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1、2 测量误差和测量不确定度,测量误差概述随机误差的分析和处理系统误差的分析与处理间接测量的误差传递与分配误差的合成测量不确定度测量数据的处理最小二乘法,2,2.1 测量误差,一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准（或基准），以法令的形式指定其所体现的量值作为计量单位的指定值。国际间通过互相比对保持一定程度的一致。,1）真值（理论真值）A0,国家通过一系列的各级实物计量标准构成量值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪表或量具上去。在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值（相对真值）。,2.1.1 误差的定义,一个物理量在一定条件下所呈现
2、的客观大小或真实数值,2）指定值（约定真值）As,3）实际值（相对真值）A,由测量器具指示的被测量量值称为测量器具的示值，也称为测量器具的测得值或测量值，它包括数值和单位。,4）标称值,测量仪器的测得值与被测量真值之间的差异。,测量器具上标定的数值。,5）示值,6）测量误差,2.1 测量误差,2.1.1 误差的定义,2.1.2 误差的表示方法,说明：（1）绝对误差有符号、有单位。（2）绝对误差体现了测量值与被测量实际值间的偏离程度和偏离方 向，但仅用绝对误差通常不足以说明测量的质量。（3）修正值与绝对误差的绝对值相等，而符号相反，一般用符号c 表示。测量仪器的修正值，可通过检定，由上一级标准给
3、出。,绝对误差,x=x x0,测得值,真值,相对误差,绝对误差与约定值的百分比，通常有三种表示方式：,实际相对误差：绝对误差除以被测量的真值,示值相对误差：绝对误差除以被测量的示值,引用误差：测量仪器量程内的最大绝对误差与测量仪器量程的百分比,2.1.2 误差的表示方法,例1，一台测量范围为01100相对误差为1%F.S的测温仪表，比较其测量1000 和550 时的相对误差。,测量1000时，相对误差为 11/1000100%=1.1%，,测量550时，相对误差为2%。,因此 仪表应该在接近测量范围上限工作时测量效果好。,例2，质量G1=50g，误差1=2g；质量G2=2kg，误差2=50g,
4、1=100%=100%=4%,1,G1,G1的相对误差为,2,50,2=100%=100%=2.5%,G2,G2的相对误差为,50,2000,2,-G2的测量效果较好,例3，要测量90 的温度，现有0.5级、测量范围为0300 和1.0级、测量范围为0100 的两种温度计，试分析各自产生的示值误差。,解：对0.5级温度计，可能产生的最大绝对误差,认为该量程内可能产生的绝对误差：因此，示值相对误差：,同理可算出1.0级温度计可能产生的绝对误差和示值相对误差：,2.1.3 测量误差的来源,仪器,测量人员,使用环境,方法误差,材料性能和制造技术、动力源的变化、器件特性变化,人员视觉、读数误差、经验、
5、熟练程度、精神方面原因（疲劳）,测量环境条件（温度、湿度、气压等）差异,测量方法、采样方法、测量重复次数、取样时间不合理,2.1.4 误差分类,系统误差,按误差的基本性质和特点，误差可分为：,随机误差,粗大误差,系统误差示意图,在相同的条件下，对同一物理量进行多次测量，如果误差按照一定规律出现，则把这种误差称为系统误差，简称系差。1为定值系差，2 为线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。,由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生。,对某一物理量进行多次重复测量时，若误差出现的大小和符号均以不可预知的方式变化，则该误差为随机误差(random error)。,单次
