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1、2023/1/24,1,从本讲起，我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.,它是第二章内容的推广.,2023/1/24,2,变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维,随机向量。,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性,随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布,3.1 二维随机变量的分布,质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此,必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维,函数的概念.,一、二维随机向量及其联合分布,2023/1/24,3,定义1 设(X，Y)为二维随机向量,对于任
2、意x，,称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合,y，二元函数,分布函数.,注 1)联合分布函数,的概率意义：,图1,下方的无穷矩形的概率.,是随机点,2023/1/24,4,2)设,2023/1/24,5,3)联合分布函数F(x,y)的基本性质：,（1）F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,固定x,（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.,2023/1/24,6,例1 已知二元函数,问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分,布函数?,解:由于,所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分,布函数.,2023/1/24,7,二、离散型随
3、机向量的联合分布律,定义2 如果二维随机向量的每一个分量X和Y,为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。,型随机向量。若(X，Y)的所有可能值为,都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散,2023/1/24,8,离散型随机向量的联合分布律,2023/1/24,9,2023/1/24,10,例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，,试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的,取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：,联合分布律。,2023/1/24,11,离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:,1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得,3.列出联合概率分布表.,值对的概率;,2.利用古
4、典概型或概率的性质计算每个数,到(X,Y)的所 有取值数对;,2023/1/24,12,例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，,求(X1,X2)的联合概率分布。,2023/1/24,13,例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三,次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出,解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为,P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8,P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8,P(X=2,Y=0)=0,P(X=3,Y=0)=1/8,(X,Y)的概率函数.,现次数与反面出现次数之差的绝对值，求,0,1,2,3.,P(X=0,Y=0)=0,P(X=0,Y=i
5、)=0,i=1,2,P(X=1,Y=0)=0,P(X=1,Y=i)=0,i=2,3;,P(X=2,Y=1)=3/8,P(X=2,Y=i)=0,P(X=3,Y=i)=0,i=1,2,3,2023/1/24,14,2023/1/24,15,三、连续型随机向量的联合密度函数,定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数,，如果存在一个非负可积函数f(x,y),使得对于,称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称,f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密,度函数，记作(X，Y)f(x,y).,注 f(x,y)的基本性质：,2023/1/24,16,若(X，Y)f(x,y),D是平面上的一个区域
6、，则随机点(X,Y)落在,区域D上的概率记作:,2023/1/24,17,连续型二维随机向量(X，Y)的联合分布函数,的概率意义是：以曲面f(x,y)为顶面，以(x,y),为顶点的无穷矩形区域为底面的曲顶柱体的体积。,2023/1/24,18,例5 设随机向量（X，Y）的联合密度函数为：,试求：(1)常数A；,其中D是如图1的阴影部分；,（3）(X,Y)的联合分布函数F(x,y).,2023/1/24,19,例6 设随机向量(X，Y)的联合密度函数为：,其中a b,c d,求常数A。,这就是二维均匀分布。,由此可将二维均匀分布推广：,其中S(D)是平面上一个可以度量的有界区域D,匀分布。,的面
7、积，则称随机向量(X,Y)服从区域D上的均,2023/1/24,20,三、边缘分布,定义4 二维随机向量(X,Y)中的每个随机变量X，,Y的分布，称为随机向量(X,Y)的边缘分布。即,由于X与Y本身也是一个随机变量,因此也有各,自的分布函数,因此有：,2023/1/24,21,例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为,称此分布为二维指数分布,其中参数,2023/1/24,22,注意 边缘分布与参数 无关！这说明研究多维,正是整体的涌现,它反映了X与Y之间存在着,们作为一个整体来研究.,随机变量,仅仅研究边缘分布是不够,而必须将他,的某种关系.,(1)离散型随机向量的边缘分布,由于,2023/
8、1/24,23,故关于X的边缘分布律为:,同理关于Y的边缘概率密度为,可以将联合分布律与边缘分布律写成下述形式:,2023/1/24,24,例8 设二维随机变量 的分布律为,解 由,解得,2023/1/24,25,例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:,Pi.0.250.40.35,p.j,0.25,0.5,0.25,求:X,Y的边缘分布;,解:由分析得:,2023/1/24,26,(2)连续型随机向量的边缘分布,所以,关于 的边缘概率密度为:,同理,关于 的边缘概率密度为:,2023/1/24,27,例10 设 的概率密度为,求1)常数;,(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),
9、(1,1)为顶点的正,方形内概率;,5)边缘密度函数,2)联合分布函数;,2023/1/24,28,解 1),2023/1/24,29,2),2023/1/24,30,3),2023/1/24,31,设D为如图所示的单位正,(1,1),方形区域,则所求的概率为,2023/1/24,32,5),同理,2023/1/24,33,例11 设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：,求边缘密度函数。,2023/1/24,34,例11 设(X,Y)的联合密度函数为,求边缘密度函数。,均匀分布，则它的两个边缘分布未必服从一维,例10、11说明:若(X,Y)服从矩形区域a,bc,d,上的均匀分布，则它的两个边缘分布服从一维,均匀分布，但如果(X,Y)不是服从矩形区域上的,均匀分布。,
