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1、31函数与方程,31.1方程的根与函数的零点,1函数yx21与x轴交点坐标为方程x210的实数根为.函数yx2与x轴交点坐标为方程x20的实数根为.函数yx21与x轴交点方程x210的实数根,(1,0)，(1,0),x1,(0,0),x0,无,无,2一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的实数根及其相应的二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写,3.对于函数yf(x)，我们把使的实数x叫做函数yf(x)的零点方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有点4若函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续曲线，且有，则函数yf(x)在区间(a，b)内
2、有零点，即存在c(a，b)使得f(c).,f(x)0,x轴,零,f(a)f(b)0,0,本节重点难点：通过方程与函数的关系，确定方程根的存在性和根的个数,1一般结论如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c就是方程f(x)0的根零点c通常称作函数f(x)的变号零点注意：f(x)的图象必须在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0时，才可确定f(x)在a，b上有零点,2函数变号零点的性质对于任意函数yf(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有：当它通过变号零点时，函
3、数值变号如函数f(x)x22x3的图象在零点1的左边时，函数值取正号，当它通过零点1时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变正在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号,3方程的根与函数的零点的作用一方面，函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步例如，求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x)0来说，我们可以将它与函数yf(x)联系起来，利用函数的性质找出零点或所在范围，从而求出方程的根或根的近似值,例11.指出下列函数的零点：f(x)4x3f(x)x23x2f(x)
4、x412函数f(x)x2axb的两个零点是2和4，求a、b.3函数f(x)ax2x1仅有一个零点，求实数a的取值范围,(1)指出下列函数的零点：f(x)x22x3零点为_g(x)lgx2零点为_(2)已知1和4是函数f(x)ax2bx4的零点，则f(1)_.,例2二次函数yax2bxc中，ac0，则函数的零点个数是()A1个B2个C0个 D无法确定分析分析条件ac0，a是二次项系数，确定抛物线的开口方向，cf(0)，所以acaf(0)0，由此得解,总结评述：判断二次函数f(x)的零点个数，就是判断一元二次方程ax2bxc0的实根个数，一般地由判别式0、0、0完成对于二次函数在某个定义区间上的零
5、点个数以及不能用“”判断的二次函数零点，则要结合二次函数的图象进行,(1)对于函数f(x)x2mxn，若f(a)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A一定有零点 B一定没有零点C可能有两个零点 D至多有一个零点(2)若函数f(x)在定义域x|xR且x0上是偶函数，且在(0，)上为减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A一个 B两个C至少两个 D无法判断,答案(1)C(2)B,分析从已知的区间(a，b)，求f(a)和f(b)判断是否有f(a)f(b)0.,总结评述：这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间a，b的端点函数值的乘积是否有f(a)f(b)0.,若
6、函数yf(x)在区间(2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实数根0，则f(1)f(1)的值()A大于0 B小于0C无法判断 D等于零,答案C解析当有变号零点时f(1)f(1)0，故选C.,例4求函数f(x)(x2x2)(x22x8)的零点，并指出使y0成立的x的取值范围解析y(x2x2)(x22x8)(x2)(x1)(x2)(x4)(x2)2(x1)(x4)函数的零点为2,1和4画出示意图：,可知使y0)的x的取值范围时，常根据零点的性质画出示意图，在数轴上标出零点，画曲线时，奇过(乘方次数为奇数，即变号零点)偶不过(乘方次数为偶数，即不变号零点)直接据图示
7、写出x的取值范围这种方法通常称作“标根法”(或“穿根法”),例5已知函数f(x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点分析不妨设f(x)在R上是增函数，为证明f(x)0至多有一个实根，考虑用反证法证明,证明假设f(x)0至少有两个不同的实根x1，x2，且不妨设x1x2，由题意得f(x1)0，f(x2)0.f(x1)f(x2)f(x)在其定义域上是单调函数，不妨设为增函数，由x1x2则f(x1)f(x2)因此、相矛盾假设不成立，故f(x)0至多有一个零点,总结评述：这是一个很明显的结论，但证明起来却难以下手，要很好地体会证明方法请应用这个结论解决下面问题,已知函数f(x)x33x2(
8、1)证明函数yf(x)在(1，)上为增函数(2)证明方程f(x)0没有大于1的根,(2)f(1)133120，且当x(1，)时，f(x)为增函数，当x1时，f(x)0，从而不存在x1，使f(x)0，方程f(x)0没有大于1的实数根,错解f(1)20，f(1)20时，f(x)0，函数无零点，故选A.,一、选择题1已知函数f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)0在区间a，b上()A至少有一实根B至多有一实根C没有实根 D必有惟一的实根答案D,2若方程2ax2x10在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是()Aa1C11.选B.,3已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B3个C4个D5个答案B,4(2010天津理，2)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)答案B,二、填空题5已知函数f(x)在定义域R上的图象如图所示，则函数f(x)在区间R上有_个零点答案3,6(上海大学附中20092010高一期末)函数y10 x与函数yx2的图象交点个数为_答案2,
