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1、第五章 无约束问题算法（III）,共轭梯度法,共轭方向法的思路,对于简单的二次函数,任给一个初始向量x(0),沿着方向e1=(1,0,0)T进行搜索,即求解下面问题,由于,因此,注:此处的一维搜索中a1的范围是整个实数集,即x(1)是函数在集合x(0)+a1e1,a1R中的极小点.,共轭方向法的思路,x(1)与x(0)唯一不同的是它们的第一个分量.其中x(1)的第一个分量与原问题最优解 b 的第一个分量一致,其余的分量未发生变化.,下面再沿着方向e2=(0,1,0,0)T进行搜索,得到的x(2)的前两个分量与最优解 b 的前两个分量一致,其余分量不变.,显然,x(2)是函数在集合x(0)+a1
2、e1+a2e2,a1,a2R中的极小点.,共轭方向法的思路,因此,上述的迭代过程每一步在一个分量上达到最优,且每一步求得了函数在一个集合中的极小点,这种集合在迭代过程中逐渐扩大,迭代n步之后得到原问题的最优解.,将此过程进行下去有,进行n步后有,x(k)是函数在x(0)+a1e1+a2e2+akek,a1,a2,akR中的极小点.,共轭方向法的思路,在三维情况下,上面的迭代过程可以用图形来表示.,x(0),x(1),x(2),x(3),=x*,共轭方向法的思路,上面的方法对一般的二次函数是否适用呢?考虑问题,其中,易见G是正定的,f(x)的极小点为(0,0)T.,以x(0)=(-1,-1)T为
3、初始点,在方向e1=(1,0)T上进行一维搜索.即求解问题,易求得a1*=3,x(1)=x(0)+a1*e1=(2,-1)T.,第一个分量没有变为0,进一步沿e2=(0,1)T搜索显然不能达到 f(x)的极小点.,共轭方向法的思路,在空间Rn上,重新定义内积与范数:,给定最优化问题(其中G对称正定),则,共轭方向法的思路,在Rn上,按照上面定义的内积给出一组正交基p1,p2,pn,因此原问题等价于,即p1,p2,pn线性无关,且,设问题的最优解x*=-G-1b在这组基底下的表示为x*=u1 p1+u2 p2+un pn,任取初始点x(0)=s1 p1+s2 p2+sn pn,在方向p1上进行一
4、维搜索,即求解问题,共轭方向法的思路,显然,当a1=u1s1时,上面的函数取最小值,x(1)=u1 p1+s2 p2+sn pn.,即x(1)与最优点在基底中第一个向量p1前的系数达到一致.,x(1)是函数在集合x(0)+a1p1,a1R中的极小点.,共轭方向法的思路,最终x(n)=u1 p1+u2 p2+un pn=x*即迭代过程同样在n步之后找到最优点.,因此,对二次函数,我们可以找到n个方向(向量),对其依次进行一维搜索,最多n步可以找到函数的最优点.,类似的,再依次沿着p2,pk进行一维搜索,可以得到x(k)=u1 p1+uk pk+sk+1 pk+1+un pn,x(k)是函数在x(
5、0)+a1p1+a2p2+akpk,a1,a2,akR中的极小点.,共轭方向法的思路,定义 设n维向量组p1,pk线性无关,x(0)Rn,称向量集合 为由点x(0)与p1,p2,pk 生成的k维超平面.,我们希望x(k)是k维超平面的极小点,于是x(n)是n维超平面(即整个Rn空间)的极小点.,若k=1,上述集合表示以p1为方向向量,且过点x(0)的一条直线.,超平面上极小点的判断,若函数f(x)连续可微,p1,p2,pk为一组线性无关的n维向量,x(0)Rn,若 是f(x)在Hk上的极小点,则p1,p2,pk都不是下降方向,因此,p1,p2,pk也不是下降方向,因此,于是有,超平面上极小点的
