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1、自动控制原理,3.5 线性系统的稳定性分析,对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。只有稳定系统才有用。绝对稳定性：稳定或不稳定的条件。相对稳定性：稳定系统的稳定程度。,一、稳定性的基本概念,稳定系统,不稳定系统,稳定性是表征系统在扰动消失后自身的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性。,1.零输入响应稳定性,设一个线性定常系统原处于某一平衡状态，若它受到某一扰动的作用偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，如果系统还能回到原有的平衡状态附近，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定的。,大范围稳定：初始偏差可以很大，系统仍稳定；,小范围稳定：初始
2、偏差必须在一定限度内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。,对于线性系统，如果小范围内是稳定的，则它一定也是大范围稳定的，而对于非线性系统不存在类似结论。,(a)稳定（小范围）；(b)渐近稳定；(c)大范围稳定和不稳定系统的稳定性,若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定；反之，若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。线性定常系统如果稳定，则必是渐近稳定的。,2.零状态响应稳定性,零状态响应的稳定性：如果系统对于每一个有界输入的零状态响应仍保持有界，则称该系统的零状态响应是稳定的。零状态响应稳定又称为
3、有界输入有界输出稳定（BIBO稳定）。,线性定常系统零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件是一致的。所以，线性定常系统的稳定性可以通过系统响应的稳定性来表达。,线性定常系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性！,t,控制系统的响应分为过渡状态和稳定状态，若随时间推移，其过渡过程逐渐衰减，系统响应最终收敛到稳定状态，则称该系统稳定()；如果过渡过程发散，则该系统不稳定()。,1.线性系统的解,二、线性定常系统稳定性的充分必要条件,稳态分量：对应微分方程的特解，与外部输入有关（零状态响应）。,瞬态分量：对应微分方程的通解，只与系统本身的参数、结构和初始条件有关，而与外部作用无关（零输入响应）。,c1
4、(t)系统零输入响应c2(t)系统零状态响应,2.零输入响应的稳定性,如果对于任何初始状态c1(0)、c1(1)(0)、c1(n-1)(0)，都有，则称该系统的零输入响应是稳定的。,假设,的n 个极点分布如下：,q个实数极点，其中p1是l重极点；另外ql个相异实数极点pi（i2、3、ql），2r个复数极点，设其为pk=k+jk(k=1、2、r)。于是，从拉氏反变换可求得零输入响应为：,式中：,可见，系统零输入响应稳定得充分必要条件是:系统传递函数得全部极点pi（i=1，2，n）完全位于s平面的左半平面。,3.零状态响应的稳定性,如果系统对于每一个有界输入的零状态响应仍保持有界，则称该系统的零状
5、态响应是稳定的，或称为有界输入有界输出稳定（BIBO稳定）。利用卷积分公式求零状态响应是方便的，即,对于所有有界r(t)，c2(t)为有界，则零状态响应稳定。,假如r(t)有界，则对于所有的t应有，此处K1是大于零的常数，即有。,式中，则必然可以求得：,即对所有t，零状态响应c2(t)有界。,考虑到绝对值的积分大于等于积分的绝对值，则,如果系统的单位脉冲响应能够满足下式：,式中,可见，只有系统传递函数的全部极点si（i=1，2，n）位于s平面左半平面，才能使时，g()趋于零的速率快到足以使。这样，系统的零状态响应才是有界输入有界输出稳定。,结论：,线性定常系统稳定的充分必要条件是：特征方程式的
6、所有根均为负实根或其实部为负的复根，即特征方程的根均在复平面的左半平面。,由于系统特征方程的根就是系统的极点，所以也可以说，线性定常系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在复平面的左半部分。,对于复平面右半平面没有极点，但虚轴上存在极点的线性定常系统，称之为临界稳定的，该系统在扰动消除后的响应通常是等幅振荡的。,三、劳斯-赫尔维茨稳定判据,根据线性定常系统稳定性的充分必要条件，可以通过求取系统特征方程式的所有根，并检查所有特征根实部的符号来判断系统是否稳定。,采用劳斯（赫尔维茨）稳定判据，可以不用求解方程，只根据方程系数做简单的运算，就可以确定方程是否有（以及有几个）正实部的根，从而判定系统是否
7、稳定。,由于一般特征方程式为高次代数方程，要计算其特征根必须依赖计算机进行数值计算。,（一）劳斯判据,1.线性定常系统的劳斯判据,设线性定常系统的特征方程为,必要条件：控制系统特征方程式的所有系数均为正值，且特征方程式不缺项。,充分条件：劳斯表中第一列所有项均为正号。,如果特征方程式所有系数都是正值，将多项式的系数排成下面形式的行和列，即为劳斯表。,表中，,系数b 的计算，一直进行到后面的全部为零时为止。,同样采用上面两行系数交叉相乘的方法，可以求出c、d、e、f 等系数，即,这个过程一直进行到n+1行为止。其中第n+1行仅第一列有值，且正好是方程最后一项an。,几点说明：,劳斯表是三角形。在
