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1、1,第十三章 光的衍射13-1 光的衍射 13-2 菲涅耳衍射13-3典型孔径的夫琅禾费衍射13-4 光学成像系统的分辩率13-5 多缝衍射13-6 衍射光栅,2,衍射现象是波动性的另一重要表现。只要光在传播，就有衍射现象。衍射和传播是联在一起的。,13-1 光的衍射 惠更斯菲涅耳原理,3,1、什么叫衍射,2、光的衍射现象,光不再是直线传播，而有光进入障碍物后的几何 阴影区。,光所到达的区域，其强度分布也不均匀。,波在传播中遇到障碍物，使波面受到限制时，能够绕过障碍物继续前进的现象。,13.1.1 光的衍射现象及分类,4,实验发现，光通过宽缝时，是沿直线传播的，如图(a)所示。,若将缝的宽度减
2、小到约104m及更小时，缝后几何阴影区的光屏上将出现衍射条纹，如图(b)所示，这就是光的衍射现象。,5,13.1.2 惠更斯菲涅耳原理,1、惠更斯菲涅耳原理的基本内容,波动有两个基本特性，,惠更斯提出的子波假设：波阵面上的每一点都可看成是发射子波的新波源，任意时刻子波的包迹即为新的波阵面。,“子波”的概念不涉及波动的时、空周期性，因而不能说明在不同方向上波的强度分布，即不能解释波的衍射。,波是振动的传播，波具有时空周期性，且能相互叠加。,6,菲涅耳在惠更斯提出的子波假设基础上，补充了描述次波基本特征的时空周期的物理量:位相和振幅，及波的叠加。认为：从同一波阵面上各点发出的次波，在传播过程中相遇
3、时，也能相互叠加而产生干涉现象，空间各点波的强度，由各子波在该点的相干叠加所决定。这就是惠更斯菲涅耳原理。,惠更斯菲涅尔原理=次波与次波的相干叠加,7,2、惠更斯菲涅耳原理的数学表示,在S上取一面元ds，ds子波源发出的子波在P点引起的振动为：,基本出发点：波面S在其前面某点P相干叠加的结果，取决于波面上所有面元ds在P点产生的振动之和。,8,波阵面上所有dS面元发出的子波在P点引起的 合振动为,式中C为比例系数，K()为随角增大而缓慢减小的函数，称为倾斜因子.当0时，K()为最大；当 时，K()0，因而子波叠加后振幅为零.,9,13-2 单缝夫琅禾费衍射,一、单缝夫琅禾费衍射 1、装置和现象
4、,A：单缝,E：屏幕,缝宽a,缝屏距D（L2之焦距f）,10,夫朗禾费单缝衍射图样是一组与狭缝平行的明暗相间的条纹，其中中央条纹最亮最宽。,11,2、惠更斯菲涅耳原理分析衍射过程,平行衍射光的获得,设平行入射光垂直投射到缝K上，其波前与缝平面AB重合。按惠更斯原理，波前上的每一点都可看成发射球形子波的波源，而每个子波源都可以向前方各个方向发出无穷多束光线，统称为衍射光，如图中A点的1，2，3光线都是衍射光线。,12,每个子波源所发出的沿同一方向的平行光构成了一束平行衍射光。,如光线系1，光线系2，等构成无穷多束平行衍射光。,2、惠更斯菲涅耳原理分析衍射过程,平行衍射光的获得,13,平行衍射光的
5、方向,每一个方向的平行光与单缝法线方向之间的夹角用表示，称为衍射角，衍射角 的变化范围为0/2。,14,平行衍射光在焦平面上相干汇聚,每一束平行光经透镜L2汇聚后，聚焦于L2焦平面上的一点。对同一束平行光而言，它们来自同一波前上的各个子波，因此满足相干条件。,每一束平行光都在光屏上进行相干叠加，其相干叠加后的振幅，则由他们的光程差决定。,显然，对于=0的一束，其中每条光线的光程都相等，因而叠加结果相互加强，即为中央亮纹。,15,3、用半波带理论分析衍射条件,衍射角为的一束平行衍射光的光程差：,考虑一束平行衍射光，作ACBC，则BC段即为这一束平行光的最大光程差。,（式中a为缝宽）,16,按相距