6、测量偶然性（不明确、无规律）测量次数足够大时，其总体服从统计学规律，多数情况下接近正态分布，具有以下特点：（1）有界性；（2）对称性；（3）单峰性。,随机误差,在一定的测量条件下，测得值明显地偏离实际值所形成的误差称为粗大误差，也称为疏失误差、异常误差，简称粗差。,粗大误差,含有粗差的测得值称为坏值，应当剔除不用，因为坏值不能反映被测量的真实数值。,只有随机误差,累进系统误差,恒定系统误差,周期性系统误差,前述三类误差的划分具有相对性，某些情况可互相转化。例如，较大的系统误差或随机误差可视为粗大误差；当电磁干扰引起的误差数值较小时，可按随机误差处理，而当其影响较大又有规律可循时，可按系统误差引
7、入修正值的办法处理。,系统误差和随机误差一般都同时存在：（1）系统误差远大于随机误差时，可忽略随机误差；（2）系差极小或已得到修正，可按随机误差处理；（3）系差和随机误差相差不远，两者均不可忽略。,基本误差：仪表在规定的正常工作的条件下（例如电源电压 和频率、环境温度和湿度等）所具有的误差。通 常在正常工作条件下的示值误差就是指基本误差。仪表的精确度等级通常是由基本误差所决定。,按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差,按掌握程度：已知误差、未知误差,按变化速度：静态误差、动态误差,按仪表工作条件分,附加误差：仪表偏离规定的正常工作条件时所产生的与偏离 量有关的误差。,其它分类方法,
8、2.2 随机误差的分析和处理,正态分布（高斯分布）-大多数检测系统,N次测量结果-xi(i=1,2,N),2.2.1 随机误差的分布特性,对称性、有界性、单峰性,标准偏差；a 被测量的真值；e 随机误差，exa；h-精密度指数。,正态分布概率分布：,2.2.2 随机误差的工程计算,1）测量真值的估计,算术平均值：,数学期望：,估计,真值x0,x,2）残余误差,残余误差的代数和为零,残余误差的性质：,3）方差与标准差,方差：,标准差（标准偏差）：,有限次测量时标准差的最佳估计，利用贝赛尔公式：,实验标准偏差S,4）算术平均值的标准差,算术平均值的标准偏差,多次测量提高精密度,介于（，+）的概率：
9、,介于（2，+2）的概率：,介于（3，+3）的概率：,在这以外的情况很难发生,5）极限误差,定义3为极限误差，或称最大误差，也称随机不确定度。残差大于极限误差的测得值判为坏值。（莱特准则）,5）极限误差,莱特准则（3 准则）,肖维勒准则,格拉布斯准则,测量值 Xd 的剩余误差的绝对值|Pd|3-坏值-剔除,测量值 Xd 的剩余误差的绝对值|Pd|n-坏值-剔除,n-肖维勒系数（查表确定）,测量值 Xd 的剩余误差的绝对值|Pd|(,n)-坏值-剔除,(,n)-查表确定,计算算术平均值 x 剩余误差 均方误差 剔除坏值,6）粗大误差的识别,2.3 系统误差的分析与处理,1)定值系统误差 它指在整
10、个测量过程中误差符号(方向)和数值大小均恒定不变。,2.3.1 系统误差的特性,2)变值系统误差 它是一种按照一定的规律变化的系统误差。,累积系统误差,周期系统误差,复杂系统误差,2.3.2 系统误差的发现和判断,1）理论分析法对测量方法进行定性定量分析 例：内阻不高的电压表测高内阻电源电压2）校准和比对法用准确度更高地测量仪器进行重复测量3）改变测量条件法更换测量人员、测量环境、测量方法4）剩余误差观察法降剩余误差绘制成曲线,例：等臂天平称重-左右两臂长的微小差别-恒值系统误差,在测量条件不变的情况下，用一标准已知量去替代待测量,一、换位法/替代法,被测物-X；平衡物-T；砝码-P,T与X
11、平衡,测量结果,P与T平衡,换位/替代法,2.3.3 系统误差的消弱与消除,二、零示法,把待测量与已知标准量相比较，当两者的效应相互抵消时，零示器示值为零例：惠斯登电桥测电阻:Rx=R1*R3/R2 电位差计：Ux=Es*R2/Rs,三、差分法,被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用,-被测量的作用相加-干扰的作用相减,抑制干扰 提高灵敏度,作用：,（1）直流零位 首先测量短路时的直流电压，并存储，实际测量中，以实际测得值减直流零电压为测量结果,四、智能仪器中系统误差的消除,智能仪器是用以形容新一代的测量仪器，含有微处理器、单片计算机或体积很小的微型机，有时亦称为内含微处理器的仪器或基于
