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1、你们好,第2讲 点、直线和平面的投影 6学时,2.1 投影法概述,2.2 点的投影,2.3 直线的投影,2.4 平面的投影,下一页,返回目录,2,2.1 投影法概述,上一页,下一页,返回目录,2.1.1 中心投影法,2.1.2 平行投影法,2.1.3 正投影法的主要投影特性,2.1.4 工程上常用的投影图,3,投影法的概念,投影面P,a 投影,b,S 投射中心,投射线通过物体，向选定的平面投射，在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。,上一页,下一页,返回目录,4,投影法的分类,1.中心投影法 投射线汇交于一点。投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。2.平行投影法 投射线
2、互相平行。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。（1）斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影。（2）正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。,上一页,下一页,返回目录,5,2.1.1 中心投影法,中心投影法:投射线汇交一点的投影法,上一页,下一页,返回目录,6,2.1.2 平行投影法,平行投影法:投射线相互平行的投影法（投射中心位于无限远处）,平行投影法,斜投影法,正投影法,工程图样（零件图和装配图）,多面投影图,单面投影图,单面投影图,辅助图样（正等轴测图）,辅助图样（斜二轴测图）,上一页,下一页,返回目录,7,正投影法与斜投影法,正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：投射线与投
3、影面相倾斜的平行投影法。,上一页,下一页,返回目录,8,2.1.3 正投影法的主要投影特性,1.实形性 当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。2.积聚性 当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。3.类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。,上一页,下一页,返回目录,9,1.实形性,P,当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。,上一页,下一页,返回目录,10,2.积聚性,P,当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。,上一页,下一页,返回目录,11,3.类似性,P,当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。,上一页,下一页,返回目录,12
4、,2.1.4 工程上常用的投影图,1.正投影图（多面）,2.轴测图（单面）,3.透视图（单面）,4.标高投影图（单面）,上一页,下一页,返回目录,13,工程上常用的投影图,上一页,下一页,返回目录,14,2.2 点的投影,2.2.1 点在三投影面体系中的投影,2.2.2 两点之间的相对位置关系,上一页,下一页,返回目录,15,2.2.1 点在三投影面体系中的投影,上一页,下一页,返回目录,1.三投影面体系的建立,2.点的投影,3.点的投影规律,4.点的投影与直角坐标的关系,5.特殊位置点的投影,6.点在其他分角中的投影,16,1.三投影面体系的建立,上一页,下一页,返回目录,17,1.三投影面
5、体系的建立,H,V,X,O,Z,Y,W,三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。,上一页,下一页,返回目录,18,2.点的投影,H,V,X,Z,Y,W,O,A,点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90。,上一页,下一页,返回目录,19,3.点的投影规律,O,ay,ax,az,x,y,z,a,a,a,H,a,a,a,V,W,X,O,Z,YW,YH,ax,ay,az,ay,点的V面投影与H面投
6、影之间的连线垂直0X轴，aa0X；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，a a0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，并反映点到V面的距离。长对正 高平齐 宽相等,A,上一页,下一页,返回目录,20,例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。,Z,YH,X,YW,O,a,a,a,21,H,a,a,V,W,X,O,Z,YW,YH,ax,ay,az,ay,4.点的投影与直角坐标的关系,点的投影反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。,H,V,X,Z,Y,W,O,A,ay,ax,az,x,y,z,a,a,a,a,上一页,下一页,返回目录,22
