼难以确定，因此仅
26、对质量矩阵和刚度矩阵讨论相关准则：质量矩阵正交性，刚度矩阵正交性，,16.01.2023,当振型为刚体模态时，质量矩阵正交性检验退化为总质量检验，刚度矩阵正交性所对应的频率为零，质量矩阵和我刚度矩阵的对称性。,2)模态振型的相关准则 假定计算模型和试验模型的振型使用同一种正则化方法，则两者在 一定频率范围内等价的条件是：两者的（有阻尼）固有频率相等。两者的（复）振型一致；两者的模态质量矩阵或模态刚度矩阵一致.检验有限元模型和模态模型两者之间的固有频率是否相等是容易的。而检验两者之间的振型是否一致并不是那么直观。主要有下面几种方法：模态标定因子MSF（Modal scal factor），模态置
27、信准则MAC（Modal Assurance Criterion），坐标模态置信准则Comac（Coordinate Modal Assurance criterion），以及动态力平衡方法DFBM（Dynamic Force Balance Method）。动态标定因子MSF定义为,MSF 表示两个振型间的比例因子。如果两个振型正交，则MSF 为零。如果完全线性相关，则两个振型的各个分量成比例。如果介于两者之间，则误差可以用正则模态差N MD（Normalized Modal Difference）表示：最常用的模态置信准则是MAC MAC 大于等于零小于等于l。MAC等于1 表示两者线性相
28、关，等于零表示两者线性无关。NMD 和MAC 之间的关系为,3）频率响应模型的相关准则这里主要介绍频率响应模型的正交性和频率响应函数模式置信准则SAC。频率响应模型的正交性由下式给出：上式表示计算模型的动刚度矩阵和测得到的频率响应函数矩阵的乘积应该为单位矩阵。而频率响应函数模式置信准则SAC 是对计算得到频率响应和测试得到频率响应进行相关分析。SAC 可以表示为 式中：其中 Hcij（k）是j点激励，i点响应的频率响应函数在（k）处的值。显然，SAC等于1 表示表示两者线性相关，等于零表示两者线性无关。,模态缩减和扩展 在有限元模型修正中，我们介绍了MAC、COMAC、MSF 等方法用于判别计
29、算模型的振型和试验模型的振型相关的程度。实际上，计算模型的自由度总数，一般而言，远大于试验模型的自由度总数。这就是在本节一开始所讲到的第一种试验模态模型的不完整性。要解决这个问题，或者是将有限元模型缩聚到试验模型的自由度上，或者是将试验模型的振型扩展到有限元模型的自由度上。模型的缩聚和扩展看似问题的两个方面，但在求解过程中是统一的（双向转换）。1）GUYAN缩减法 2）KIDD扩展法 3）SEREP法 4）IRS,有限元计算模型自由度数：m+s,试验模型自由度数：m,16.01.2023,Guyan缩聚，主辅自由度转化方法 Guyan 提出：将全部结构自由度，依据它们对动态性能影响的大小，区分
30、为主自由度(masters)与辅自由度(slavers)。通过矩阵分块技术，并假定辅自由度对结构没有“动”特性的影响（如忽略梁位移中转动自由度)。式中 和 分别为有限元模型和模态试验模型对应的模态，m+s为有限元模型的自由度数，s则是模态试验模型的自由度数。上式实现了计算模型与试验模型间的模态的转换。,假定,(等价于,的第二式),，令,III 结构参数的识别与修正回答什么问题？如何从模态试验中获得正确的结构（物理）参数质量阵、刚度阵？目前可供应用的结构参数识别与修正的方法有多种。陈介中摄动法 该方法采用完整的模态集识别结构参数。Berman摄动法 Berman提出的方法对质量矩阵与刚度矩阵进行
