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1、第七章,平面向量,【考试内容】,1,.,向量的概念,;,向量的运算,.,2,.,轴上向量的坐标及其运算,;,平面向量的直角坐标运算,.,3,.,两个向量平行,(,共线,),的条件,;,两个向量垂直的条件,.,4,.,向量的平移公式,;,中点坐标公式,;,两点间距离公式,.,【考纲要求】,1,.,理解向量的概念、向量的长度,(,模,),和单位向量、理,解相等向量、负向量、平行,(,共线,),向量的意义,.,2,.,掌握向量的加法与减法运算及其运算法则,.,3,.,理解数乘向量的运算及其运算法则,.,掌握两个向量平,行,(,共线,),的条件,.,4,.,理解向量的数量积,(,内积,),及其运算法则
2、,.,掌握两个向,量垂直的条件,.,5,.,理解平面向量坐标的概念、掌握平面向量的坐标运,算,.,6,.,掌握向量的平移公式、中点坐标公式和两点间距离,公式,.,【知识结构】,7.1,向量的概念及向量的加、减法运算,【复习目标】,1,.,理解向量的概念,.,2,.,掌握向量的加法、减法运算,;,能熟练地用三角形法则和,平行四边形法则作图和计算,.,3,.,能准确运用以上知识解实际生活中与向量有关的问题,.,【知识回顾】,1,.,向量的概念,(1),向量的定义,:,既有大小,又有方向的量叫向量,.,向量的两,个要素,:,大小、方向,.,(2),向量的表示,:,用有向线段表示,如图,记为向,量,或
3、向量,a,.,有向线段的长度表示向量的大小,箭头指向表示,向量的方向,.,(3),向量的长度,(,模,):,表示向量的有向线段的长叫向量的长,度,(,或模,),记作,|,或,|,a,|.,向量的长度,(,模,),反映的是向量的大小,.,(4),几个概念,:,零向量,:,长度等于,0,的向量叫零向量,.,单位向量,:,长度等于,“1,个单位,”,的向量叫单位向量,.,相等向量,:,长度相等且方向相同的向量叫相等向量,.,相反向量,:,长度相等且方向相反的向量叫相反向量,.,平行向量,(,共线向量,):,表示一些向量的有向线段所在的,直线互相平行或重合,则称这些向量为平行向量,(,也叫共线向,量,
4、).,【说明】,零向量的方向是任意的,;,零向量与任何向,量都是平行向量,;,任何一个向量,a,的相反向量都可以记为,-,a,;,表示平行向量的有向线段所在的直线平行或重合,即平行向,量的方向只能相同或相反,;,相等向量、相反向量一定是平行,向量,反之,不成立,;,零向量与单位向量只体现向量的长度特,征,;,平行向量只体现向量之间的方向关系,;,相等向量、相反向量,同时体现向量之间的长度与方向关系,.,2,.,向量的运算,(,1,),向量的加法,三角形法则,:,已知向量,a,、,b,作,?,=,a,?,=,b,则,?,=,?,+,?,=,a,+,b,(,如图,1,),图,1,图,2,平行四边形
5、法则,:,已知向量,a,、,b,作,?,=,a,?,=,b,以,AB,、,AD,为邻边作平行四边形,ABCD,则,?,=,?,+,?,=,a,+,b,(,如图,2,),;,【说明】,向量加法的运算律,:,交换律,a,+,b,=,b,+,a,;,结合律,(,a,+,b,),+,c,=,a,+,(,b,+,c,),;,?,+,?,=,?,是一个向量加法的恒等式,它体现了向量加法的三角形法,则,但,?,、,?,、,?,三者并不一定构成一个三角形,如,?,?,时,三者在一条直线上,;,三,角形法则适用于若干个向量的求和,其关键在于“加向量首尾相连,和向量是第一个加向,量的始点指向最后一个加向量的终点”
6、,如,?,+,?,+,?,=,?,.,但多个向量的求和不宜用平,行四边形法则,;,根据三角形法则,可以得出,|,a,|,-|,b,|,|,a,+,b,|,|,a,|,+,|,b,|,.,(,2,),向量的减法,已知向量,a,、,b,作,?,=,a,?,=,b,则,?,=,?,-,?,=,a,-,b,【说明】,?,-,?,=,?,是一个向量减法的恒等式,它是根据向量,加法的三角形法则而得到,因此,三个向量也不一定构成一个三角形,;,两个向量相减,始点相连,差向量是减向量的终点指向被减向量的终,点,;,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量,即,a,-,b,=,a,+,(,-,b,),因此,向量,
7、的减法运算也可以转化成加法运算,;,根据向量的减法,可以得出,|,a,|,-|,b,|,|,a,-,b,|,|,a,|,+,|,b,|,.,【例题精解】,【例,1,】,如图,设,O,是正六边形,ABCDEF,的中心,完成下列问题,(,1,),写出,?,的相等向量,;,(,2,),写出,?,的相反向量,;,(,3,),写出,?,的平行向量,.,【解】,(,1,),?,=,?,=,?,=,?,(,2,),?,的相反向量,:,?,、,?,、,?,、,?,(,3,),?,的平行向量,:,?,、,?,、,?,、,?,、,?,、,?,、,?,、,?,、,?,【点评】,向量的相等既要求大小相等,同时要求方向
