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1、,结构力学,第五章,静定结构位移计算,第五章 静定结构 位移计算,校核刚度,超静定（计算环节）,刚体系位移,变形体系位移,荷载作用,支座移动、变温、制造误差,在后一因素作用下，在静定结构中不会引起内力，但会引起位移,（验算结构位移是否超限）,（无应变）,（有应变）,1.单位荷载法求刚体位移,则该平衡力系在此相应刚体位移上所作的 总虚功之和等于零.,力系满足静力平衡条件（主动力与反力）；,(刚体系)虚功原理,求实际的力,虚设位移,求实际位移,虚设力系,虚功法,支座A下沉，求B点位移？,虚力系在实位移上作虚功,当虚拟荷载 时单位荷载法,多跨静定梁.,（几何方程）,虚功方程,单位荷载法主要步骤：,（
2、1）在拟求位移处虚拟单位荷载1（沿所求位移方向）,虚拟平衡力系,即可解出未知位移,（2）虚平衡力系 在 实结构位移上作功,总虚功0 虚功方程,A支座有位移,求B点：竖向，转角？,（思考：与何量相反？）,归纳：静定结构因支座移动引起位移，单位荷载法公式：,（实位移）,（实支座移动）,（虚反力）,例,解:,例,解:,整体:,右半拱:,三铰拱,求 C点竖向位移,相对转角,虚功方程:,1),1,整体:,右半拱:,虚功方程:,求C 两侧相对转角,2),若下拉杆缩短1cm,求 C点竖向位移,例,解:,左半拱:,虚功方程:,B,（3）虚 平衡力系，实 结构位移,（2）虚拟 单位荷载1（C沿所求位移方向）,（
3、1）拉杆缩短（结点相对内移）,C,（刚体位移）,A,例,解:,虚功方程:,B,（2）求 yC,有虚平衡力系（单位1引起）,C,（刚体位移）,A,机动法作 下 拉杆影响线,N2影响线,2.5,（1）去除拉杆，,DE相对内移单位1,上弦杆虚位移图下杆力影响线,虚拟单位荷载,2.单位荷载法求变形体位移,一.变形体系的虚功原理,变形体系的两状态:,外力与内力,位移与变形,（平衡）,（荷载/支座移动/变温）,虚功原理:,外虚功=内虚功,（荷载/反力在位移上作功）,（内力在变形上作功）,（连续协调）,（局部变形）简例,MC=a,由虚功原理:,符合图中的几何关系,二.结构位移计算（变形体系的单位荷载法）,拟
4、求结构上某点位移,可在该点沿位移作用线加单位荷载（指向预设）,应用变形体虚功原理:,（外虚功）,（内虚功）,（沿杆长积分）,（对各杆求和）,（代入几何关系）,若除变形外,结构还有支座位移Ck,(变形体系)虚功方程,（几何方程）,（位移）,（应变）,上式适用普遍:,材料性质,作用因素,结构类型,变形类型,可用于非线弹性材料,可用于支座移动、变温,可用于各种类型结构（梁、刚架、桁架、拱、组合结构)；,可用于超静定结构,拉压、剪切、扭转、弯曲、组合变形,位移类型,线位移、,角位移、,相对位移,三.线弹性位移计算,若材料在线弹性范围内工作（应力-应变成正比）,各类应变可由相应内力及弹性常数表达;,（梁
5、）,（桁架）,（为与单位力同向）,3.单位荷载法求位移算例,例,解:,求挠曲线,x,（tx）,例,解:,求A点水平位移、转角,EI1,EI2,Fx（1）,x（2）,（设内拉为）,0（1）,Fa（2）,2）,(P/2),（P）,(1/2),例,解:,各杆EA同，求D点竖向和B点水平位移,（1）,（2）,解：,1),例：,求B点水平位移,转角,R,部分圆环,（设内拉为）,2),例：,半圆形小曲率曲杆A端固定，自由端作用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，直径d 试求B 端扭转角,CL12TU13,解：,1)内力分析,2)单位m=1 作用,1,单位荷载法求相对位移,如：,（单位力功）,求相对,求弦转角,