6、2 作平行于AC的平面A1A1/,A2A2/,将光程差BC分割成n个相等的部分，同时这些平面也将波面AB分割成n个相等的部分，它们称之为波带。,、用半波带方法解释衍射：,由于每相邻波带对应点如A、A1，A1、A2 向方向发出的光波A A1，A1A2 的光程差逐一相差半个波长，故称之为“半波带”。,两相邻波带的对应点（如边缘，中点）在P点引起的振动其位相差是。,、半波带方法：,17,各半波带的面积相等，各波带上的子波源的数目也相等。所以相邻两带在P点振动的贡献相互削弱，即为相消干涉。,18,故在给定的衍射角中，若BC刚好截成偶数个半波带，,若BC刚好截成奇数个半波带，,则P点为相消干涉而出现暗纹
7、；,则P点的亮度介于次极大和极小之间。,则P点为相长干涉而出现亮纹(多余的一个半波带不能被抵消);,若BC不为半波长的整数倍，,19,衍射图样中明、暗纹公式,中央明纹（零级衍射亮纹）：,另外也可看出，若角越大，则BC越长，因而半波带数目越多，而缝宽AB=a为常数，因而每个半波带的面积要减少（即每个半波带上携带的光能量减少），于是级数越高，明条纹亮度越低，最后成模糊一片。,暗纹条件：,20,4、单缝衍射条纹特点,（1）条纹宽度,设焦距f、缝宽a和波长，缝屏之间距离就是透镜焦距f。,中央明纹的线宽度为正负第一暗纹间距。,中央明纹的角宽度(即条纹对透镜中心的张角)为20。有时也用半角宽度描述。,21
8、,中央明纹线宽度为x0,暗纹条件：,这一关系称衍射反比律,中央明纹：,22,对K级暗纹有,可见中央明纹约为其他各级明纹宽度的两倍。（近似值）,其他各级明纹的宽度为相邻暗纹间距,角宽度,23,（2）影响衍射图样的a和,：缝越窄，衍射越显著，但a不能小于（a小于时也有衍射，但此时半波带理论不成立）；缝越宽，衍射越不明显，条纹向中心靠近，逐渐变成直线传播。,由暗纹条件：,若一定时，,24,当白光入射时，中央明纹仍为白色，其他各级由紫至红，一 般第2、3级即开始重叠。,越大，衍射越显著，,25,（3）各级亮纹强度分布是不均匀的,以中央明纹的强度为1，则 第一级明纹为4.5%第二级明纹为1.6%第三级明
9、纹为0.83%,26,例13.1用波长为的单色光照射狭缝，得到单缝的夫琅禾费衍射图样，第3级暗纹位于屏上的P处，问：,解利用半波带法直接求解，与暗纹对应的半波带数为偶数2k(k1,2，为暗纹级数)；与中央明纹除外的明纹对应的半波带数为奇数2k1(k1,2，为明纹级数).,(1)若将狭缝宽度缩小一半，那么P处是明纹还是暗纹？,(2)若用波长为1.5的单色光照射狭缝，P处是明纹还是暗纹？,27,根据已知条件，在屏上P处出现第3级暗纹，所以对于P位置，狭缝处的波面可划分为6个半波带.,(2)改用波长为1.5的单色光照射，则狭缝处波面可划分的半波带数变为原来的一点五分之一，对于P位置，半波带数变为4个