12、微型机的仪器。,（2）自动校准 当开关K接于Ux时：,令，P=(R1+R2)/R2：,同理，K接Us和地时：,由以上三式可得：,运算放大器的自动校准原理图,1）利用修正值或修正因数仪器检定书中给出的校正曲线、校正数据、校正公式2）随机化处理多台仪器测量取平均,五、消弱系统误差的其他方法,2.4.1 误差传递,已知y=f(x1，x2，xm)，xi 的误差xi，则 y的误差:,称为各各直接测量值误差的传递函数,间接测量量的标准偏差为：,直接测量量相互独立，互不相关时：,2.4 间接测量的误差传递与分配,2.4.2 误差的分配,等作用原则认为：,设间接测量量y与各直接测量量之间的关系为：y=f(x1
13、，x2，xm)间接测量量的标准误差为：,因此：,还可以用极限误差表示：,例：某电功率的测量，按功率 公式，测得电压U=110V，电阻R=10，直接测量误差U=1.1V，R=0.1，求功率P的测量误差。,解：按间接测量的误差传递公式：,按间接测量相对误差传递公式：,例：设计测量电阻功率消耗方案。设电阻、电压、电流测量的相对误差分别为rR=1.0%，rU=2.0%，rI=2.5%，问哪种测量方案好？,解：,2.5 误差的合成,随机误差的合成,k个彼此独立的随机误差，其合成后误差的标准差为:,极限误差合成:,测量误差来源于多方面，其准确度用总误差来度量，由多个不同类型的单项误差求测量中总误差是误差合
14、成问题。,例：有一测温点，采用K型热电偶，基本误差1=4；补偿导线，基本误差2=4；采用电子电位差计，基本误差3=6；附加误差4=6，计算测温系统的误差是多少？,例：某测量系统由测量元件、变送器和指示仪表组成，要求系统的允许为 1%，选用精度分别为0.1级、0.5级、1级的测量元件、变送器和指示仪表能否满足要求？请说明？,指示仪表精度改为：0.5级,系统误差的合成,1、代数合成法：,符号确定,2、绝对值合成法（q10）：,3、方和根合成法（q10）：,符号不确定,随机误差与系统误差的合成,k个独立的随机误差合成：,m个确定的系统误差合成：,q个不确定的系统误差合成：,测量结果的 合成误差为：,
15、例：使用弹簧压力表测量某给水管路中的压力，试计算系统误差。已知压力表的准确度等级为0.5级，量程为0600kPa，表盘刻度分度值为2kPa，压力表位置高出管道h（h=0.05m）。测量时压力表指示300kPa。读数时指针来回摆动一格。压力表使用条件基本符合要求，但环境温度偏离标准值（20oC），当时环境温度为30oC，每偏离1oC造成的附加误差为仪表基本误差的4%。,解：仪表基本误差：,环境温度造成的误差：,测压点造成的误差：,读数误差：,按绝对值合成法：,按方和根合成法：,2.6 测量不确定度,2.6.1 不确定度的产生背景,1953年，Y.Beers在误差理论导引一书中指出：当我们给出实验
16、误差为910-10时，它实际上是估计的实验不确定度。1963年,美国国家标准局(NBS)爱森哈特（Eisenhart）提出了定量表示不确定度的建议。,测量结果u,测量结果u,1953年，Y.Beers在误差理论导引一书中指出：当我们给出实验误差为910-10时，它实际上是估计的实验不确定度。1963年,美国国家标准局(NBS)爱森哈特（Eisenhart）提出了定量表示不确定度的建议。1978年5月，国际计量局向32个国家计量实验室和5个国际组织发出不确定度表述的征求意见书。同年年底收到了21个国家实验室的复函。1980年10月，国际计量局根据国际计量委员会的要求，召集并成立了不确定度表述工作
17、组，起草了建议书 INC-1(1980)实验不确定度表示，并提交国际计量委员会讨论通过。1986年10月，国际计量委员会会议进一步考虑了修改意见，通过建新议书 INC-1(1986)，并决定推广应用。1993年，工作组完成文件制订：测量不确定度表示指南 ISO：1993（E），。1995年勘误后再版。,2.6 测量不确定度,2.6.1 不确定度的产生背景,2.6 测量不确定度,2.6.1 不确定度的产生背景,1991年，中国制订了JJG（中华人民共和国计量检定规程）102791测量误差及数据处理（试行）。1999年，中国制订了JJF（中华人民共和国计量技术规范）105999测量不确定度评定与表