8、相同,二者缺一不,可,如,?,?,;,相反向量要求大小相等,同时方向相反,二者缺一不可,如,?,不,是,?,的相反向量,;,平行向量只要求向量所在的直线平行,(,或重合,),与长度无关,它们的方向相同或相反,.,【例,2,】,如图,?,+,?,=,?,+,?,=,?,-,?,=,?,-,?,=,.,【解】,?,+,?,=,?,;,?,+,?,=,?,;,?,-,?,=,?,;,?,-,?,=,?,【点评】,首尾连接的两个向量的和向量等于第一个向量的,始点指向第二个向量的终点,;,始点连接的两个向量的差向量等于,减向量的终点指向被减向量的终点,.,【例,3,】,根据已知向量,a,、,b,求作,a
9、+b,、,a-b.,(1),【解】,略,【点评】,向量加法的三角形法则,并不是说,a,、,b,、,a+b,三者,一定构成一个三角形,.,当,a,与,b,平行时,则,a,、,b,、,a+b,三者在同一,条直线上,【同步训练】,【答案】,B,一、选择题,1,.,?,+,?,+,?,+,?,等于,(,),A,.,?,B,.,?,C,.,?,D,.,?,【答案】,C,2,.,?,-,?,-,?,=,(,),A,.,?,B,.,?,C,.,?,D,.,?,【答案】,D,3,.,?,+,?,-,?,=,(,),A,.,?,B,.,?,C,.,?,D,.,?,【答案】,B,4,.,下列等式中,正确的个数是,
10、(,),a+b=b+a,a-b=b-a,?,-a=-a,-,(,-a,),=a,a+,(,-a,),=,?,A,.,5,B,.,4,C,.,3,D,.,2,【答案】,B,5,.,在,ABC,中,?,=,a,?,=,b,则,?,等于,(,),A,.,a+b,B,.,-(a+b),C,.,a-b,D,.,b-a,【答案】,B,6,.a,、,b,满足何条件时,等式,|a+b|=|a|+|b|,成立,(,),A,.,对任意向量,a,、,b,B,.a,与,b,同向,C,.a,与,b,反向,D,.a,与,b,共线,【答案】,C,7,.a,、,b,满足何条件时,等式,|,a-b|,=|,a|,-|,b|,成
11、立,(,),A,.b,必等于,?,B,.a,与,b,同向,C,.a,与,b,同向,且,|,a|,|,b|,D,.a,与,b,反向,【答案】,D,8,.a,、,b,满足何条件时,等式,|a+b|=|a|-|b|,成立,(,),A,.a,与,b,同向,B,.a,与,b,反向,C,.a,与,b,同向,且,|a|,|b|,D,.a,与,b,反向,且,|a|,|b|,【答案】,B,9,.,下列命题正确的是,(,),A,.,单位向量都相等,B,.,平行向量所在的直线一定平行或重合,C,.,共线向量所在的直线一定重合,D,.,方向相反的向量互为相反向量,【答案】,B,10,.,下列说法正确的是,(,),A,
12、.,?,没有方向,B,.,?,方向是任意的,C,.,?,=,0,D,.|,?,|,=,1,二、填空题,11,.,如图,?,+,?,=,?,-,?,=,?,-,?,=,?,+,?,=,.,12,.,设,a,、,b,为非零向量,若,|,a+,b|,=|,a|,+,|,b|,则,a,的方向与,b,的方,向必定,.,13,.,设,a,表示“向东走,3km,”,b,表示“向北走,3km,”,则,a+,b,表示,.,?,?,?,?,?,相同,向东北走,3,?,km,二、填空题,14,.,在单位正方形,ABCD,中,设,?,=a,?,=b,?,=c,则,|,a+,b|,=,|,a+,b+,c|,=,|,a+
13、,c-b|,=,.,15,.,如图,已知一点,O,到平行四边形三个顶点,A,、,B,、,C,的向,量分别为,a,、,b,、,c,则,用,a,、,b,、,c,表示,?,=,.,?,2,?,2,a+c-b,三、解答题,16,.,根据所给向量,求作和,(,或差,):,(1),分别求作,a+b,、,a-b,(2),求作,a+b-c,17,.,某人先向东走了,3,米,接着向西走了,5,米,求此人所走的,路程及位移,.,【解】,设向量,?,:,向东走,3,米,向量,?,向西走,5,米,如图,.,则,?,+,?,=,?,其中,|,?,|,=,5,-,3,=,2,?,方向为向西,.,|,?,|,+,|,?,|,=,3,+,5,=,8,即此人所走的路程为,8,米,位移为向西走,2,米,.,18,.,一艘轮船先向南航行,20,海里,再向东航行,20,海里,求这,艘轮船实际航行的路程及位移,.,【解】,设,a,:,向南航行,20,海里,b,:,向东航行,20,海里,.,则实际航行的路程为,|,a|,+,|,b|,=,20,+,20,=,40,(,海里,),位移为,a+,b,其中,|,a+,b|,=,|,?,|,?,+,|,?,|,?,=,20,?,(,海里,),方向为向南偏东,45,.,