31、修正后，得到的 是满阵，这就失去了原来矩阵的带状稀疏性特点我国学者彭晓洪等于1984 年提出了一种改进的模型修正方法，使修正后的计算模型能保持初始计算模型的带状性质。周欣等于1985 年提出一种基于模态正交性原理的修改方法，使修改后的物理参数满足特征方程。该方法可利用不完备的模态集。,1.J.C.Chen矩阵摄动法该方法由陈介中（J.C.Chen）于1983 年提出，它直接利用实验模态分析所得获得的模态矩阵和特征值矩阵r2修改结构的物理参数。设某结构的自由度为N。用有限元法计算所得质量矩阵、刚度矩阵、特征值矩阵和模态矩阵分别为M o、K o、o、o，它们均为N xN 阶矩阵。由于用有限元计算时
32、必须对实际结构进行离散化处理，并引进一系列人为的假设，因此，计算时所使用的物理模型往往与实际结构不同。更加上计算中不可避免的误差，使计算所得结构振动特性与试验所得结果不相符合。这就有必要对原结构系统的物理模型进行修改。设实际的，或由试验所得的质量矩阵、刚度矩阵、特征值矩阵及模态矩阵分别为M、K、A、o。计算值与试验值之间的差别可认为是对原结构的一种摄动，则有下列关系：,Chen假设式中A是系数矩阵。于是式 可以写成由模态正交性条件可得将 代入上两式并考虑MK及A均为微小量，将二次微小量略去后可得对上两式前乘0-T，后乘以0-1，并考虑到,可得-1由式 可得 将上两式代入1，并考虑到，可得到结构
33、参数修改的计算公式在上面两式中M o、K o、o、o 均为计算值（已知），及为实验所得，亦为已知，因此就可由上两式计一算出结构参数的修改值。在上述方法中及 必须是完整的模态集即为N XN 阶矩阵。但在实际测试时，对复杂结构，往往很难得到完整的模态集。这是此方法的一个严重不足之处。克服的办法就是就是前面所讲的自由度缩减与扩展（先将有限元自由度缩减为试验模型的自由度m，进行上述各步修正，然后用Guyan方法通过坐标变换矩阵T将m扩展为m+s,回到有限元模型自由度）。,2 Berman法 该法的优点是不需要有计算的特征值和特征向量，它只用试验模态矩阵及特征值来修改M0和K0，从而求得修改后的结构参数
34、M和K。此方法的理论基础亦是模态正交性条 件，即（均为M自由度）考虑到（有限元坐标经过缩聚，只有M自由度）则有 式中 E0称为正交检验性矩阵，它不一定是对角阵。,由于是以非完备的模态集作为修正基准，满足式 的解不是唯一的，故以此式作为约束条件，寻找使下列范数极小化的解：Berman 又定义了一个拉格朗日函数 式中：矩阵E0为非对角阵，Lij为拉式乘子。将上式对M的每个元素及Lij求导，并令其为零，便可得到满足正交性条件，又能使 最小的解：,将上式代入到 得到 再将上式代入到，便得：在求得 M后即可得修改后的质量矩阵。Wei用类似的方法（将以上过程的M改为K）找到了刚度矩阵的修改公式：式中,BE
35、RMAN 方法的不足之处 这种直接修正矩阵的拉格朗日乘子法的不足之处主要有以下几点：采用试验模态向量修正质量矩阵和刚度矩阵。由于试验模态向量是不完整的，仅仅是测试频率范围内的若干阶模态，而且试验模态的自由度数远小于计算模型的自由度数，因此所得结果必须进行振型扩展（在本章前面讨沱过）；试验模态的误差一般较大，在15 左右；原来质量矩阵和刚度矩阵的稀疏性可能不再存在；原来质量矩阵和刚度矩阵中为零的元素，譬如第ij个元素，可能不再为零，表示在第i 个节点和第j个节点之间增加了新的单元，这可能不符合实际情况；可能出现虚假模态（Spurious Modes）。因此，工程上实用的方法是基于灵敏度分析的物理