7、,例2 已知点B的坐标为（25,20,30)，求作点B的三面投影。,X,YW,YH,Z,O,（1）在OX轴上截取坐标长度25，过截点作垂直线。,（2）在OZ轴上截取坐标长度30，过截点作水平线。,（3）在OY轴上截取坐标长度20，作出投影a、a。,a,a,a,30,25,20,23,5.特殊位置点的投影,投影面上的点 一个投影在投影面上，另两个投影在投影轴上。投影轴上的点 两个投影在投影轴上，另一个投影在原点上。与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。,上一页,下一页,返回目录,24,6.点在其他分角中的投影,投影特点：(1)第二分角中的B点,其V面投影b和H面投影b都在X轴上
8、方。(2)第三分角中的C点,其V面投影c在X轴下方,H面投影c在X轴的上方。(3)第四分角中的D点,其V面投影d和H面投影d都在X轴下方。,上一页,下一页,返回目录,25,2.2.2 两点之间的相对位置关系,两点相对位置的确定,2.重影点,上一页,下一页,返回目录,26,1.两点相对位置的确定,两点的相对位置是根据两点相对于同一投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。,上一页,下一页,返回目录,27,2.重影点,D,c(d),a(b),a,b,A,B,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该
9、投影面的重影点。,c,d,C,O,X,上一页,下一页,返回目录,28,重影点可见性判别,c(d),b,a(b),a,c,d,a,b,c,d,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,上一页,下一页,返回目录,29,例3 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的投影。,上一页,下一页,返回目录,30,2.3 直线的投影,2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性,2.3.3 直线上的点,2.3.1 直线的三面投影,2.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角,2.3.5 两直线的相对位置,2.3.6
10、 直角投影定理,上一页,下一页,返回目录,31,2.3.1 直线的三面投影,Z,X,a,a,a,O,YH,YW,b,b,b,空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。,上一页,下一页,返回目录,32,2.3.2 直线对投影面的相对位置及投影特性,1.一般位置直线 2.投影面平行线 平行于一个投影面，与其它两个投影面倾斜的直线。正平线:V，对H、W面倾斜 水平线:H，对V、W倾斜 侧平线:W对H、V倾斜3.投影面垂直线 垂直于一个投影面，与其它两个投影面平行的直线。铅垂线：H面，V，W 正垂线：V面，H，W 侧垂线：W面，H，V,统称特殊位
11、置直线,上一页,下一页,返回目录,33,水平线 平行于水平投影面的直线,X,O,z,YH,YW,投影特性：1、ab OX;ab OYW 2、ab=AB 3、反映、角的真实大小,上一页,下一页,返回目录,34,正平线 平行于正面投影面的直线,X,a,b,b,a,O,Z,YH,YW,投影特性：1.ab OX;a b OZ 2.a b=AB 3.反映、角的真实大小,上一页,下一页,返回目录,35,侧平线 平行于侧面投影面的直线,X,Z,O,YH,YW,投影特性：1、ab OZ;ab OYH 2、ab=AB 3、反映、角的真实大小,上一页,下一页,返回目录,36,1.投影面平行线的投影特性,1.直线在
12、所平行的投影面上的投影,反映其实长和与其它两个投影面的倾角（具有实形性）。2.直线在其它两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且小于实长（具有类似性）。,正平线,水平线,侧 平线,上一页,下一页,返回目录,37,投影特性：1、a b 积聚 成一点 2、a bOX;a b OY 3、a b=a b=AB,铅垂线 垂直于水平投影面的直线,上一页,下一页,返回目录,38,正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性：1、ab积聚 成一点 2、ab OX;ab OZ 3、ab=ab=AB,上一页,下一页,返回目录,39,侧垂线 垂直于侧面投影面的直线,投影特性：1、ab 积聚 成一点 2、ab OYH
13、;ab OZ 3、ab=ab=AB,上一页,下一页,返回目录,40,2.投影面垂直线的投影特性,正垂线,铅垂线,侧垂线,1.直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点（具有积聚性）。2.直线在其它两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴,且反映其实长（具有实形性）。,上一页,下一页,返回目录,41,3.一般位置直线投影特性,投影特性：1、a b、ab、a b均小于实长 2、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3、不反映、实角,上一页,下一页,返回目录,42,从属于投影面的直线,从属于V面的直线,中途返回请按“ESC”键,43,从属于投影面的直线,从属于V面的铅垂线,中途返回请按“ESC”键,44,
