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1、,3.4 单值函数的孤立奇点 函数的奇点以及关于函数在孤立奇点邻域内的性质的讨论在很多问题(留数理论及其应用、线性常微分方程的解析理论)中有重要意义。重点讨论：单值函数(或多值函数的单值分支)的孤立奇点,一、孤立奇点与非孤立奇点孤立奇点的定义：若 f(z)在z=b不解析(或没有定义)，而在z=b的无心邻域 0|zb|R 内解析，则 z=b为 f(z)的孤立奇点。(孤立：强调邻域内只有一个奇点),例：z=1 是 的孤立奇点。,(1)z=0：无定义,例：z=0是 的非孤立奇点。,2.非孤立奇点 若函数f(z)在z=b的任意小的邻域内总有除z=b以外的奇点，则 z=b是 f(z)的非孤立奇点。,(2
2、)也是 f(z)的奇点。无限接近,这样两个方面对这三类孤立奇点进行分析(见下表)。,二、孤立奇点的分类和性质孤立奇点包括：可去奇点、极点、本性奇点。下面从函数 f(z)在该点的极限性质与洛朗级数的展开性质，即：,感兴趣的是孤立奇点！,z=0的点，即在z=0的任意小的邻域内总有除z=0以外的奇点。,(1)、(2)z=0 是 f(z)的可去奇点,对于正幂项到底含有多少项，那是无关紧要的(解析)本质区别在于负幂项的个数(没有、有限项、无限项)，故负幂项部分称为级数的主要部分，它决定函数在奇点的性质。,1.可去奇点 z=0是 的可去奇点,(1)极限性质：有限值,(2)洛朗展开,不含负幂项，但它为洛朗级
3、数(在展开中心，f(z)不解析),(3)可去奇点的可去性 若定义奇点处函数的极限值为函数值，则得到一个解析函数。在此重新定义一个函数：,则 g(z)在 z=0 就变成了一个解析函数。,泰勒级数,(2)z=0是 f(z)的三阶极点：,2.m 阶极点。z=0和 z=2i 是 的极点。,(1)极限性质：,(i)在z=0的邻域内，是解析的，可展开成,z=0 是 f(z)的三阶极点,(ii)在z=2i的邻域内，解析，可展开成,z=2i 是 f(z)的一阶极点,3.本性奇点。z=0是 的本性奇点,(i)当z沿正实轴 0时,(1)极限性质：没有确定的极限。,(ii)当z沿负实轴 0时,(2)洛朗展开性质,(
4、含无限多个负幂项),三、解析函数零点与极点的关系,1.零点的定义：对于,(2)若，而，则称z=b为,(1)若(z)在z=b点解析，且(b)=0，则称z=b为(z)的零点。,为(z)的 m 阶零点。,(z)在m阶零点邻域的泰勒级数为：,所以当b为(z)的m阶零点时，(z)在b点邻域的泰勒级数的最低正幂为m。这样下式所表示的泰勒级数也可作为z=b是,(z)的m阶零点的定义：,2.解析函数的零点与极点的关系,若b为(z)的m阶零点，则b点是 的m阶极点。,证明：b点是解析函数(z)的m阶零点(z)以b为中心的泰勒级数为,(z)在b点的邻域解析(z)在b点的邻域解析，且,考虑(z)的倒函数 1/(z)
5、：在b点的邻域解析。1/(z)在b 点的泰勒级数：,构造新函数 f(z)：,f(z)的最低次幂为(zb)m b点为 f(z)的m阶极点,以上讨论：零点 极点,反之：若b点是f(z)的m阶极点，则b点为(z)=1/f(z)的m阶 零点。则,G(z)在b点解析，且G(b)0(因am 0)，于是f(z)的倒函数为：,以上讨论：极点 零点,G(z)在b点解析，且 g(b)=1/G(b)0，可作泰勒展开，可得,b点为(z)=1/f(z)的m阶零点。,总之，如果点b为f(z)的一个m阶零点，则b点是1/f(z)的一个 m 阶极点，反之亦然。,补充：判断函数f(z)极点阶数的简便方法,即要求b点是f(z)的
6、几阶极点，可先求出新函数(zb)m f(z)的极限值，由m的值判断极点的阶次。,设b点是f(z)的m阶极点，则,(非零的有限值),例：求函数 有哪些极点，并判断极点 的阶数。,解：的m阶零点就是f(z)的m阶极点,(1)(z)的零点由其分子为零确定，即,(2)极点的阶数由 的有限值的m值确定。,同理：z2=i 为 f(z)的一阶极点,所以，z3=3为 f(z)的三阶极点。,即 z1=i 为 f(z)的一阶极点。,又因：,故 z=n是 f(z)的一阶极点。,例：判断z=n(n=0,1,2)是 f(z)=1/sinz 的几阶极点？,解法一：因sin n=0，可知 z=n 是 f(z)的极点。,由于
7、,解法二：因z=n 是 g(z)=sinz 的一阶零点，即,所以 z=n 是 f(z)=1/g(z)=1/sinz 的一阶极点。,四、函数在无穷远点的性质 由于函数 f(z)在点总是没有定义的，所以无穷远点总是函数 f(z)的奇点。(黄大奎数理方法p144),讨论方法：作变换 z=1/t，f(z)=f(1/t)=(t)这样在z平面的 点与 t 平面的 t=0 点对应，可由(t)在t=0 的性质来讨论 f(z)在无限远点的性质。,如果 t=0 是(t)的孤立奇点，则称 z 平面上的点是f(z)的孤立奇点。在t=0的邻域将(t)作罗朗展开：,(1),相应地有,(2),其中 bk=ak(k=0,1,
8、2),显然 f(z)中包含多少个正幂项，完全看级数(t)中有多少个负幂项，因此根据有限远处孤立奇点的分类，规定：,如果展开式(2)中包含无穷多个z的正幂项，则称无限 远点为函数f(z)的本性奇点。,如果展开式(2)中包含zm 项(m0)，而不含z的更高次项，则称无限远点为 f(z)的 m 阶极点。,如果展开式(2)中不含z的正幂项，则称无限远点为f(z)的可去奇点。此时,(因为不含正幂项),因而可以去掉这个奇点，而说函数 f(z)在无限远点解析。,这相当于重新定义一个函数：,z时的极限值=函数值,例 求函数 有哪些极点，并判断极点的阶数。,解：sinzsina 的n阶零点就是所给函数的n阶极点。,此三角方程有解：,z1,z2 是函数sinzsina 的零点，也就是 的极点。,为了判断零点的阶数，可以将sinzsina 在z1,z2 作泰勒,展开，看其不为零的最小正幂项的幂次为多少，也可求sinzsina在z1,z2 点的导数值，看其不为零的导数的次数为多少。,如果，此导数不为零，故z1为函数sinzsina的一阶零点，因而是函数 的一阶极点。,当 时，需要求sinzsina的二阶导数：,这表明，当 时，z1是sinzsina 的二阶零点，,从而是函数 的二阶极点。,同理可证，当 时，z2 是 的一阶极点；,当 时，z2 是 的二阶极点。,