36、参数修改法。,特征方程拟合法（基于试验模态截断的方法）（提问：模态截断和自由度缩聚一回事吗？）这里再介绍一种利用非完备的实验模态集（部分测量模态）进行物理模型修改的方法。对于一线性小阻尼N 自由度的结构系统，若初始理论模型（有限元计一算模型，或结构作某种修改前的原始模型）以M0、K0，描述，则由特征方程 注意几点：1.有限元模型的M0及K0 是近似的 2.因此由M0及K0 根据特征方程式计算所得的特征值矩阵 0及模态矩阵0也是不可能与真实结构的特征值矩阵及模态矩阵相一致。3.设实际结构的质量矩阵及刚度矩阵分别M,K。它们均为NXN矩阵。实验模态分析给出了该结构系统的前s个特征值以及相应的特征向
37、量r，r（r=1,2,s),并构成特征值矩阵及模态矩阵和。,很显然M、K、A、应使特征方程得到满足，即 式中M、K 就是我们所求的未知矩阵或经过修正后的质量矩阵与刚度矩阵。再次提醒：A(s x s）、（N xs）是非完备的。以此为基础修正M0和K0得到修止后的 M、K,它们与实际结构的质量矩阵与刚度矩阵的吻合程度如何呢？检验标准：对于非完备模态，用少于结构自由度数的特征对修正结构的物理参数，最终得到的数学模型应具有这样的动力特性，即在实验频段范围与实际结构系统等价，而不一定满足高阶时的等价关系。矩阵摄动法和误差矩阵范数极小化方法均是基于以上标准发展起来的。1）矩阵摄动法从模态正交性条件出发，利
38、用初始模型特征对与相应的实测特征对之差进行摄动，从而获得修正结果M、K。该方法的缺点是在非完备模态情况下，不能满足特征方程，需要再做修正处理2）误差矩阵范数极小化方法则通过构造误差矩阵（M 一M0）、（K 一K0），并以不同方式加权误差矩阵形成范数，在满足正交条件及特征方程前提下，极小化该范数，从而获得相应于不同加权方式的修正结果。这种方法的缺点在于破坏了矩阵M、K 的带状稀疏性。本方法先从正交性条件出发，通过待定矩阵M(sxs)，K(sxs)的确定，导出满足正交性条件的M 与K，然后调整矩阵M 及K，进而使特征方程得到满足。,1）矩阵摄动法 先从正交性条件出发，通过待定矩阵M(sxs)，K(
39、sxs)的确定，导出满足正交性条件的M与K，然后调整矩阵M 及K，进而使特征方程得到满足。对于待求的矩阵M 和K 应与特征对及一起满足正交性条件，即假设M,K与M0与K0满足如下关系式中 分别为sxs阶的待定矩阵。上式表示假定修正模型的M 和K 可分别表示为初始模型M0、K0与各自的修正量 之和。待定矩阵 的确定应使M、K 分别满足上面两式。易得 令显然B矩阵是sxs阶的对称矩阵。由于振型的独立性，故B又是满秩矩阵因此B有逆阵，便可得,进一步求得满足正交性条件的M与K-(1)-(2)众所周知，在非完备模态集情况下，仅仅满足正交条件的M 与K 既不唯一，又不满足特征方程（下面证明）。因此，若将上
40、两式确定的M、K 矩阵作为最终结果进行特征值运算时，将不能求得与实测值相吻合的特征频率与振型。将上两式右边分别乘以和，考虑到 可得(a)(b)由上两式可见，显然（特征方程不满足）(c),即M、K 不满足特征方程。由于推导只利用了正交性条件，故式（c）的存在是意料之中的。但完备模态集的情况就不同了。此时B 之逆阵可写成(d)（当非完备情况时，-1不存在，故上式不成立）将式（d）代入（a）（b）得(e)(f)得(g)或(h)上式即特征方程式。由此可见，对完备模态集而言，由正交性条件解出的M、K，亦满足特征方程。而式（c）则说明，在非完备模态集情况下，满足正交性条件并不一定满足特征方程。利用部分试验
