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1、气象统计方法,主讲：温 娜,南京信息工程大学大气科学学院2014年9月,本课件主要参考南信大李丽平老师的课件,第七章 主分量分析/经验正交函数分解（EOF）,重点掌握：1）EOF方法原理 2）EOF方法在分析气象问题中的 应用。,一、引 言 经验正交函数（EOF）方法最早由统计学家pearson在1902年提出，由Lorenz1（1956）引入气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对象，对计算条件要求甚高，故直到20世纪60年代后期才在实际工作中得到广泛应用（Craddock，19692；Kutzback，19703；Kidson，19754）。,近30年来，出现了适合于各种分析目的的EO
2、F分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF（REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量EOF（CEOF）方法。EOF方法不但用于观测资料的分析，还用于GCM资料的分析和数值模式的设计。现在，EOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。,二、主分量分析,主分量分析是把随时间变化的气象要素场分解为空间函数部分和时间函数部分。空间函数部分概况场的地域分布特点，这部分不随时间变化；而时间函数部分则由空间点的线性组合构成，称为主分量，一般前几个主分量可以解释原有空间场总方差的很大一部分。,两个变量的主分量,如图所示我们所分析的气象要素场仅有两个空间点,y1,y2
3、,x1,x2,通过一种线性变换，使得产生的新变量y1的变化代替原场两个变量的主要变化情况。,主分量导出,依据上例，我们希望以原变量 组成一个新变量（7.1）使它具有极大方差，即 极大（7.2）,用（4.1）式带入（4.2）有=（4.2）模型的极大值问题转化为的极值问题。为了不同变量相互比较，对新变量中的线性组合系数 通常还需加上约束条件,在上面条件下，问题转变成求下面函数的极值问题根据微积分学求极值有,上面线性方程组等价于其中 S 为x1和x2的协方差阵，I为单位阵，V为（v1,v2）的组合向量。如果V有非零解，必须使 上式是矩阵S的特征多项式，因此问题就转化为求矩阵S的特征值及其对应特征向量
4、的问题。,因S的秩有两个，故它有两个非零特征值及其对应特征向量：由此，可得到例中两个新变量：,主分量性质,1、主分量的方差与它所对应的特征值相等 以第一个主分量为例，说明这一性质（7.4）上面第一式乘，第二式乘 相加，整理得于是：,2.不同主分量之间是无关的、相互独立的 证明这一性质，只需证明两个主分量的协方差为零即可。根据（7.4）式，y1和y2的协方差可写为由，得证,主分量的几何意义,如果把x1,x2变量第i个样品看成2维因子空间中的一个点,主分量中第i个样品也可以看成是新变量空间中的一个点，那么它们可以看成是由因子空间作线性变换的一个结果，即其中，转化矩阵,主分量也可以看成由原变量组成的
5、坐标系旋转变换的结果，新变量y1,y2与原变量的变换关系式可写为对例中坐标旋转角。寻找主分量原则可以看成为寻找这样的坐标旋转角，使得样品点在新坐标系中对某一坐标轴上投影有极大方差。,多个变量的主分量,如果我们要研究对象是某一气象要素场，场中 有 个空间点，样本容量。由这 变量线性组合成一个新变量：则（7.6）式 还可以写（7.7）其中,（7.6）,主分量导出,我们希望主分量有极大方差，即（7.8）将新变量带入（7.8）式，其中,在条件 下的极值问题，转化为求 的极值问题，即有整理得。要使V有非零解，必须由于S为mxm的协方差阵，设它的秩为m，则它有m个非零特征值及其对应的m个特征向量,主分量的
6、性质,1.各主分量的方差分别与原m个变量的协方差的特征值相对应。,原场m个变量方差和等于其对应协方差特征值之和,第K个主分量解释方差：前P个主分量累积解释方差：,2.主分量之间是正交的，彼此无关。,三、EOF分析方法原理,将某气候变量场的观测资料以矩阵形式给出m是空间点，n是时间序列长度。,气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函数Z和空间函数V两部分,即或 含义：场中第i个格点上的第t次观测值，可以看作是m个空间函数 和时间函数 的线性组合。,其中，是第j个典型场，只是空间的函数。,第t个空间场可表示为或者,上式表明，第t个场可以表示为m个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。V的每一列表
7、示一个空间典型场，由于这个场由实际资料确定，故又叫经验正交函数。上述分解要求满足下列两个条件：,性质,分解方法,A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，一定有 或者,V的列就是A的特征向量，是A的特征值组成的对角矩阵。即 Z就是时间系数矩阵，第i个特征向量对应的时间系数序列的第t 个值。,主分量分析/经验正交函数,经验正交函数：主分量分析：,要素场的拟合,其中 是拟合场.可以证明误差,第i个特征向量对X场的贡献率（解释方差）前p个特征向量对X场的贡献率（累积解释方差）,计算中的时空转换,当 时，先求出 的特征值，然后求 的特征向量，这种方法叫时空转换。令 的特征值为，其特征向量为，的特征值也为
8、，其特征向量为,转换关系：,1）根据分析目的，确定X的具体形态(距平或者标准化距平)；2）由X求协方差矩阵；3）求A的全部特征值、特征向量，h=1H（通常使用Jacobi法）；,计算步骤,4）将特征值作降序排列，并对特征向量序数作相应变动；5）根据,h=1H和X总方差，求出全部、,h=1H；6）由X及主要 求其时间系数、h=1H，主要的数量由分析目的及分析对象定；7）输出主要计算结果。,H是非0特征值总个数，对实际问题 需要强调的是，第1）步很重要。在大多数情况下，EOF分析对原观测场时间序列、距平场时间序列和标准化距平场时间序列进行。选择何种形态作分析取决于分析目的和分析对象。,经验正交函数
9、的物理意义,第一特征向量（第一空间典型场）是与n张X图平均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵的n个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵是7月份50年实测降水场（非距平场），则第一特征向量就可以解释为这50年的平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征向量就解释为与50年夏季距平场最相似的特征场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。,EOF分析实例,例1：现有北京1951-1976年12月2月气温资料，变量个数m=3,容量=26。对以上资料进行主分量分析。,1.计算变量的协方差阵2.求解实对称阵特征值及特征向量,3.计算三个距平主分量4.计算头几个主分量的累积方差贡献率,5.要素场拟合,用前两个主分量进行拟合,中国160气象标准站,夏季降水异常EOF分解的第一模态，解释方差15.5%,例2 分析我国夏季降水的主要变化特征。,夏季降水异常的第二、第三模态（13.5%，6.8%）,例3 分析热带太平洋海温的主要变化特征。,