8、展开的劳斯表中，为了简化其后的数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性结论；,如果必要条件不满足（即特征方程系数不全为正或缺项），则可断定系统是不稳定或临界稳定；,劳斯表中第一列的数值均为正值，则系统稳定，否则系统不稳定，并且系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。,例3-2 设有一个三阶系统的特征方程为,证明：上式对应的劳斯表为,根据劳斯判据，系统稳定的充要条件是劳斯表第一列系数均大于零。所以有。,式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是：,解 由图可知，系统的闭环传递函数为,所以系统的特征方程为,例3-3 考虑下图所示的系统，确定使
9、系统稳定的K的取值范围。,列劳斯表如下：,根据劳斯判据，系统稳定必须满足：,当 时，系统处于临界稳定状态。,因此，使系统闭环稳定的K的取值范围为：,在劳斯表的某一行中，出现第一个元素为零，而其余各元均不为零，或部分不为零的情况；,可用一个很小的正数代替为零的元素，然后继续进行计算，完成劳斯表。如果零()上面的系数符号与零()下面的符号相反，表明这里有一个符号变化。,也可以用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯稳定判据。,2.劳斯表的两种特殊情况及其处理,因为劳斯表第一列元素的符号改变了两次，所以系统不稳定，且有两个正实部的特征根。,例如，系统的特征方程为,其
10、劳斯表如下：,若以(s+2)乘以原特征方程：,整理得新的特征方程：,列出新劳斯表：,可见，劳斯表第一列元素的符号改变了两次，所以系统不稳定，且有两个正实部的特征根。与前一种方法得到相同结论。,这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。这些根或为共轭虚根；或为符号相异但绝对值相同的成对实根；或对称于实轴的两对共轭复根；或上述情况同时存在。,可用全零行的上一行元素构成一个辅助方程，并将上述辅助方程对s求导，用求导后的方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯表。,辅助方程的次数通常为偶数，它表明数值相同但符号相反的根数。所有那些数值相同但符号相异的根，均可由辅助方程求得。,在劳斯表的
11、某一行中出现所有元素均为零的情况,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数:2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3,例如，系统的特征方程为,劳斯表为,s=j,由上看出，劳斯表第一列元素符号均大于零，故系统不含具有正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方程 解出。,3.劳斯稳定判据的应用,在线性控制系统中，劳斯判据主要用来判断系统的稳定性。如果系统不稳定，则这种判据
12、并不能直接指出使系统稳定的方法；如果系统稳定，劳斯判据也不能保证系统具备满意的动态性能。即劳斯判据不能表明系统特征根在s平面上相对于虚轴的距离。,由高阶系统单位阶跃响应表达式可知，若负实部特征方程式的根紧靠虚轴，则系统动态过程将具有缓慢的非周期性或强烈的振荡特性。,为了使稳定的系统具有良好的动态响应，我们常常希望在s左半平面上系统特征根的位置与虚轴之间有一定的距离。为此，可在左半平面上作一条s=a的垂线，而a 是系统特征根位置与虚轴之间的最小距离，通常称为给定稳定度，然后用新变量s1=s+a代入原系统特征方程，得到一个以s1为新变量的新特征方程，对新特征方程应用劳斯判据，可以判别系统的特征根是
13、否全部位于s=a垂线之左。,例34 设比例积分（PI）控制系统如下图所示。其中K1为与积分器时间常数有关的待定参数。已知参数=0.2及n=86.6，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的K1取值范围。如果要求闭环系统极点全部位于s=1垂线之左，问K1值范围又应取多大？,比例积分控制系统图,解 系统的闭环传递函数为：,闭环特征方程为：,代入已知的与n，得,列出相应得劳斯表：,得K1得取值范围为：,当要求闭环极点全部位于s=1垂线之左时，可令s=s1-1，代入原特征方程，得到如下新特征方程：,相应得劳斯表：,得K1得取值范围为：,整理得：,（二）赫尔维茨判据（六阶以下系统）,系统的特征方程为如下标准
14、形式,以它的各项系数写出如下行列式,对角线上各元为特征方程中第二项开始的各项系数。对角线左边a的脚标递增，右边递减。写到特征方程中不存在的系数时，以零代替。,赫尔维茨判据：在a00的情况下，上述行列式的各阶主子式均大于零，即,特点：,例如三阶系统的特征方程为列出系数行列式,即系统稳定的充分必要条件是:,与劳斯判据相对比：,又如四阶系统的特征方程为列出系数行列式,则系统稳定的充分必要条件是：对比劳斯判据：,例35 已知系统的闭环传递函数为：,求临界放大系数Kc及其与参量1、2及3的关系。,解 系统的特征方程为,根据劳斯判剧，稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数均大于零，并且,即得,从而得临界放大系数,决定Kc大小的实际上并不是各时间常数的绝对值，而是其相对值，即取决于各时间常数的比值。,还可以求出开环增益临界值Kc的极小值Kcmin与参量1、2及3的关系。为此先求出Kc对1、2及3偏导数并令其为零。,整理以上各式，即得,由此可见，1、2及3必须同时满足以上三式，Kc才有极值。又因为以上三式的形式是一样的，所以能够看出，只有 时，Kc才有极值。,为进一步确定极值是极大值还是极小值，可对Kc对的二阶偏导来判断。,，故为极小值。且,由于,待 续！,
