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1、解的存在唯一性定理和逐步逼近法,内容提要,一阶方程的初值问题利普希茨条件,存在唯一性定理,概念和定义,定理1定理1的证明逐步逼近的思想定理2,命题1命题2命题3命题4命题5,一、概念与定义,1.一阶微分方程,这里,是定义在矩形域,上的连续函数。,问题：给定初值,，什么条件下解存在且唯一,？,2.利普希茨条件,函数,在矩形域,上关于,满足利普希茨条件，如果存在常数,二、存在唯一性定理,定理1,证明思路：5个步骤,步骤1 证明求解微分方程的初值问题等价于求解 一个积分方程,步骤2 用逐次迭代法构造一个连续的逐步逼近序 列,步骤3 证明此逐步逼近序列一致收敛,步骤4 证明此收敛的极限函数为所求的初值
2、问题 的解,步骤5 证明连续解的唯一性,命题1 初值问题(1.1)等价于积分方程,证明:,反之,故对上式两边求导,得,且,现在取 构造毕卡逐步逼近函数列如下,注,命题2,证明:(用数学归纳法，只在正半区证明，另半区类似),命题3,证明:,考虑函数项级数,它的前n项部分和为,对级数(3.9)的通项进行估计,于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有,现设,命题4,证明:,即,命题5,证明:,由,综合命题15得到存在唯一性定理的证明.,一 存在唯一性定理,1 定理1 考虑初值问题,命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程,构造Picard逐步逼近函数列,命题2,命题3,命题4,命题5,2 存在唯一性定理的说明,3 一阶隐方程解存在唯一性定理,定理2,考虑一阶隐方程,则方程(3.5)存在唯一解,满足初始条件,
