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1、1,机器人工程及应用,雅可比矩阵的定义微分运动与广义速度雅可比矩阵的构造法PUMA560机器人的雅可比矩阵逆雅可比矩阵力雅可比矩阵,第四讲：微分运动和雅可比矩阵,上一章我们讨论了刚体的位姿描述、齐次变换，机器人各连杆间的位移关系，建立了机器人的运动学方程，研究了运动学逆解，建立了操作空间与关节空间的映射关系。本章将在位移分析的基础上，进行速度分析，研究操作空间速度与关节空间速度之间的线性映射关系雅可比矩阵(简称雅可比)。雅可比矩阵不仅用来表示操作空间与关节空间之间的速度线性映射关系，同时也用来表示两空间之间力的传递关系。,4.1 雅可比矩阵的定义 把机器人关节速度向量 定义为：式中，为连杆i相
2、对i-1的角速度或线速度。,手抓在基坐标系中的广义速度向量为：式中，v为线速度，为角速度分量。,从关节空间速度向操作空间速度映射的线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：,4-3,在数学上，机器人终端手抓的广义位置（位姿）矢量P可写成：上式对时间求导，有：,4-5,对照式4-3和式4-5，可知：,在机器人学中，J是一个把关节速度向量 变换为手爪相对基坐标的广义速度向量的变换矩阵。在三维空间运行的机器人，其J阵的行数恒为6(沿/绕基坐标系的变量共6个)；列数则为机械手含有的关节数目。对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向量 均容易确定，可采用直接微分法求J，比较方便。,对于三维空间运行的机器人则不
3、完全适用。从三维空间运行的机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量 的显式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量 的一般表达式。找不出互相独立的、无顺序的三个转角来描述方位绕直角坐标轴的连续角运动变换是不可交换的，而对角位移的微分与对角位移的形成顺序无关，故一般不能运用直接微分法来获得J的后三行。因此，常用构造性方法求雅可比J。,4.2 微分运动与广义速度 刚体或坐标系的微分运动包括微分移动矢量d和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成，后者由绕三个坐标轴的微分转动组成，即 或 或,刚体或坐标系的微分运动矢量,刚体或坐标系的广义速度,简写为：,其中，R是旋转矩阵
4、,S(P)为矢量P的反对称矩阵,S(P)矩阵具有以下性质：,相应的，广义速度V的坐标变换为：,任意两坐标系A和B之间广义速度的坐标变换为：,4.3 雅可比矩阵的构造法 构造雅可比矩阵的方法有矢量积法和微分变换法，雅可比矩阵J(q)既可当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系，也可看成是微分运动转换的线性关系，即：,对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵J(q)是6n阶矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度v的传递比，后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 对手爪的角速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵J(q)分块，即：式中，Jli和Jai分别表示关节i的单位关节速度引起手爪的线速
5、度和角速度。,雅可比矩阵的求解（矢量积法）：Jli的求法：(1)第i关节为移动关节时,仅平移关节产生的线速度,设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则：,设bi-1为zi-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下的平移速度di转换成基础坐标下的速度：,由于,所以,(2)第i个关节为转动关节时，设某时刻仅此关节运动，其余的关节静止不动，仍然利用bi-1将zi-1轴上的角速度转化到基础坐标中去,仅旋转关节产生的线速度,矢量 起于Oi-1，止于On，所以由i产生的线速度为:,由于,所以,雅可比矩阵的求解：Jai的求法：第i关节为移动关节时由于关节移动的平移不对手部产生角速度，所以此时,(2)第i关
6、节为转动关节时，,所以,当第i关节为移动关节时,当第i关节为转动关节时,确定,1、用b表示zi-1轴上的单位向量,把它转换到基础坐标系中，即为,如右图所示。用O、Oi-1、On分别表示基础坐标系、i-1号坐标及手部坐标系的原点。用矢量x表示在各自坐标系中的原点。,把,用齐次坐标表示,有上式可以确定,例2-6：建立右图的雅可比矩阵,机械臂末端的速度为,微分变换法,对于转动关节,对于移动关节,对于移动关节,对于转动关节,例：PUMA560的6个关节都是转动关节，其雅可比有6列。此处用矢量积法计算J(q),例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节外，其余5个关节为转动关节。此处用微分法计算TJ(
7、q),若给定机器人终端手抓的广义速度向量V，则可由下式解出相应的关节速度：,逆雅可比矩阵,上式中，称为逆雅可比矩阵，为加给对应关节伺服系统的速度输入变量。,雅可比矩阵的应用1、分离速度控制,由上式可见，当已知手端速度向量V，可通过左乘雅可比逆矩阵计算出机器人的关节速度向量，所以上式为运动学逆问题的速度关系式，是对机器人进行速度控制的基本关系式。,采用计算机控制时，把速度表示位置增量的形式，故将上式写为：,式中,v为手部在基础坐标下一个采样周期的位移(线位移、角位移)；q为在同一周期内关节变量的增量。,当要求机器人沿某轨迹运动时，v为已知，将它代入上式中求得关节变量增量q，于是可确定各关节变量值
8、，由伺服系统实现位置控制，这就是分离速度控制原理，如下图所示。,v要求,v实际,分离速度控制原理,雅可比矩阵的应用2、在静力分析中的应用,有些机器人的工作需要与环境接触，并保持一定的接触力，如右图所示。接触力F可表示为一个六维力向量：,设一个驱动器只驱动一个关节，则n个关节需求n个驱动力，可组成一个n维关节力向量:,T与F的关系可以表示为：,2-56,式中，称为机器人力雅可比，它表示在静止平衡状态下，末端广义力向关节力映射的线性关系。显然，力雅可比是机器人速度雅可比的转置。因此，机器人静力学传递关系和速度传递关系紧密相关。,由构型和例2-6可得：,思考题1：右图为三自由度机械手(1)用D-H方法建立各附体坐标系；(2)列出连杆的D-H参数表；(3)建立运动学方程；(4)建立雅可比矩阵。,图1,思考题2：对图1的三自由度机械手，取10,290，390的姿态(如图2)，试分别求出生成手爪力FAfx,0,0T，FB0,fy,0T,FC0,0,NT的驱动力矩A,B,C。,图1,图2,