10、，所以在P处将出现第2级暗纹.,(1)缝宽减小到一半，对于P位置，狭缝处波面可分为3个半波带，则在P处出现第1级明纹.,28,例13.2波长6 000 的单色光垂直入射到缝宽a0.2 mm的单缝上，缝后用焦距f50 cm的会聚透镜将衍射光会聚于屏幕上.求：(1)中央明条纹的角宽度、线宽度；(2)第1级明条纹的位置以及单缝处波面可分为几个半波带？(3)第1级明条纹宽度.,解(1)第1级暗条纹对应的衍射角 为,因 很小，可知中央明条纹的角宽度为,29,第1级暗条纹到中央明条纹中心O的距离为,因此中央明条纹的线宽度为,(2)第1级明条纹对应的衍射角 满足,所以第1级明条纹中心到中央明条纹中心的距离为
11、,30,对应于该 值，单缝处波面可分的半波带数为,(3)设第2级暗条纹到中央明条纹中心O的距离为，对应的衍射角为，故第1级明条纹的线宽度为,由此可见，第1级明条纹的宽度约为中央明纹宽度的一半.,31,13-3 衍 射 光 栅,从上节的讨论我们知道，原则上可以利用单色光通过单缝时所产生的衍射条纹来测定该单色光的波长.但为了测量的准确，要求衍射条纹必须分得很开，条纹既细且明亮.然而对单缝衍射来说，这两个要求难以同时达到.因为若要条纹分得开，单缝的宽度a就要很小，这样通过单缝的光能量就少，以致条纹不够明亮且难以看清楚；反之，若加大缝宽a，虽然观察到的条纹较明亮，但条纹间距变小，不容易分辨.所以实际上
12、测定光波波长时，往往不是使用单缝，而是采用能满足上述测量要求的衍射光栅.,32,13.3.1 光栅衍射现象,由大量等间距、等宽度的平行狭缝所组成的光学元件称为衍射光栅.用于透射光衍射的叫透射光栅，用于反射光衍射的叫反射光栅.常用的透射光栅是在一块玻璃片上刻画许多等间距、等宽度的平行刻痕，刻痕处相当于毛玻璃而不易透光，刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一个单缝.,图13.9光栅,33,平行单色光垂直照射到光栅上，由光栅射出的光线经透镜L后，会聚于屏幕E上，因而在屏幕上出现平行于狭缝的明暗相间的光栅衍射条纹.,这些条纹的特点是：明条纹很亮很窄，相邻明纹间的暗区很宽，衍射图样十分清晰.,图13.10
13、光栅衍射,34,13.3.2 光栅衍射规律,光栅是由许多单缝组成的，每个缝都在屏幕上各自形成单缝衍射图样，由于各缝的宽度均为a，故它们形成的衍射图样都相同，且在屏幕上相互间完全重合.,各单缝的衍射光在屏幕上重叠时，由于它们都是相干光，所以缝与缝之间的衍射光将产生干涉，其干涉条纹的明暗分布取决于相邻两缝到会聚点的光程差.,35,1、光栅公式,光栅的多光束形成的明条纹的亮度要比一条缝发出的光的亮度大得多.光栅缝的数目愈多，则明条纹愈明亮.,光栅衍射的明条纹位置应满足,上式称为光栅公式.k为明条纹级数.,从光栅公式可以看出，在波长一定的单色光照射下，光栅常数(ab)愈小，各级明条纹的 角愈大，因而相
14、邻两个明条纹分得愈开.,36,光线斜入射时的光栅公式,式中 表示衍射方向与法线间的夹角，均取正值,图13.11平行单色光的倾斜入射,37,2、暗纹条件,在光栅衍射中，相邻两主极大之间还分布着一些暗条纹.这些暗条纹是由各缝射出的衍射光因干涉相消而形成的.,则出现暗条纹.,当 角满足下述条件,k为主极大级数，N为光栅缝总数，n为正整数.,38,3、单缝衍射对光强分布的影响,多光束干涉的各明条纹要受单缝衍射的调制.单缝衍射光强大的方向明条纹的光强也大，单缝衍射光强小的方向明条纹的光强也小.,图13.12光栅衍射光强分布示意图,39,4、缺级现象,从光栅公式看来应出现某k级明条纹的位置，实际上却是暗条