14、从属于投影轴的直线,从属于OX 轴(两个投影面的交线)的直线,中途返回请按“ESC”键,45,直线上的点具有两个特性：1.从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2.定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其分割线段的投影之比。即 A C:C B=a c:c b=ac:cb=ac:c b,2.3.3 直线上的点,C,c,上一页,下一页,返回目录,46,47,例4 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的投影。,O,上一页,下一页,返回目录,48,例5 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。,X,O,A,
15、B,b,b,a,a,c,C,c,H,V,O,b,X,a,a,b,c,上一页,下一页,返回目录,49,3.直线的迹点,m,n,直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。,X,A,b,a,a,m,N n,b,B,M m,n,O,V,H,上一页,下一页,返回目录,50,求直线迹点的作图过程,中途返回请按“ESC”键,51,2.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角,|zA-zB|,过A作ACab得直角三角形ABC，其中AC=ab，BC=Bb-Aa=zB-zA，斜边AB即为实长，AB与AC的夹角即为AB对H面的倾角，这种方法称为直角三角形法。,|zB-zA
16、|,AB,X,a,a,b,b,O,上一页,下一页,返回目录,52,求一般位置线段的实长及其与V面的夹角b,直角三角形ABD中：,斜边AB=AB实长,直角边DA=ad=Y,直角边BD=ab,b角:ab与实长AB的夹角,Y,Y,中途返回请按“ESC”键,Y,53,求一般位置线段的实长及其与W面的夹角g,直角三角形ABD中：,斜边AB=AB实长,直角边AE=ae=X,直角边BE=ab,g角:ab与实长AB的夹角,X,X,中途返回请按“ESC”键,54,作图要领,用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边
17、与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。,上一页,下一页,返回目录,55,直角三角形的四个要素,四个要素包括：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。,上一页,下一页,返回目录,56,例5 已知 线段的实长AB以及ab和a，求它的正面投影ab。,a,X,a,b,A,O,B,b0,bb0,bb0,b,b,上一页,下一页,返回目录,57,若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若两直线的各组同面投影都互相平行，则空间两直线必平行。,1.平行两直线,2.3.5 两直线的相对位置,上一页,下一页,返回目录,58,2.相交两直线,两相交直线在同一投
18、影面上的投影仍相交，且交点符合点的投影规律。反之若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线相交。,O,上一页,下一页,返回目录,59,3.交叉两直线,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,上一页,下一页,返回目录,60,例6 判断两直线的相对位置,上一页,下一页,返回目录,61,例7 判断两直线重影点的可见性,O,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号,上一页,下一页,返回目录,62,2.3.6 直角投影定理,互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必
19、定互相垂直。反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。,O,上一页,下一页,返回目录,63,.垂直相交的两直线的投影,已知：ABH面，ABBC，求证：abc=90证明：ABH面 ABBb 又ABBC AB平面BbcC 又ABab ab平面BbcC abbc，即:abc=ABC=90,上一页,下一页,返回目录,64,例9 求点E 到水平线AB 的距离。,X,O,a,b,a,b,e,e,d,d,yD-yE,所求距离,上一页,下一页,返回目录,65,例10 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,O,上一页,下一页,返回
20、目录,66,2.4 平面的投影,上一页,下一页,返回目录,67,2.4.1 平面的表示法,（1）不在一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）相交两直线；（4）平行两直线；（5）任意平面图形。,1.用几何元素表示平面,上一页,下一页,返回目录,68,2.用迹线表示平面,PX,PV,PH,X,O,PW,PZ,PYH,PYW,YH,Z,YW,迹线是平面与投影面的交线，平面P与H、V、W面的交线分别称为水平迹线、正面迹线和侧面迹线，迹线与投影轴的交点称为迹线的集合点。,上一页,下一页,返回目录,69,求平面迹线的作图,中途返回请按“ESC”键,70,2.4.2 平面对投影面的相对位置及投影特
