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1、平面图形的几何性质,1 静矩和形心,一、静矩,微元对 z,y 轴的静矩为：,静矩可正，可负，也可能等于零。,平面图形面积与某一轴的一次矩,，,图形对 z,y 轴的静矩为：,y,z,o,y,z,二、截面形心 C 的坐标,均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标。,截面对形心轴的静矩,若截面对某一轴的静矩等于零，,三、已知形心求静矩,则该轴必过形心。,等于零。,四、组合截面形心计算,截面各组成部分对于同一轴的静矩之代数和；,截面对某一轴的静矩：,由几个简单图形组成的截面称为组合截面,1 组合截面静矩的计算公式,2 组合截面形心坐标的公式,例1:已知：截面尺寸如图。求：该截面的形心位置。,20,1
2、00,例2：求图示图形的形心,100,例3：求图示图形的形心,20,200,200,10,10,例题4：求图示平面图形的形心.,2 惯性矩 惯性半径,一、极惯性矩,微元对坐标原点的极惯性矩,图形对坐标原点的极惯性矩,二、惯性矩,1 微元对z轴的惯性矩,2 图形对z轴的惯性矩,平面图形对某一轴的二次矩,长度的四次方，,总为正,3 极惯性矩与惯性矩之间的关系,图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，,等于它对该两轴交点的极惯性矩。,4 几种常见截面对本身形心轴的惯性矩,dy,c,(1)、矩形截面,(2)、实心圆形截面,b,h,二、组合截面的惯性矩,(3)、空心圆截面,三、惯性半径,惯性半径,（单位：
3、）,惯性积则可能为正值，负值，,也可能等于零。,图形对y、z两轴的惯性积,微元对 x,y 轴的惯性积为,3 惯性积,图形的对称轴，,若坐标轴中有一个为,则图形对 该对坐标轴,惯性积一定等于零,在何种条件下，图形对坐标轴的惯性积为零？,若,则该对坐标轴称为主惯性轴（主轴）。,对称轴一定是主轴，,主轴,主轴不一定是对称轴,对形心主惯性轴的矩。,主惯性轴：,图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零;,主惯性矩：,对主惯性轴的惯性矩。,形心主惯性轴：,通过图形形心的主惯性轴。,形心主惯性矩：,几个常用概念,4 平行移轴公式,（a,b)：,形心C 坐标,一、平行移轴公式,同理得到：,惯性积,平行移轴公式,1
4、 两平行轴中，必须有一轴为形心轴,2 图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小.,注意：,二、组合截面的惯性矩 惯性积,例1：T字形截面,求其对形心轴的惯矩。,(1)求形心,C,任选参考坐标系,(2)求,练习 求T形截面对其水平形心轴 的惯性矩。,一、转轴公式,逆時针转取为+号，,5 转轴公式 主惯性轴,同理,改写为,并且,0 0+,从而确定了一对坐标轴yo和 zo,惯性积Iy1z1=0,该对坐标轴是图形的主轴,惯性矩的极值方位就是主轴方位,图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算,图形对主轴的惯性矩,几个结论,1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；,2 在过同一点的
5、所有正交轴中，,图形对主轴的惯性矩,另一个为最小值；,一个为最大值，,3 此公式适用于水平轴为y轴,1 确定形心 的位置,2 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴 yc，zc,求形心主惯性矩的步骤,计算图形对形心轴的惯性矩 Iy,Iz 和惯性积 Iyz,3 确定主惯性轴的位置,0 0+,4 计算形心主惯性矩,5 方位与形心主惯性矩的对应关系,如果,确定图形的形心主轴位置，并计算形心主惯性矩,（1）首先确定图形的形心。,(2)利用平行移轴公式分别求出各矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积,矩形I,矩形：,矩形：,整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为,（3）形心主轴方位,逆时针旋转,160,
6、11,（4）0 0+90的两个值分别确定了形心主轴位置,例 计算所示图形的形心主惯性矩。,形心主惯形矩为,形心主轴的位置,逆时针转 113.80,对应主惯性矩的最大值,1、正交坐标轴Y、Z为杆件横截面的形心主惯性轴的条件是：。A：IYZ0；B：SYSZ0；C：SYSZ0，IYZ0；D：IYIZ0，IYZ0,2、图示中圆截面的直径为d，当其圆心沿X轴向右移d/2时，该图形对Y轴的惯性矩为，静矩为：。,3、在2a4a的矩形截面中挖去一个直径为的圆，该图形对Z轴的惯性矩为。,4、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。求该图形对形心主轴的惯性矩IY，IZ。,5 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。,6 试确定图示各截面的形心位置。,7、在直径D的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示。试求此截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩Ix和Iy。,8 求图示截面的惯性积。,9 由四个的等边角钢组成图示两种形状的截面，试比较其形心主惯性矩的大小。,10 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。,