15、纹，即k级明条纹不出现，这种现象称为光栅的缺级现象.,缺级条件：,一般只要 为整数比时，则对应的k级明条纹位置一定出现缺级现象.,40,13.3.3 光栅光谱,由光栅公式可知，在光栅常数一定的情况下，衍射角 的大小与入射光波的波长有关.因此当白光通过光栅后，各种不同波长的光将产生各自分开的主极大明条纹.屏幕上除零级主极大明条纹由各种波长的光混合仍为白色外，其两侧将形成各级由紫到红对称排列的彩色光带，这些光带的整体称为衍射光谱,41,图13.13光栅光谱,42,例13.5一个每毫米均匀刻有200条刻线的光栅，用白光照射，在光栅后放一焦距为f500 cm的透镜，在透镜的焦平面处有一个屏幕，如果在屏
16、幕上开一个x1 mm宽的细缝，细缝的内侧边缘离中央极大中心5.0 mm，如图13.14所示.试求什么波长范围的可见光可通过细缝？,解利用光栅方程和衍射光路图求出在x范围内的衍射光的波长范围.此方法给出了一种选择和获得准单色光的方法.,图13.14,43,按题意，光栅常数为,由图可以看出 和 都很小，所以，根据光栅方程，有,44,因此,显然，在可见光范围内，k1和k2都只能取1.所以可通过细缝的可见光波波长范围为,45,D=2R,13-4 圆孔衍射 光学仪器的分辨率,13.4.1 圆孔衍射,1、装置与现象,46,2、爱里斑 夫琅和费圆孔衍射中，中央为亮圆斑。第一暗环所包围的中央圆斑，称为爱里斑。
17、其占总入射光强的84%。,半角宽度指爱里斑对透镜中心张角的一半角宽度。式中D为圆孔的直径，大多数情况应为物镜前光欄的直径。,3、爱里斑的半角宽度：,47,圆孔衍射中央爱里斑半角宽=1.22/D 单缝衍射中央明纹半角宽=/a,两相对比：说明二者除在反映障碍物几何形状的系数不同以外，其在定性方面是一致的。,48,13.4.2 光学仪器的分辩率,在几何光学中，是一个物点对应一个象点。在波动光学中，是一个物点（发光点），对应一个爱里斑。,1、圆孔衍射对成象质量的影响,普通光学成象时，入射光可看成平行光，透过镜头后成象在底片上，故可视为夫琅和费圆孔衍射。,49,光的衍射限制了光学仪器的分辨本领。,因此，
18、当两个物点的爱里斑重叠到一定程度时，这两个物点在底片上将不能区分，故爱里斑的存在就引发了一个光学仪器的分辨率问题。,50,瑞利判据：如果某一物点斑象（即爱里斑）的中心恰好落在另一物点斑象的边缘，这样所定出的两物点的距离作为光学仪器所能分辨的最小距离。,2、分辨率,两光强相同的非相干物点，其象点相互靠近，瑞利提出了一个可分辨的标准。,51,能分辨,恰能分辨,不能分辨,52,两物点对透镜光心的张角称为光学仪器的最小分辨角，用0表示，它正好等于每个爱里斑的半角宽度，即,最小分辨角的倒数10 称为光学仪器的分辨率。,53,因此，为提高仪器分辨率，或说为提高成象质量，,由爱里斑半角公式，得光学仪器的分辨