21、性,1.一般位置平面2.投影面平行面（1）正平面（2）水平面（3）侧平面3.投影面垂直面（1）正垂面（2）铅垂面（3）侧垂面,上一页,下一页,返回目录,71,正平面,投影特性：（1）abc、abc 积聚为直线（具有积聚性）。（2）正平面投影abc反映 ABC实形（具有实形性）。,上一页,下一页,返回目录,72,正平面的迹线表示,73,水平面,投影特性：（）abc、abc积聚为积聚为直线（具有积聚性）（2）水平投影abc反映 ABC实形（具有实形性）,上一页,下一页,返回目录,74,投影特性：（1）abc、abc 积聚为直线（具有积聚性）。（2）侧平面投影abc 反映 ABC实形。,侧平面,上一
22、页,下一页,返回目录,75,1.投影面平行面,1.在所平行的投影面上，平面的投影反映实形（具有实形性）。2.在其它两个投影面上，平面的投影积聚成直线（具有积聚性）并平行于相应的投影轴，且分别与其两个迹线重合。,正平面,水平面,侧平面,上一页,下一页,返回目录,76,铅垂面,投影特性：1.abc积聚为直线。2.abc、abc为ABC的类似形。3.abc与OX、OY的夹角反映、。,上一页,下一页,返回目录,77,迹线表示铅垂面,迹线表示铅垂面,简化表示:仅画出积聚的投影,国标规定两端用粗短划线和细实线表示,78,正垂面,投影特性：（）abc 积聚为直线（具有积聚性）。（）abc、abc为 ABC的
23、类似形（具有类似性）。（）abc与OX、OZ的夹角反映、。,上一页,下一页,返回目录,79,侧垂面,投影特性：（1）abc积聚为直线。（2）abc、abc为 ABC的类似形。（3）abc与OZ、OY的夹角反映、。,上一页,下一页,返回目录,80,2.投影面垂直面,1.平面在所垂 直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直线（具有积聚性）并反映该平面对其它两个投影面的倾角，且与迹线重合。2.平面的其它两个投影都是小于原图形的类似形（具有类似性）。,正垂面,铅垂面,侧垂面,上一页,下一页,返回目录,81,3.一般位置平面,投影特性：（1）abc、abc、abc 均为 ABC的类似形。（2）不直接反映
24、、。,上一页,下一页,返回目录,82,例：已知一正垂面的两面投影,求第三面投影。,中途返回请按“ESC”键,83,1.点和直线在平面上的几何条件,（1）点在平面上的几何条件：点在平面内的某一直线上。（2）直线在平面上的几何条件：通过平面上的两点；通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。应用：在平面上取点、直线，实质上是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面。完成已知平面上的点和直线的投影。完成多边形的投影。,2.4.3 平面上的点和直线,上一页,下一页,返回目录,84,取属于平面的点,取属于平面的点，要先取属于该平面的已知直线。
25、,上一页,下一页,返回目录,85,取属于平面的直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的两点；或经过属于该平面的一点，且平行于属于该平面的一直线。,上一页,下一页,返回目录,86,完成六边形的水平投影。,中途返回请按“ESC”键,87,例11 已知ABC 给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。（2）已知平面上一点E的正面投影e作出水平投影。,a,b,c,a,b,c,d,d,e,e,1,1,X,O,上一页,下一页,返回目录,88,2.平面上的投影面平行线,PV,PH,平面上投影面平行线既在平面上又平行于投影面的直线。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线
26、既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。,水平线,正平线,X,O,上一页,下一页,返回目录,89,属于平面的投影面平行线,90,a,b,c,b,a,c,m,n,n,m,例13 已知 ABC 给定一平面，试过点C 作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。,X,O,上一页,下一页,返回目录,91,例14 已知点E 在ABC平面上，且点E 距离H 面15，距离V 面10，试求点E 的投影。,O,上一页,下一页,返回目录,92,本章小结,1.了解投影法的分类和应用，重点掌握正投影法的基本特性（实形性、积聚性和类似性）。2.掌握点的投影规律、点的投影与其直角坐标的关系，以及两点的相对位置和重影点（可见性判别)。3.熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；掌握直线上的点的投影特性（从属性和定比性）；掌握两直线平行、相交和交叉的投影特性;熟练掌握用直角三角形法求一般位置直线段实长及其其对投影面倾角的作图方法（运用直线的实长、投影、坐标差和倾角四要素之间的关系）;掌握直角投影定理及其应用。4.熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法；掌握平面上点和直线的几何条件及作图方法；了解平面内投影面平行线的作图方法。,上一页,返回目录,93,
