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1、第7章 图,数据结构讲义,-图的定义和存储,信息工程学院魏洪涛Email:,图的定义：,图G是由顶点集V和顶点间的关系集合E（边的集合）组成的一种数据结构，可以用二元组定义为：G=（V,E）。,例如，对于图7-1所示的无向图G1和有向图G2，它们的数据结构可以描述为：G1=(V1,E1),其中 V1=a,b,c,d,E1=(a,b),(a,c),(a,d),(b,d),(c,d),而G2=(V2,E2)，其中V2=1,2,3,E2=,。,7.1 图的基本概念,7.2 图的存贮结构,图无法以数据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间关系，即图没有顺序映象的存储结构。用多重链表表示图，即以一个数据
2、域和多个指针域组成的结点表示图中一个顶点，其中数据域存储该顶点的信息，指针域存储指向其邻接点的指针。常用的有邻接矩阵、邻接表和十字链表等。不管哪一种方式，它除了要存储图中各个顶点本身的信息外，同时还要存储顶点与顶点之间的所有关系（边的信息）。,多重链表,1 图的邻接矩阵表示,在邻接矩阵表示中，除了存放顶点本身信息外，还用一个矩阵表示各个顶点之间的关系。若（i,j）E(G)或i,jE(G),则矩阵中第i行 第j列元素值为1，否则为0。,7.2.1 邻接矩阵,例如,对图7-8所示的无向图和有向图的邻接矩阵。,2 从无向图的邻接矩阵可以得出如下结论,（1）矩阵是对称的，可压缩存储（上（下）三角）;（
3、2）第i行或第i 列中1的个数为顶点i 的度;（3）矩阵中1的个数的一半为图中边的数目;（4）很容易判断顶点i 和顶点j之间是否有边相连(看矩阵中i行j列值是否为1)。,3 从有向图的邻接矩阵可以得出如下结论,（1）矩阵不一定是对称的;（2）第i 行中1的个数为顶点i 的出度;（3）第i列中1的个数为顶点 i的入度;（4）矩阵中1的个数为图中弧的数目;（5）很容易判断顶点i 和顶点j 是否有弧相连.,4网的邻接矩阵表示,类似地可以定义网的邻接矩阵为：wij 若（i,j）E(G)或i,jE(G)Aij=其它情形网及网的邻接矩阵见下图。,邻接矩阵法优点：容易实现图的操作，如：求某顶点的度、判断顶点
4、之间是否有边（弧）、找顶点的邻接点等等。邻接矩阵法缺点：n个顶点需要n*n个单元存储边(弧);空间效率为O(n2)。对稀疏图而言尤其浪费空间。,1图的邻接表表示,图的邻接表存储方法是一种顺序分配与链式分配相结合的存储方法，它包括两部分：一部分是单链表，用来存放边的信息；另一部分是数组，主要用来存放顶点本身的数据信息。,边结点,顶点结点,7.2.2 邻接表,左图所示的无向图G3和有向图G4的邻接表见右图所示:,2 从无向图的邻接表可以得到如下结论,（1）第i 个链表中结点数目为顶点i的度；（2）所有链表中结点数目的一半为图中边数；（3）占用的存储单元数目为n+2e。,3 从有向图的邻接表可以得到
5、如下结论,（1）第i 个链表中结点数目为顶点i的出度；（2）所有链表中结点数目为图中弧数；（3）占用的存储单元数目为n+e。,从有向图的邻接表可知，不能求出顶点的入度。为此，我们必须另外建立有向图的逆邻接表，以便求出每一个顶点的入度。,例：已知某网的邻接（出边）表，请画出该网络。,80,64,1,2,5,当邻接表的存储结构形成后，图便唯一确定！,如果是无向图，只要搜索任意一个结点的边表。有向图要搜索两个结点的边表。,邻接表的优点：空间效率高；容易寻找顶点的邻接点；邻接表的缺点：判断两顶点间是否有边或弧，需搜索两结点对应的单链表，没有邻接矩阵方便。,4 图的邻接表数据类型描述,图的邻接表数据类型
6、描述如下：#define MAXN 50/*MAXN表示图中最大顶点数*/typedef struct e_node/定义边结点的结构 int adjvex;int weight;/边的信息 struct e_node*next;E_NODE;/指向邻接点的指针typedef struct v_node/定义邻接表的表头类型 int vertex;/顶点信息 E_NODE*link;/指向“边表”的指针V_NODE;V_NODE headMAXN;,讨论：邻接表与邻接矩阵有什么异同之处？,1.联系：邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结点个数等于一行中非零元素的个数。2.区别：对于任
7、一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的（行列号与顶点编号一致），但邻接表不唯一（链接次序与顶点编号无关）。邻接矩阵的空间复杂度为O(n2),而邻接表的空间复杂度为O(n+e)。3.用途：邻接矩阵多用于稠密图的存储（e接近n(n-1)/2)；而邻接表多用于稀疏图的存储（en2),有向图的十字链表表示法,弧结点：typedef struct arcnode int tailvex,headvex;/弧尾、弧头在表头数组中位置 struct arcnode*hlink；/指向弧头相同的下一条弧 struct arcnode*tlink;/指向弧尾相同的下一条弧AD;,顶点结点：typedef struct
8、 dnode int data;/存与顶点有关信息 struct arcnode*firstin；/指向以该顶点为弧头的第一个弧结点 struct arcnode*firstout;/指向以该顶点为弧尾的第一个弧结点DD;DD gM;/g0不用,无向图的邻接多重表表示法,顶点结点：typedef struct dnode int data;/存与顶点有关的信息 struct node*firstedge;/指向第一条依附于该顶点的边DD;DD gaM;/ga0不用,边结点：typedef struct node int mark;/标志域 int ivex,jvex;/该边依附的两个顶点在表头数组中位置 struct node*ilink,*jlink;/分别指向依附于ivex和jvex的下一条边JD;,作业,已知如图所示的有向图，请给出该图的:（1）每个顶点的入/出度；（2）邻接矩阵；（3）邻接表；（4）逆邻接表；（5）十字链表.,