41、模态来修正结构的物理参数时，如何满足特征方程（或拟合特征方程）？现在的间题是能否充分利用仅仅满足正交性一结果，然后进一步修正其中的K 或M，使它们满足特征方程。回答是肯定的。分别调整K和M的两种方案，现介绍如下：,2）误差矩阵范数极小化方法方案一 保留式（1），调整式（2），即认为刚度修正结果式（2）不准确，导致式（2）左右 两边不相等。以KA表示（2）式右端项 KA与K之间的误差矩阵用EK表示 式中EK是待求的未知矩阵，它对KA的修正应使K满足特征方程。现构造EK 的欧氏范数如下：以Xk作为目标函数，使其极小并满足约束条件-特征方程，其解即为我们所期望的K，考虑到特征方程式的非对称性，必须增
42、加对称约束,这是一个约束优化问题，即须使Xk极小，又须满足式上式和 利用拉格朗日乘子矩阵(N xS)，（N xN）可将上述约束优化问题演变为无约束 优化问题。这时构造的Xk可写为如下的增广目标函数（或称为拉格朗日函数）(1)令，并考虑到K和KA的对称矩阵，可得(2)(3)上式与同式的转置相加，消去矩阵可得(4)将上式代入特征方程，可解出矩阵。(5),先将(5)式代入(4)，然后代以的转置即可从式（4）中消去，即得(6)由于M及K由正交性条件推出，因此它们满足正交性条件。式 亦满足正交性条件，于是有如下关系：故式中K最后一项便为零，所以(7)对比上式与式，即可得误差矩阵为(8),将式 代入(7)
43、，便可得K矩阵的最后修改公式(9)对上式进行整理得(10)由上式计算的K 既满足正交性条件又满足特征方程。现将保留的M 与再次修正的K一并写下，就得到第一方案的物理参数修正公式：(11),方案二 保留式中K，调整式中M，即假设初始识别结果式M的右边项不是结构的质量矩阵的真实表示，于是式左右两边不能相等。设两边之差矩阵为EM。以MA表示式M的右边项，则 式中EM是待求的未知矩阵，该矩阵的确定应使M 矩阵与K一道满足特征方程构造EM 的欧氏范数如下：XM 的极小化应满足约束条件式 及以下的对称条件,上述为约束优化问题，可通过拉格朗日乘子矩阵将其转化为无约束优化问题。仿照方案一的推导过程可得 上式右
44、边后两项为MA的修正量。将式 代入上式，并消去中间量MA，便可得M 的修正公式。连同保留的K，可得第二方案的物理参数修正公式：至此，我们已导出了两个方案的物理参数修改公式。由于该两组公式均与实验模态一起满足特征方程。所以，可以预料：修正后的M 与K 矩阵将重现实验模态。应该说第二组修改公式与第一组修改公式等价，在实际使用时只需选择其中之一。此方法所得修改结果能使M 及K 既满足正交性条件，又满足特征方程。此方法的精度良好，不足之处在于修正后的矩阵M 及K 的带状稀疏性已被破坏。,4 Ibrahim由复模态参数辨识物理参数,1982年Ibrahim S R.提出了一个从复模态中辨识主模态，进而辨
45、识物理参数的方法。对于一个N 自由度的线性阻尼系统，被测得的模态参数需满足如下方程式：式中：M、K、C 分别为系统的质量、刚度、阻尼矩阵，它们的阶次为(NxN）；S为截取的模态数，一般S N，即实际得到的常常是非完整的模态集；为第r阶模态向量；为第r模态的特征值，它们都是实测得到的复向量。,很显然，上式是N S 个复方程组。由于S N，因此不可能由此解出M-1K M-1C，还需补充（N 一S）个方程。Ibrahim 提出采用分析计算所得的复模态向量 加以补充，即式中：r第r阶模态的计算圆频率；是分析计算的阻尼比，它可用前S 个实测的阻尼比的平均值来近似，即前两式组合起来就可得到NXN个复方程组
