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1、2020年9月28日,1,第一章 算法初步 1.3 算法案例,2020年9月28日,2,例：求下面两个正整数的最大公约数：,（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？,例：如何算出8251和6105的最大公约数？,辗转相除法与更相减损术,2020年9月28日,3,一、辗转相除法（欧几里得算法）,1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原
2、来两个数的最大公约数。,2、步骤（以求8251和6105的最大公约数的过程为例）,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,为什么呢？,第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,2020年9月28日,4,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1
3、813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例：用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,2020年9月28日,5,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m=n q r,用程序框图表示出右边的
4、过程,r=m MOD n,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,2020年9月28日,6,程序框图：,思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？,2020年9月28日,7,程序：,INPUT“m,n=”;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND,2020年9月28日,8,1.定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,二、更相减损术,
5、2、方法：,例:用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217141477,所以，98和63的最大公约数等于7,2020年9月28日,9,INPUT m,nIF mn IF dn THEN m=d,ELSE m=n n=d END IF d=m-nWENDd=2 k*dPRINT dEND,思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？,2020年9月28日,10,（1）设计求多项式,当x=5时的值的算法，并写出程序。（2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多
6、项式的求解问题？,三、秦九韶算法,引导学生把多项式变形为：,思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？,2020年9月28日,11,（3）若将x的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？,将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。这种算法即是“秦九韶算法”,（4）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九
7、韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？,2020年9月28日,12,数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：,思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？,这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？,2020年9月28日,13,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,最后的一项是什么？,这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？,2020年9月28日,14,程序框图：,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，因此可用循环结
8、构来实现。,输入ai,秦九韶算法的特点：,通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。,2020年9月28日,15,程序：,INPUT“n=”；nINPUT“an=“;aINPUT“x=“;xv=ai=n-1WHILE i=0 PRINT“i=“;i INPUT“ai=“;a v=v*x+a i=i-1WENDPRINT vEND,2020年9月28日,16,四、进位制,1、什么是进位制？,进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。,进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即
9、可称n进位制，简称n进制。,比如：,满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制,基数：,“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.,2020年9月28日,17,2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明,最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换.比如时间和角度的单位用六十进位制,计算“一打”数值时是12进制的。电子计算机用的是二进制。,2020年9月28日,18,式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个
10、位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。,我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。,十进制：,例如133.59，它可用一个多项式来表示：,133.59=1*102+3*101+3*100+5*10-1+9*10-2,2020年9月28日,19,实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。,其它进制：,二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制,二进
11、制只有0和1两个数字，七进制用06七个数字,十六进制有09十个数字及ABCDEF六个字母.,2020年9月28日,20,为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.,例如十进制的133.59，写成133.59(10),七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2),2020年9月28日,21,十进制的构成,十进制由两个部分构成,例如：3721,其它进位制的数又是如何的呢？,(用10个数字来记数，称基数为10),表示有：1个1，2个十，7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方,2020年9月28日,22,其它进制数化成十进制数公式,2020年9月28日,
12、23,二进制,二进制是用0、1两个数字来描述的如11001,二进制的表示方法,区分的写法：11001（2）或者(11001)2,八进制呢？,如7342(8),k进制呢？,anan-1an-2a1(k)？,2020年9月28日,24,二进制与十进制的转换,1、二进制数转化为十进制数,例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。,解：,根据进位制的定义可知,所以，110011（2）=51,2020年9月28日,25,例2、设计一个算法，将k进制数a(共有n位)转换为十进制数b。,(1)算法步骤:,第一步，输入a,k和n的值；,第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；,第三步，b=b+ai
13、*ki-1,i=i+1,第四步，判断in是否成立.若是,则执行第五步,否则,返回第三步；,第五步，输出b的值.,2020年9月28日,26,(2)程序框图:,2020年9月28日,27,(3)程序：,INPUT“a,k,n=”;a,k,nb=0i=1t=a MOD 10DO b=b+t*k(i-1)a=a10 t=a MOD 10 i=i+1LOOP UNTIL inPRINT bEND,2020年9月28日,28,*上面的程序如采用get函数,可简化为：,备注:GET函数用于取出a的右数第i位数,2020年9月28日,29,方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。,例、把
14、89化为二进制数,解：,根据“逢二进一”的原则，有,892441,2(2220)+1,2(2(2110)+0)+1,2(2(2(2 51)+0)+0)+1,5 2 21,2（2（2（2（221）1）0）0）1,89126025124123022021120,所以：89=1011001（2）,2（2（2（2321）0）0）1,2（2（242220）0）1,2（2523+2200）1,2624+230020,892441,44 2220,22 2110,11 2 51,2(2(2(2(2 21)+1)+0)+0)+1,所以892（2（2（2（2 2 1）1）0）0）1,2、十进制转换为二进制,20
15、20年9月28日,30,注意：1.最后一步商为0，2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）,另解（除2取余法的另一直观写法）：,5,2,2,2,1,2,0,1,0,余数,11,22,44,89,2,2,2,2,0,1,1,0,1,2020年9月28日,31,2020年9月28日,32,演讲完毕，谢谢观看！,Thank you for reading!In order to facilitate learning and use,the content of this document can be modified,adjusted and printed at will after downloading.Welcome to download!,汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日,