18、示。2012年，中国制订了JJF（中华人民共和国计量技术规范）1059.1-2012 测量不确定度评定与表示。,2.6.2 不确定度的定义,根据所获信息，表征赋予被测量值分散性的非负参数。,测量不确定度评定与表示JJF1059.1-2012,测量不确定度表示指南(GUM),表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。,测量不确定度,标准不确定度,以标准偏差表示的测量不确定度。,扩展不确定度,标准不确定度与一个大于1的数字因子的乘积。,测量误差与测量不确定度,2.6.3 不确定度的评定,评定步骤,y x1 x2.xn,y=f(x1,x2,.,xn),ux1,ux2,.,uxn,uy
19、,U=kuy,标准不确定度评定方法,包含概率：57.5%,A类评定：统计分析,包含概率：68.3%,B类评定：基于经验或其它信息,可能值区间的半宽度,置信因子或包含因子,对与均匀分布：,标准不确定度的自由度,A类评定：统计分析,B类评定：基于经验或其它信息,u的标准差,测量模型：,y=f(x1,x2,.,xn),ux1,ux2,.,uxn,输入量标准不确定度：,则，y的合成标准不确定度：,输入量不相关时，,标准不确定度分量,标准不确定度的合成,传播系数,自由度的合成,合成标准不确定度的标准差：,因此，,自由度的合成,合成标准不确定度的标准差：,因此，,又，,因此，,扩展不确定度计算,扩展不确定
20、度：,包含因子：,测量结果表示：,2.7 测量数据的处理,数据有效数字-左边第一个不为零的数字起到右端最后一个数字止，都叫有效数字；,如：测量结果 l=4.2958mm，极限误差lim=0.00005mm,l=1000.0mm,测量数据的最后一位数一般为估读数，极限误差为最后位的半个单位；,2.7.1 有效数字的处理,l=1.0m,l=1m,有效数字定义,加减运算-小数点后位数最少的数据,运算规则,乘除运算-有效数字位数最少的数据,4.286+1.32-0.4563=5.1497,5.15,462.80.64 1.22=242.78033,2.4102,舍入规则,-“四舍六入五凑双”,一般数据
21、,精度数据（标准差、极限误差）,-“只入不舍”,如：极限误差0.22,0.3（一位有效数字）,2.7.2 等精度测量结果的数据处理,在测量前尽可能消除系统误差，将数据列表；,判断是否有疏失误差，如有要抛弃，从开始重新计算；,判断是否有不可忽略的系统误差，如有要减弱，重新计算；,计算算术平均值的均方根误差,计算 列于 旁边，用贝塞尔公式计算均方根误差；,写出测量结果的表达式,计算测量结果的算术平均值；,计算残余误差，列于表中；,检查 的条件是否满足；,例 对某物体温度进行15次等精度测量，测量结果列于下表，求取这一物体温度的测量结果。,解：列出测量数据列表；,计算测量结果的算术平均值；,计算残余
22、误差 列于表中；,检查；,计算；,用贝塞尔公式计算均方根误差；,用莱依特准则判断：,判断是否有疏失误差：,检查测量数据中是否含有系统误差，方法很多,用莱依特准则判断：,内含有粗大误差，应剔除,x8内含有粗大误差，剔除后再计算得到：,判断是否有疏失误差：,(0.3664),例题测量数据表,计算算术平均值的均方根误差,测量结果的表达式,2.8 最小二乘法,例：为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：,由图知，y与t之间的关系为：,如何确定a、b？,目标函数：,定义：这种根据偏差的平方和为最小的条件来确定函数中的待定系数的方法叫做最小二乘法,函数M(a,b)在那些点处取得最小值?,均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏,偏差的平方和:,它的平方根:,最小二乘法的矩阵表示：,变量关系:,正规方程:,解表达式:,本章主要知识点：,一、基本概念 真值、测量误差、误差表示方式、测量不确定度二、误差分析 1、误差分类 2、随机误差、系统误差及粗大误差分析与处理 随机误差的工程计算 换位法/替代法、零示法、差分法 莱特准则 测量结果的表示方法三、误差传递、分配与合成四、不确定度的评定,
