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1、9.10 多元函数的极值及其求法,多元函数的极值和最值 条件极值拉格朗日乘数法,一、多元函数的极值和最值,一、多元函数的极值和最值,1、多元函数极值的定义,极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.,设PRn,函数u=f(p)在p0的某邻域U(p0,)内有定义,对任何p U(p0,),pp0,都有f(p)f(p0),称函数 u=f(p)在p0点有极小值。,(1),(2),(3),例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,前提:多元函数在(X0,Y0)处有偏导。注:1)极值点处的切平面平行于xoy平面;2)使一阶偏导数同时为零的点,称为函数的驻点.,驻点,极值点,如何判定驻点是
2、否为极值点?,注意:,求最值的一般方法:将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.,3、多元函数的最值,第三步,比较以上两步所得各函数值,最大者为M,最小者为m故M=25,m=9,解,(舍去x1),解,由,x=y,无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,并无其他条件.,实例:小王有200元钱,他决定用来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带,设他购买 张磁盘,盒录音磁带达到最佳效果,效果函数为 设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质:求 在条件 下的极值点,二、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值:对自变量有附加条件的极值,解,则,2x=3y,y=2z,解,可得,即,1.在椭圆 上求一点,使其到直线,的距离最短。,解 设P(x,y)为椭圆 上任意一点,则P到直线,的距离为,求d 的最小值点即求 的最小值点。作,由lagrange乘数法,令,得方程组,解此方程组得,于是,由问题的实际意义最短距离存在,因此 即为所求点。,3.,解,分析:,得,P190 6,思考,