6、判断,严格证明:Hk上的点可以表示为,若 是f(x)在Hk上的极小点.则,定义,其中,因此,超平面上极小点的判断,反之,若,如果f(x)是严格凸函数,对于,则,因此 是f(x)在Hk上的唯一极小点.,超平面上极小点的判断,引理 设f(x)为连续可微的严格凸函数,又 p1,p2,pk为一组线性无关的n维向量,x1Rn,则是f(x)在x1与p1,p2,pk所生成的k维超平面Hk上唯一极小点的充分必要条件是,注:若k=n,易推出在xk+1的梯度为零向量.因此,这一引理是一常用定理(极小点梯度为0)的推广.,已知k个点与k个方向之后,令xk+1=xk+ak pk,进行精确一维搜索,确定xk+1,再确定
7、pk+1.,共轭方向法(用于二次函数),对于正定二次函数,确定pk的准则是希望 xk+1是目标函数在k维超平面上的极小点.xn+1就是目标函数在整个空间的极小点.,给定一个初始点x1,给出一个下降方向p1,令x2=x1+a1 p1,进行精确一维搜索,确定x2,再确定p2(方法待定).,共轭向量,对于f(x)=xTGx/2+bTx+c,有g(x)=Gx+b,因此gj+1-gj=G(xj+1-xj)=ajGpj,因此,根据引理,左边应为零,于是搜索方向满足性质piTGpj=0(i j).共轭向量:设G为n阶正定矩阵,p1,p2,pk为n维向量组,如果piTGpj=0(i j)则称向量组 p1,p2
8、,pk关于G共轭.实际上是在新的内积意义下,这是一组正交向量.,共轭方向法(用于二次函数),注:在前面讨论思路时,根据方向的共轭性(正交性)得到xk+1是目标函数在k维超平面上的极小点(后面的定理将给出严格证明).根据上一页的推导,根据极小点可以推出共轭性(正交性),即若一种迭代方法每次求出的是二次函数在k维超平面上的极小点,则对应的方向是共轭的.,基本概念,二次终止性如果一个算法经过有限次迭代就得到正定二次函数的极小点,称该算法具有二次终止性.共轭方向法是一种迭代方法,每次所取方向与前面的方向关于G共轭,然后进行精确一维搜索确定步长及下一步的迭代点.,定理 设G为n阶正定矩阵,非零向量组 p
9、1,p2,pk关于G共轭,则此向量组线性无关.,证明:设存在常数a1,a2,ak使得a1p1+a2p2+akpk=0,以piTG左乘上式,显然有ai piTGpi=0.又,G是正定矩阵,pi0,因此ai=0(i=1,2,k)于是p1,p2,pk线性无关.,共轭方向的性质,推论1 设G为n阶正定矩阵,非零向量组p1,p2,pn关于G共扼,则此向量组构成 Rn的一组基.,推论2 设G为n阶正定矩阵,非零向量组p1,p2,pn关于G共扼,若向量v与p1,p2,pn 关于G共扼，则v=0.,共轭方向的性质,共轭方向法(用于二次函数),定理 设G是n阶正定阵,向量组p1,p2,pk关于G共轭,对正定二次
10、函数f(x)=xTGx/2+bTx+c 由任意初始点x1开始,依次进行k次一维搜索,xi+1=xi+aipi(i=1,2,k)则(i)gTk+1pi=0(i=1,2,k).(ii)xk+1是二次函数在k维超平面Hk上的极小点.推论 当k=n时,xn+1为二次函数在Rn上的极小点.,共轭方向法(用于二次函数),证明要点:只要证明gTk+1pi=0.,精确一维搜索,共轭梯度法(共轭方向的形成),我们首先讨论针对下面二次函数的共轭梯度法,给定初始点x0,初始下降方向取为p0=-g0,从x0出发,沿方向p0进行一维搜索得x1.,设p1是-g1与p0的线性组合p1=-g1+b0p0,p1与p0共轭,于是
