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1、.,1,三角形的重心,高中数学 毛 维,播种行为，收获习惯！,.,2,主要内容：一、三角形重心的定义二、重心的五个重要性质三、三角形的五“心”简介,.,3,连接AD,BE,交于点O，,O点即为ABC的重心.,如图所示：在ABC中，点D、E分别是BC、AC的中点.,A,B,C,D,E,重心的定义,三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心,.,4,重心分中线之比为2:1.即 AO:OD=2:1,A,B,C,D,E,O,取EC中点H，连接DH,可证 AO：OD=2:1,重心性质1,.,5,重心性质2,连接CO并延长，交AB于F,根据性质1，可以证明,过点D作DG/CF，交AB于G,三角形的三中
2、线必然交于一点.此点恰是重心.,故F为AB中点.,AF:FG=2:1,FG:GB=1:1,.,6,分别延长中线，可交对边的中点.,易知：SAOB=2SBOD=SBOC,重心性质3,.,7,B,C,O,A,由中线向量的性质：,？,如果O为ABC的重心，那么,重心性质4,.,8,B,C,O,A,D,E,F,重心向量常见变化形式：,（2）,（3）中线AD上的点P满足：,（1）,.,9,B,C,O,A,N,M,连接AO,因为M、O、N三点共线,可得,所以,重心性质5,，,则.,，,，,设直线l过重心O，交AB、AC于点M、N，,.,10,B,C,A,N,M,它的逆命题也成立！,则直线l必过ABC的,重
3、心,.,11,C,【友情链接】,1.（2010年湖北卷）已知ABC和点M满足,，若存在实数m使得,成立，则,（）,A2B,C3 D6,解析：,.,12,【补充内容】,三角形“五心”向量形式的充要条件：,设O为ABC所在平面内一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则,（1）O为重心（三条中线的交点）,.,13,（2）O为垂心（三条垂线的交点）,.,14,（3）O为外心（中垂线交点，外接圆圆心）,.,15,（4）O为内心（角平分线交点，内切圆圆心）,（5）O为A旁心（旁切圆圆心，A平分线与两外角平分线交点）,(1)(2)(3)常考；(4)(5)只作了解.,.,16,【友情链接】2.（200
4、9宁夏海南卷）已知O,N,P在ABC所在平面内，且，,，则O,N,P依次是ABC的,A.重心 外心 垂心,C.外心 重心 垂心,D.外心 重心 内心,B.重心 外心 内心,答案：(C),解析：,.,17,提示：连GA,【课后思考】：1设G为ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和GBC的面积相等,G,AMG的面积=GBM的面积，GAN的面积=GNC的面积,.,18,【课后思考】2.已知A,B,C三点不共线，且点O满足,，下列结论正确的是（）,A.,C.,D.,B.,提示：,.,19,小结,1.重心的定义,2.重心五个性质及其变化形式,3.“五心”的认识及其向量的基本形式,4.友情链接高考试题,聪明由于积累，天才出于勤奋。,.,20,敬请各位老师批评指正！谢 谢！,
