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1、第二章 线性控制系统的状态空间描述,第二章 线性控制系统的状态空间描述,2.1 状态变量及状态空间表达式2.2 状态空间表达式的模拟结构图2.3 状态表达式的建立（一）2.4 状态表达式的建立（二）2.5 状态向量的线性变换（坐标变换）2.6 从状态空间表达式求传递函数2.7 时变系统和非线性系统的状态空间表达式,2.1 状态变量及状态空间表达式,系统方块图,一、状态变量,系统的状态变量是系统中足以描述系统时域行为的最小一组变量。当它在tt0时刻的值已知时，则在给定tt0时间的输入作用下，便能完全地确定系统在任何tt0时间的系统行为。状态变量的确定和个数n阶微分方程要唯一确定其解，必须已知n个
2、独立的初始条件n阶系统的n个独立变量取决于系统中的独立储能元件的个数,2.1,二、状态向量,如果n个状态变量用x1(t),x2(t),xn(t)表示，并把这些状态变量看作矢量X(t)的分量，则X(t)称为状态向量。记作,2.1,三、状态空间,状态空间：以状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴所构成的n维空间状态空间。状态轨迹：X(t0)对应状态空间中的一个初始点，随着时间的推移，X(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹。,2.1,四、状态方程,状态方程：由系统状态变量构成的一阶微分方程组。例：R-L-C网络的状态方程建立,2.1,R-L-C网络的状态方程建立,此系统有两个独立储能元件，
3、即电容C和电感L，所以应有两个状态变量。状态变量的选取原则上是任意的，考虑到系统的物理特性，可选取流经电感的电流i和电容两端的电压uc为系统的两个状态变量。,2.1,R-L-C网络的状态方程建立,根据基尔霍夫定理，可得含有状态变量的一阶微分方程组,2.1,R-L-C网络的状态方程建立,经整理得R-L-C网络的状态方程为,2.1,R-L-C网络的状态方程建立,用一般符号表示，令x1=uc，x2=i并写成向量矩阵形式，则状态方程为,2.1,R-L-C网络的状态方程建立,或,2.1,五、输出方程,输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系式。上述R-L-C网络系统中，若指定x1=uc作为输出，输出一般
4、用y表示，则有 y=uc 或 y=x1它的矩阵表达式为,2.1,六、状态空间表达式,状态空间表达式：状态方程和输出方程一起构成的对系统的完整的动态描述。R-L-C网络系统的状态空间表达式(x1=uc，x2=i),2.1,在经典控制理论中，R-L-C网络系统的动态过程描述采用两阶微分方程，若以uc为输出，由上述的状态方程中消去i得,2.1,R-L-C网络系统的另一种状态变量的选取,R-L-C网络系统，若取 作为状态变量，则状态方程为,2.1,从高阶微分方程或从传递函数变为状态方程，即多个一阶微分方程，则此时的状态方程可以有无穷多种，因为状态变量的选取可以有无穷多种。状态变量的非唯一性与传递函数并
5、未描述系统的结构即系统结构不确定有关,2.1,同一系统，状态变量的选取不同，状态方程也不同。理论上，状态变量的选取可以没有任何物理意义；工程实际中，状态变量的选取以可以测量的物理量为宜。,2.1,系统的状态空间描述,系统的状态空间描述：建立系统的输入、状态和输出之间关系的数学表达式。,2.1,输入输出描述的系统方块图,引入系统状态后的系统方块图,系统的状态空间描述,系统的各变量之间的相互关系可以描述为：系统的输入引起状态的变化，再进而引起输出的变化。相应的，系统的运动也由如下两组方程分别描述,2.1,（2.11）,（2.12）,（2.11）式状态方程，（2.12）式输出方程，,上面两个方程也可
6、细写成,2.1,线性系统的状态空间表达式,2.1,线性定常系统的状态空间表达式,七、状态空间表达式的系统方块图,2.1,2.2 状态空间表达式的模拟结构图,模拟结构图反映了状态变量间的信息传递关系绘制状态空间表达式的模拟结构图例1：,2.2,例2：二输入、二输出系统的模拟结构图,2.2,2.2,2.3 状态空间表达式的建立(一),状态空间表达式的建立途径：由系统方块图建立从系统的物理或化学机理出发进行推导由高阶微分方程或传递函数变换获得,一、由系统方块图建立状态空间表达式,直流电动机在电枢控制时的方块图描述,2.3,2.3,选状态变量 x1=ia,x2=,输入u=ua,输出 y=，得该系统的状
7、态空间描述：,二、从系统的机理出发建立状态空间表达式,例：倒立摆系统,2.3,小车沿水平方向的力平衡方程是,2.3,考虑到对所研究的对象，0，两式可线性化为,或,2.3,设状态变量 输入u,输出 y=z，则状态空间描述为,2.3,2.4 状态空间表达式的建立（二）,实现问题：由描述系统输入输出动态关系的运动方程式或传递函数建立系统的状态空间表达式。考虑一个单输入、单输出的线性定常系统：式中u为输入，y为输出,写成传递函数形式为：,2.4,系统状态空间表达式能控标准型,2.4,设,2.4,能控标准型实现：,2.4,能观标准型实现：,2.4,例：系统输入输出微分方程为,试求其状态空间表达式。,解：