11、,因此,共轭梯度法(共轭方向的形成),假设已经沿k个共轭方向p0,p1,pk-1逐次进行一维搜索得xk.,若gk=g(xk)=0,则xk已是极小点,否则构造下一个方向pk.令pk为-gk以及p0,p1,pk的线性组合.,用pjTG(j=0,1,k-1)左乘上式,因此,共轭梯度法(共轭方向的形成),再根据二次函数的性质,有,由于,有,因此,由于xk是由点x0及向量p0,p1,pk-1得到的k维超平面上的极小点,因此gkTpj=0(j=0,1,k-1).,由pj的构造方式,因此gkTgj=0(j=0,1,k-1).,共轭梯度法(共轭方向的形成),因此,gkTgj=0(j=0,1,k-1),根据,得
12、,所以,定理 对正定二次函数由上面三式所确定共扼方向并采用精确一维搜索得到的共轭梯度法,在m(n)次迭代后可函数的极小点,并且对所有i(1im)有,共轭梯度法(用于二次函数),其中,FR算法,(1)Flecher-Reeves公式,为了能将上述方法用于其它函数,我们必须消去系数中的G.,所以,(2)Polak-Ribiere-Polyak公式,PRP算法,由于gkTgk-1=0,所以有,对于二次函数,这两个函数是等价的,但对于一般的函数,根据这两个公式的出的算法的计算效果有差异.,FR算法中:,注:对于这两个算法,可以证明pkTgk=-gkTgk0,因而都是下降算法.,由g0=(-2,0)T0
13、,故取p0=(2,0)T,从x0出发,沿p0作一维搜索,即求min f(x0+a p0)=6a 2-4a 的极小点,得a0=1/3,于是x1=x0+a 0 p0=(2/3,0)T,g1=(0,-2/3)T,由FR公式得b0=g1Tg1/g0Tg0=1/9故p1=-g1+b0p0=(2/9,2/3)T.,例 用FR共轭梯度法求解(x0=(0,0)T),共轭梯度法算例,解,注:此处不需求G.,从x1出发,沿p1作一维搜索,求,解得a1=3/2,于是,此时,的极小点,故,此算例中,f(x)为二元的正定二次函数,因此FR算法迭代两次得到最优点,共轭梯度法算例,例 用FR方法与PRP方法求解,设初始点为
14、x0=(0,0)T.,解:,由g0=(-2,0)T0,故取p0=(2,0)T,从x0出发,沿p0作一维搜索,即求min f(x0+a p0)=1600a 4+4a2-4a+1的极小点,得a0=0.080632,(精确一维搜索方法求得,e=10-5,)于是x1=x0+a 0 p0=(0.161264,0)T,g1=(0.000065,-5.201215)T.,共轭梯度法算例,p0=(2,0)T,x1=(0.161264,0)T,g1=(0.000065,-5.201215)T,由FR公式得b0=g1Tg1/g0Tg0=6.763160故p1=-g1+b0 p0=(13.526254,5.2012
15、15)T.进一步可以以下的迭代,所得的结果(终止准则为|gk|10-12,55步收敛)见下表.,最终得到x*(1,1)T.,FR方法计算结果,从最后两组数据可以看出,虽然函数值下降,但是迭代点离最优点的距离却有所增加.,对于PRP算法,计算过程类似.计算15步收敛,x*(1,1)T对于此例,PRP方法比FR方法收敛快.计算结果见下表.,PRP方法计算结果,重新开始的共轭梯度法（补充）,对于FR算法和PRP算法,如果初始方向不取负梯度方向,即使对于二次函数,也不能产生n个共轭方向.因此,在用这两个方法时,如果迭代到距离最优点比较近,函数接近与一个二次函数时,我们重新取搜索方向为负梯度方向.一般在实际应用中迭代n步或n+1步时重新设定搜索方向为负梯度方向.,重新开始的共轭梯度法,对于前面的例子,采用重新开始的共轭梯度法得到的收敛步数为:FR算法:迭代n步重新开始,49步收敛迭代n+1步重新开始,31步收敛PRP算法:迭代n步重新开始,27步收敛迭代n+1步重新开始,13步收敛由于此处n比较小,改善并不明显.,