46、，及2NX2N，可写为,式中：有式 可解出M-1K 和M-1C然后根据 M-1K 构造特征方程，即 式中：为修正后的主模态矩阵；为修正后的特征值矩阵。由上式即可求得N 个特征值与N 个特征向量。前S 个特征向量即为相应于实测复模态的S 个主模态。,有了前S 个主模态和分析得到的质量矩阵M。就可利用Berman 法中式 得到修正的质量矩阵，即 求得M 矩阵和M-1K、M-1C矩阵后，就可得到刚度矩阵及阻尼矩阵，,四、结构动力修改(重分析与优化设计）结构动力修改技术所研究的问题有两大类。正问题-研究的是当系统的结构参数，由于设计和制造上的原因需要做某些改变时，根据其改变量求结构的动力特性（例如特征
47、值及特征向量）的改变。这一类问题在结构改型设计中，或在结构上添加（或拆除）某些附件（如减振器，或某些悬挂物等）时常遇到(又称：动力学重分析)。反问题-研究的是希望通过某些结构参数的改变使系统的特性（特征值和特征向量）满足预定的要求，或避开（或落入）某个范围。即已知求MC K。这类问题在结构动力特性的优化设计及避免共振时经常遇到（又称：动力学优化设计）。结构动力学重分析技术可以避免修改后结构动力特性的重计算。采用结构动力修改方法无需重新计算修改后结构的特征值与特征向量，从而大大节约了设计时间和成本。结构动力学优化技术则是希望最小修改结构参数使之满足指定结构动力特性，它已开始与有限元分析和计算机辅
48、助设计（CAD）相结合，形成一套完整的结构动力特性分析与优化设计方法，作为计算机辅助工程（CAE）中的一个重要环节。,结构动力学拓扑重分析,16.01.2023,前言(为什么要研究重分析问题),结构优化设计是一个迭代过程，如图1所示，对每一步迭代得到的优化结构进行有限元分析是必不可少的,这是一个严重影响优化设计效率的环节。图1曲面壳优化设计的迭代过程,16.01.2023,16.01.2023,重分析就是用间接分析代替直接分析，即不直接求解修改结构的静平衡方程和振动方程，而是通过初始结构的直接分析结果间接计算得到新结构的模态和响应信息，从而可大大加快优化设计的进程，提高优化设计的效率。,重分析
49、是对直接分析的近似，它按静力和动力特性分为：,动力学重分析的定义：利用初始结构的动力学特性来得到优化后或派生新结构的动力学特性，使得重分析的时间比整个直接动特性分析要短的理论、方法和过程。,16.01.2023,动力学重分析定义,动力学拓扑重分析的进展,从20世纪90年代末开始，动力学拓扑重分析得到了一定的研究：1.国外Kirsch等人提出的组合近似重分析方法是目前结构动力学拓扑重分 析的一种有效方法；2.国内陈塑寰等人提出的扩展的Kirsch方法和迭代摄动法，对于自由度增 加的拓扑大修改动力学重分析问题，采用这些方法获得的近似解具有良好 的精度。3.我们发展的一种新方法迄今看到的能适用于最大
50、规模的拓扑修改一种 重分析方法。,16.01.2023,动力学拓扑重分析存在的问题,现有的拓扑优化重分析方法大多缺乏严密的数学推导，通用性和精度有待 提高。现有的增加自由度的拓扑重分析方法没有充分利用新旧自由度上的独立关 系，导致精度较差，不能用于连续多次修改。复模态拓扑重分析的研究开展还较少。,16.01.2023,我们方法的优点,1.提出独立质量正交化处理的技术，有效的改善了整个自由度上的近似特征 信息，对增加自由度的拓扑大修改情形仍然适用。2.所提出的动力学拓扑重分析方法近似精度较高，通用性好。,16.01.2023,增加自由度的动力学拓扑重分析,16.01.2023,图2 初始平面桁架
