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1、1,班级：星期：节 年 月 日,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,2,友情提示,本次课讲第四章第一二节：向量组的线性表示与线性相关性；下一次课讲第四章第二节（续）与第三节：相关性与向量组的秩；下次上课时交作业P25P26,3,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,4,一、向量组及其相关概念,1.向量:(1)向量的定义,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,5,2.向量组的概念,（1）向量组的定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合：,（2）所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,6,（2）矩阵与向量组：,由 m 个
2、n 维行向量所组成的向量组 构成一个 mn矩阵,因此，矩阵与它所对应的行（列）向量组有一一对应的关系，向量组称矩阵的向量组，矩阵称向量组的矩阵,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,7,3.线性组合的概念：,4.线性表示的概念：,线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,8,即向量 能由向量组 线性表示.,例如：,5.向量组由向量组线性表示概念,定义3,设有两个向量组 A：及 B：，,则称向量组 B 能由向,量组 A 线性表示。,6.向量组的等价：向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。,这是第二次遇到等价概念：一个是矩阵间互相初等
3、变换的等价；这里是向量组间间互相线性表示的等价,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,9,7.向量组的线性相关概念,(1)定义,给定向量组 A：，,如果存在不全为零的数,使,则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关,“否则”,则必有,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,10,二、用方程组判断和求解向量组的线性表示的系数,将方程组变形为：,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,11,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,12,2.用方程组判定与求解向量组间的线性表示系数.,设向量组 A 与向量组 B 所构成的矩阵依次记作,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,13,第八讲：向量组的线性表
4、示与线性相关性,14,特别提示：定理所涉及的向量组均是列向量组，方程组的解也是列向量表示，“行变换、列向量”一定要记牢,(2)两个推论。由以上定理，不难推出以下结论,分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,15,（4）线性表示秩的解法的概括：,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,16,(其中C可取任意值),第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,17,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,18,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,例3（05，2，9分）,19,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,20,继续往行阶梯化下去：,第八讲：向量组的线性表示
5、与线性相关性,21,三、用方程组判定线性相关无关性,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,22,（1）按照定义判定。,思路：用定义，无关即向量的齐次线性方程组只有非零解，即系数行列式不等于零,证:,设有 使,即,因 线性无关，故,的系数只有零解,4.线性相关性的判定：,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,23,此方程组的系数行列式为,定理4,（2）按照向量组的秩判定：,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,24,例5 已知,试讨论向量组 及向量组 的线性相关性.,解,对矩阵 施行初等行变换，,则 R,向量组,R=2,线性无关.,向量组,线性相关；,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,25,
6、（3）按照整体与部分的关系判定,（4）用向量的维数判定：,m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数m 时一定线性相关.,（5）线性表示与相关性的关系定理：,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,26,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,27,证:,1),由定理,线性无关,由定理,2),由(1),能由 线性表示.,证明:,1),能由 线性表示.,2),不能由 线性表示.,分析：1.部分无关、整体相关则增加部分可由无关组线性表示，2.否定命题多用反证，若能线性表示推出矛盾即可,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,例4.设向量组 线性相关,向量组 线性无关,28,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,29,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,30,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,31,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,32,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,