8、,例：试求下列系统的状态空间表达式。,解：,2.4,2.5 状态向量的线性变换（坐标变换）,一、系统状态空间表达式的非唯一性,对给定的线性定常系统：,总可以找到任意一个非奇异的矩阵T，对X作线性变换，得到另一个状态向量Z。设 X=TZ 即 Z=T-1X,则可得以Z为状态向量的状态空间表达式,2.5,由于T为任意非奇异矩阵，故状态空间表达式非唯一。,例：某系统的状态空间表达式为,2.5,解：1）,2.5,经变换后的状态空间表达式为,2.5,解：2）,经变换后的状态空间表达式为,二、系统特征值的不变性,1、系统的特征值：系统矩阵A的特征值,2.5,即特征方程,的根,2、系统特征值的不变性,需证明,
9、和,的特征多项式相同。,证明：,2.5,3、特征向量,为系统的特征值，,对应于不同特征值的特征向量为,而,，或,，,。,例：,A的特征值是1、2、3,对应于,的特征向量,是下列方程的非零解,2.5,2.5,对应于,的特征向量,是下列方程的非零解,对应于,的特征向量,是下列方程的非零解,2.5,三、状态空间描述变换为约旦标准型,1、A阵非规范形式时,1）A特征值无重根时,2.5,例：,2.5,解：A的特征值是1、2、3,2.5,2.5,2）A特征值有重根时,不失一般性，设A为一44矩阵，特征值为4重根。为将A变成约旦标准型，则求(IA)qi=0 的解qi，qi的线性独立解的维数为4rank(IA
10、)431，即A对应的独立特征向量维数为1。显然这时无法将A相似变换成对角线形式。为此，引入广义特征向量的概念，使能获得接近于对角线形式的J。比较简单的一种形式是,2.5,由此引出广义特征向量的定义,即：,2.5,k4时的广义特征向量链v1、v2、v3、v4，满足:(A I)v1=0(A I)v2=v1(A I)v3=v2(A I)v4=v3这里，v1仍为A对应的特征向量，v2、v3、v4 为广义特征向量。即变换矩阵的选取 Tv1 v2 v3 v4则 J=T-1AT,设A的特征根1有q重，其余n-q个根互异，变换矩阵T Tv1 v2 vq pq+1 pnpq+1，pn对应于n-q个单根的特征向量
11、，对应于q个重根的广义特征向量v1 v2 vq 的求法如下：,2.5,(A I)v1=0(A I)v2=v1(A I)vq=vq-1,2.5,广义特征向量：向量V如满足以下条件，则称为k阶广 义特征向量,如果k=1，它就简化成(A I)V=0及V0，V就是特征向量。对于k4的广义特征向量链，由定义,又：,2.5,即:,例：试将下列状态空间表达式化为约旦标准型,2.5,2.5,2.5,例：如果A具有两个或两个以上特征值，例如有13重根，2没有重根，则可能具有以下之一的形式,2.5,2、A阵为规范形式时,2.5,1）A的特征值 1，2，互异，变换阵T为范德蒙矩阵,2.5,2）A的特征值有重根时，与
12、1)有所不同例：,有特征值1、1、3，作非奇异线性变换,2.5,2.5,例：考虑下列系统的状态空间表达式：,解：,矩阵A的特征值为,作变换,2.5,变换后得：,2.5,3、系统的并联型实现,1)考虑分母多项式中只含相异根的情况,设,得到,得系统的状态空间表达式的约旦（对角线）标准形：,2.5,2）分母多项式中含有重根的情况,2.5,假设系统极点除了前3个即 相等外，其余极点 相异,系统状态空间表达式,2.5,2.5,求下列系统的约旦标准型,解：,2.6 由状态空间表达式求传递函数阵,一、传递函数（阵）对给定的线性定常系统：,取拉氏变换,整理后得,若则,系统的传递函数阵,2.6,2.6,对单变量
13、系统，传递函数为：,例：求下列系统的传递函数,2.6,解：,2.6,对传递函数阵,，若,，则,是严格正则有理函数阵。而若,是常数阵，则,是正则有理函数阵。,2.6,二、子系统各种联结时的传递函数阵,两个子系统S1和S2的三种连接方块图,2.6,设,的状态空间描述为,1、并联联结,，,并联联结时的状态空间表达式：,2.6,组合系统的状态,，于是得,组合系统的传递函数阵,所以,2.6,n个子系统并联连接,2、串联联结,，,以及,系统的状态空间描述,2.6,经整理得,串联连接的组合系统的传递函数阵,3、反馈联结,2.6,，,系统的状态空间描述,整理得,2.6,反馈联结的传递函数阵推导如下,于是有,若
14、,是非奇异的，则得反馈连接的组合系统的传递函数阵为：,2.6,如果,与,都是非奇异的，则,所以反馈连接的组合系统的传递函数阵另一表达式为：,2.7 时变系统和非线性系统的状态空间表达式,一、线性时变系统,2.7,二、非线性系统,设非线性系统对应于,的状态空间描述为,或,或,将上式中的,和,在,的邻域内进行泰勒展开，有,2.7,式中，,。,和,是泰勒展开的高次项,由向量对向量求导规则，有,2.7,在略去高次项,后，就可得到在,邻域内线性化的状态空间描述,2.7,例：试求下列非线性系统在X00处的线性化状态空间表达式。,解：由状态方程和输出方程可知,2.7,第二章 小结,2.1 状态变量及状态空间表达式2.2 状态空间表达式的模拟结构图2.3 状态空间表达式的建立（一）2.4 状态空间表达式的建立（二）2.5 状态向量的线性变换（坐标变换）2.6 从状态空间表达式求传递函数2.7 时变系统和非线性系统的状态空间表达式,
