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1、弯曲变形,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,2,1.工程实践中的弯曲变形问题 要求变形不能过大,摇臂钻床,一、梁的位移,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,3,要求有一定的变形,车辆上的叠板弹簧,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,4,要求有足够大的变形,车辆上的叠板弹簧,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,5,挠度w 横截面形心处的铅垂位移。(deflection),转角 横截面绕中性轴转过的角度。(slope of cross section),挠曲线变形后的轴线(弹性曲线)。(deflection curve),梁变形的描述：,挠
2、度向下为正,转角顺时针转向为正,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,6,1.挠曲线方程(deflection equation),挠曲线方程：,转角方程：,二、挠曲线近似微分方程及其积分,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,7,Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式,（纯弯）,（推广到非纯弯）,Q 由高等数学知识,Q 挠曲线微分方程,二阶非线性常微分方程,Q方程简化,小变形时：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,8,正负号确定:,弯矩:,坐标系：w 向下为正,挠曲线下凹,弯矩M为正,方程取负号,挠曲线凸向上时,小变形,Q应用条件：,坐标轴 w 向下，弯矩下
3、凹为正,挠曲线的近似微分方程,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,9,2.积分法求弯曲变形,式中积分常数C、D由边界条件确定(位移边界与连续条件),2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,10,位移边界条件,位移边界条件与连续条件,自由端：无位移边界条件。,位移连续与光滑条件,挠曲线在B、C点连续且光滑,连续：wB左=wB右,光滑：qB左=qB右,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,11,写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件,例：,思考：1.该梁可分几段积分？各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？,(2).分3段。ED段不受力，保持直线，仅作刚性转
4、动。请自行考虑。,(1).分4段。位移边界条件：A端：两个；D端：无。位移连续条件：E：2个；B：1个；C：3个,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,12,例:已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,13,解：,由边界条件：,得：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,14,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,A,B,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,15,例:已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用
5、下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,16,解：,由边界条件：,得：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,17,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,B,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,18,例:已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,19,解：,由边界条件：,得：,由对称条件：,得：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,20,AC段梁的转角方程和
6、挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,讨论：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,21,例:已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,22,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,23,由连续条件：,由边界条件：,由对称条件：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,24,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,25,三、按叠加原理计算梁的变形,一、荷
7、载叠加法,M(x)为荷载(P,q,Me)的线性齐次函数,2、梁的变形很小；(不影响其它载荷的作用效果),1、应力不超过比例极限；(线弹性),积分后，w和w仍然是荷载的线性齐次函数,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,26,载荷叠加法的应用,例：EI=常数，求,查表,叠加：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,27,例：用叠加法求,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,28,将梁上的各载荷分别引起的位移叠加,解：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,29,例：EI=常值，求,分析：,故：,？,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,
8、30,思考：求图示梁 C处的挠度。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,31,例：载荷集度为,，求自由端挠度,分析方法：,将任意分布载荷看作无穷微集中力的叠加。,注意：(1)a 取为变量x(2)挠度向下为正,查表:,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,32,逐段刚化法：,C截面转角：,C截面挠度：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,33,例:求图示外伸梁C点的挠度和转角,仅考虑BC段变形(刚化AB,可视BC为悬臂梁),仅考虑AB段变形(刚化BC),二、变形叠加法（逐段刚化）,总挠度和转角,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,34,变形叠
9、加法：静定梁或刚架的任一横截面的总位移，等于各梁段单独变形(其余梁段刚化)在该截面引起的位移的和。,进一步讨论,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,35,例：用叠加法求图示梁端的转角和挠度。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,36,解：,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,37,1.BC段变形效应（刚化AB段）,2.AB段变形效应（刚化BC段）,阶梯悬臂梁问题,3.总转角和挠度,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,38,例：求图示组合梁B、D两处的挠度 wB、wD。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,39,解：,2023
10、/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,40,例：组合梁的变形分析，求：,解：,CB保持直线,AC悬臂梁,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,41,思考:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为E2。求:拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,42,问题分析：采用逐段刚化法,例：已知组合梁/刚架各处EI,EA,求,刚化刚架BDH,AB为简支梁，,刚化梁AB，,下面求刚架的位移,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,43,解：1.求,（1）刚化DH，BD相当于悬臂梁,（2）刚化BD,（3
11、）DH的轴向压缩,2.求,B,H,D,F/2,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,44,3.求,设bh矩形截面,4.比较弯曲与拉压位移,结论:(如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同 作用时，拉压引起的位移可以忽略。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,45,例：圆截面刚架如图所示,求,2.BC扭转(AB刚化),3.BC弯曲(AB刚化),1.AB弯曲(BC刚化）,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,46,四、梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施,许可挠度与跨长之比：土建工程中的梁：1/2501/1000 重要轴：1/50001/10000 起重机大梁：1/70
12、01/1000,安装齿轮或滑动轴承处：q=0.0010.005 rad,一、梁的刚度校核,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,47,例：图示工字钢梁，l=8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3，w=l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,48,解：由刚度条件,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,49,二、梁的合理刚度设计,1.与梁的合理强度设计相似点,让材料远离截面中性轴，例如工字形与盒形薄壁截面合理安排约束与加载方式（分散载荷等）,与 的相似点,同
13、样依赖于M,对比强度问题 或,依据,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,50,合理安排约束与加载方式,增加约束，制作成静不定梁,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,51,（1）强度是局部量，刚度是整体量（积分）,2.与梁的合理强度设计的不同点,辅梁、等强度梁是合理强度设计的有效手段，提高梁的刚度须整体加强,小孔显著影响强度，但对刚度影响甚微,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,52,(2)强度与材料 和 相关,刚度与E 相关,高强度钢一般不提高E钢与合金钢:E=200 220GPa铝合金:E=70 72GPa,(3)刚度对梁的跨度更敏感,跨度微小改变，将导致挠度显著改变,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,53,纯弯曲时,五、梁的弯曲应变能,纯弯曲时梁内的应变能,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,54,梁横截面存在弯矩和剪力，且随截面位置变化，应分别计算其相应的应变能。对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比很小，忽略不计。,横力弯曲时,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,55,Thanks very much for your attendance.,2023/1/16,机械电子工程学院-力学教研室,56,