6、在两点沿连线方向虚拟作用 一对单位力(偶),（大小相等方向相反）,例,求 B-D 间相对位移（各杆EA相同）,B,A,F,沿 B-D 连线加一对单位力,解：,D,C,1)算,节点法依次分析,2)算,BC D,BC D,3）,例,A,B,活塞环，求切口处相对转角,张开量,由于环形状、荷载、相对位移均对称，故计算可只考虑半环，然后两倍。,C截面（因对称性）无位移可看作固端,R,F,F,解：,1）,2）,（约定：内拉为）,4 图乘法,应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式积分：,中，只要有一是线性（变量的一次函数）以上积分即可简化：,下设 图形是直线,（直杆M(x)图必定是直线）,一.方法,以上简化M
7、ohr积分的方法 图乘法,（M图形面积）,M,2.其中一图必须是直线；,A,O,Sy,y0 须取自直线图,二次抛物线,CL12TU21,一次斜直线,二.图形面积和形心,三.复杂图形的图乘,1.折线分段,2.复杂分解,例,M,解：,求B 支座,A,B,1,M,求C点竖向位移,例,解：,例,解：,求,2),1),M,例,解：,1/2,求C点竖向位移,C,5 变温位移计算,静定结构，温度改变不引起内力,轴向伸缩应变,l/l,弯曲应变（曲率）,轴线温度,线膨胀律,=t0,变形和位移是材料自由胀缩的结果,例,解：,+100,求A点竖向位移,解:,整体:,右半拱:,虚功方程:,1),例,dx,dy,2),
8、（化为正交系积分）,6 虚功方程的证明与应用条件,变形体系的两种状态:,外力与内力,位移与变形,（平衡）,虚功原理:,(外虚功)W=(内虚功)Wi,（荷载/反力在 位移上作功）,（内力在 变形上作功）,（连续协调）,一.平衡与几何关系,A,B,外力内力分量间 满足平衡条件,dN+p dx=0,dQ+q dx=0,dM+Q dx=0,位移应变分量间 满足几何关系,dw,A,B,(外虚功)W=,(内虚功)Wi=,二.虚功方程证明,A,外力内力平衡条件,dN+pdx=0,dQ+qdx=0,dM+Qdx=0,位移应变几何关系,(dN+pdx)u,+(dQ+qdx)w,=0,+(dM+Qdx),u dN
9、+w dQ+dM,(p u+q w+Q)dx,=0,(分部积分),N du,得证,证:,+Q dw,+M d,三.虚功方程的两种应用,虚位移法,虚荷载法,外力内力的平衡方程,位移变形的几何方程,单位位移法,单位荷载法,变形体虚功原理所需满足的全部条件,7 互等定理,线性变形体系有四个互等定理,其中最基本的功的互等,若体系 1.材料线弹性;,一.功互等定理,外力A在 力B引起位移 上所作的功,21,2.小变形,线性变形体系,等于外力B在 力A引起位移 上所作的功,二.位移互等定理,若,单位力 A引起的 B处 位移,（Note:广义力（力/力偶）与 广义位移（线/角位移）对应）,三.反力互等定理,
10、应用功的互等,约束A单位位移 引起的约束B反力,等于 单位力 B引起的 A处位移,等于约束B单位位移引起的 约束A反力,应用功的互等,单位力 A 引起的 约束B反力,四.位移-反力互等定理,（二者符号相反）,Note:广义力（力/力偶）与 广义位移（线/角位移）对应,四个互等定理中核心、基本的是功互等,（数值）,等于B处单位位移 引起的 A处位移,解：,例,（此题挑臂对内跨变形无影响）,求（用功的互等）,功互等,为求，在 B 处虚拟（假想）作用单位力偶（与 对应）,（号说明实际 与单位1方向相反）,（两项本身有正负）,四、五章 小结,静力法,基本原理,虚功原理,机动法,（Mohr图解）,基本方
11、法,基本公式,单位位移图解影响线,单位荷载积分求位移,单位荷载法,（Mohr积分）,影响方程（平衡解析）,单位位移法,本章结束,2.单位荷载法求变形体位移,一.变形体系的虚功原理,变形体系的两种状态:,外力与内力,位移与变形,（平衡）,（荷载/支座移动/变温）,虚功原理:,外虚功=内虚功,（荷载/反力在位移上作功）,（内力在变形上作功）,（下拉杆）,（花篮螺栓）,D,E,C,A,B,A,B,C,q,三、位移计算中的基本假定位移计算限定结构在线性弹性范围内工作。即，结构的位移与荷载的大小成正比，且当荷载撤除后，结构的位移也随之消失。并应满足如下基本假定：、应力和应变服从虎克定律（物理线性）；、位移是微小位移（几何线性），即可用结构原尺寸和叠加法计算其位移；、所有约束为理想约束，即约束力不作功。,
