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1、2023/1/16,1,2011-4-25,第 四 讲,贝 利 相 位 Berry Phase,物理专业2008级,2023/1/16,Dirac说：“如果有人问，量子力学的主要特征是什么？现在我倾向于说，量子力学的主要特征并不是不对易代数，而是概率幅的存在。后者是全部原子过程的基础。概率幅是与实验相联系的，但这只是问题的一部分。概率幅的模方是我们能观测的某种量，即实验者所观测到的概率。但除此以外，还有相位，它是模为1的数，它的变化不影响模方。但这个相位是极其重要的，因为它是所有干涉现象的根源，其物理意义是极其隐晦难解的。”,引言,1984年贝利从理论上指出了一种新的相位，即贝利相位，随后得到
2、了实验的证实。,2023/1/16,一、贝利相位的引入,设量子体系的哈密顿算符 是一组参量 的函数,而 随时间作周期性变化,例如周期变化的磁场的矢势 可作为,的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线,（1）,瞬时本征函数满足的正交归一化条件,若假定周期 足够大，以致哈密顿算符随时间的变化很缓慢(此称为绝热变化过程)，致使系统在每一瞬间都是准静止的，于是对于某一瞬时，瞬时定态薛定谔方程成立,2023/1/16,（2）,绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程,称为动力学相位,（5）,用 左乘上式，并利用（2）式，则有,（6）,2023/1/16,考虑一般含时薛定谔方程,（7）,可用 展开，即,（
3、8）,（8）式代入（7）式得,由（4）式,（9）,2023/1/16,左乘上式，可得,在绝热近似条件下，利用（6）式，上式可简化为,（10）,（11）,积分得到,（12）,其中初始条件,式（2）对时间求导,（13）,2023/1/16,可见（12）式指数中被积函数为纯虚数，若记,（15）,于是，绝热近似下，方程（7）的解（8）可写为,由（15）式所给出的 称为贝利相位，是实的。,二、贝利相位的意义,（17）,式15）初看之下，是绝对相因子，不是可观测量，可观测量 中消去了。但是，1984年贝利指出，当（15）式积分路径是 参数空间的闭合回路时，可观察到 的效果，具有物理意义。,2023/1/1
4、6,（18）,当（15）式中积分路径是 参数空间的闭合回路 时，,引入 空间的“矢势”,（19）,于是，贝利相位可写成,（20）,2023/1/16,称为参数空间“磁场强度”,三.参数空间“磁场强度”的计算,为实数,为纯虚数,2023/1/16,（22）,由瞬时定态薛定谔方程 取梯度,用 左乘上式,2023/1/16,（23）,将（23）和（24）代入（22）得,（25）,由（2）式取梯度有,（24）,2023/1/16,解：,粒子磁矩为,能量算符的本征方程,Ex.自旋 的粒子在外磁场 中运动，设粒子荷电为，试研究其Berry相位。,2023/1/16,相应的能量久期方程为,能量本征值：,（3）,（4）,下面为了简化推导，我们假设 沿 轴方向，并设初态 瞬时本征态为，即自旋与 方向相反。,2023/1/16,其中：,（5）,2023/1/16,（6）,将此结果推广到一般的，则有,（7）,同理当初态为 时，有,（8）,贝利相位,将以上各结果代入（5）式得,2023/1/16,是闭合曲线 对参数空间原点 所张立体角.贝利指出上式表明在 处有强度为 单位的“磁单极”存在，这种奇异性是由于能级的简并引起：,（9）式表示了贝利相位与曲线 所张立体角的关系，揭示出其几何性，故称贝利相位为几何相位。,（9）,