19、率,方法之一 使透镜镜头直径加大。,方法之二 降低入射光的波长。,54,望远镜：不可选择，可使D；显微镜：D不会很大，可使。,电子：0.1 1,电子显微镜分辨本领很 高，可观察物质结构。,人眼：对5500 的光，1 在9m远 处可分辨相距 2mm的两个点。,55,例13.7一直径为2 mm的氦氖激光束射向月球表面，其波长为632.8 nm，已知月球和地面的距离为.试求：(1)在月球上得到的光斑的直径有多大？(2)如果这激光束经扩束器扩展成直径为2 m，则在月球表面上得到的光斑直径将为多大？在激光测距仪中，通常采用激光扩束器，这是为什么？,解(1)以 表示光斑的直径，L表示月球到地球的距离，是激
20、光束的直径，为波长，则,56,则,(2)由(1)中所述可知,由此可知，激光通过扩束后，其方向性大为改善，强度大大提高.,57,上节讨论的是透射光栅中光的干涉问题，这节所讲的伦琴射线就是反射光栅光的干涉。,一、伦琴射线,13-5 X射线的衍射,1895年伦琴发现了一种波长极短（0.0110），穿透力极强的射线，其可由高速电子流撞击钨、钼、铜而产生，后来人们发现它是原子内层处于激发状态的电子在能级跃迁时释放的电磁波。,58,59,二、劳厄实验,X射线波长极短，一般光栅 d，因此用一般光栅看不到X射线的衍射(除了0级)。,1913年，劳厄(德国)想到，X射线波长和晶体内原子的间距差不多。能否用晶体产
21、生X射线的衍射呢？实验果然看到了衍射现象。,60,X射线,晶体,劳厄斑,让连续变化的X光射到单晶体上，则屏上产生了一些强度不同的斑点，称劳厄斑。,61,三、布喇格公式,（1）晶体是一系列彼此平行的原子层组成。入射射线投射到点阵粒子上时，每个点阵粒子均作受迫振动，该粒子作为一个新的波源而向各方向发出散射光，这时沿任一方向的一束平行散射光都可看作反射光栅中的衍射光束。,62,（2）晶格点阵粒子的散射不仅有来自表层的，还有来自内层的。可分两步处理：先考虑表层散射光的衍射干涉（此称为点间干涉）；再考虑层与层间散射光的干涉（此称为面间干涉）。,63,点间干涉,(h称为晶面晶格粒子间距）,点间干涉产生衍射
22、主极大时，,点间干涉与光栅衍射一样。,K=0时，为零级主极大的位置。,64,由上式可以看出，除零级主极大的位置与波长无关外，其它各级主极大均与波长有关。,对于零级主极大，有cos=cos，即当反射衍射光与入射光二者之间满足反射定律时，为零级主极大。,65,面间干涉,当来自相邻两个层面之间的平行衍射光满足,不同面上反射出的平行光叠加后是加强还是削弱，取决于相邻两光束之间的光程差。,产生衍射主极大（d称为晶面间距）。,66,对于任意角，在给定波长时，要想使点间干涉和面间干涉同时满足衍射主极大，一般说来是很困难的。,由上面讨论可知，对于满足反射定律方向上的衍射光线点间干涉零级主极大与波长无关，因此只
23、有这个方向上才有可能实现点间干涉与面间干涉同时满足主极大。,即只有在以晶面为镜面并满足反射定律的方向上，点间干涉和面间干涉才能同时满足衍射主极大。,67,布喇格公式,当有 cos=cos，时,当入射的相干平行光（射线）的掠射角（衍射角）满足布喇格公式时，则在以晶面为镜面的反射方向上，可观察到衍射主极大。,X射线衍射的应用(1)X射线光谱学 已知d 求；(2)X射线晶体分析 已知 求d。,68,解根据布喇格公式,例13.9我们比较两条单色的X射线的谱线时注意到，谱线A在与一个晶体的光滑面成30的掠射角处给出第1级反射极大.已知谱线B的波长为0.97，这谱线B在与同一晶体的同一光滑面成60的掠射角处，给出第3级反射极大.试求谱线A的波长.,对波长 的X射线有,69,因此,对波长 的X射线有,
