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1、 3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,交比 最根本的射影不变量,定义.1.共线四点P1,P2,P3,P4的交比(P1P2,P3P4)等于两个单比,称P1,P2为基点偶，P3,P4为分点偶.,(1.1),之比，即,1,3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,(1.2),定理1.1 基点偶与分点偶交换,交比的值不变,即,(1.3),2,一、共线四点的交比,定理1.2,3.1 交比与调和比,推论:,(1.4),(1.5),3,一、共线四点的交比,3.1 交比与调和比,定理1.3,（1.6）,4,一、共线四点的交比,3.1 交比与调和比,（1.7）,5,例已知,和,求,的值,3.1 交比与调和
2、比,一、共线四点的交比,定理1.一直线上的无穷点分其上任何两点的单比等于,6,引理已知两不同的普通点,为直线AB上一点,则,且,3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,7,则,3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,定理1.5 若共线四不同点,(1.11),8,验证它们共线,并求(AB,CD)的值.,例2 已知,3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,9,为a+ib(i=1,2,3,4).则,3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,定理1.6 设共线四点Pi的坐标,(1.12),10,定理1.7 设四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，则第四点必惟一确定,3.1 交比与调和比,一、
3、共线四点的交比,11,4、调和比,调和：1.调解使和好;调和对立的观点 2.配合得适当;和谐色彩调和 3.折中;妥协 4.混和;搀和 5.调味 非调和之有异 6.调味品,3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,12,4、调和比,定义1.2 若(P1P2,P3P4)=1,则称,3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,交比值-1叫做调和比,点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离,点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭,点P4为P1,P2,P3的第四调和点,13,3.1 交比与调和比,一、共线四点的交比,推论 相异四点P1,P2,P3,P4可按某次序构成调和比这四点的6个,交比值只有
4、3个：,定理1.8 若(P1P2,P3P4)=1则P4为,无穷点的 P3是线段P1,P2的中点.,14,3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,定义1.3 设a,b,c是线束S中的三直线，则,叫做a,b,c三直线的单比，称a,b为基线，c为分线.,15,3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,定义1.4 设p1,p2,p3,p4是线束中四直线，则,(1.13),叫做p1,p2,p3,p4的交比.其中称p1,p2为基线偶，p3,p4为分线偶.,16,二、线束中四直线的交比,设线束S(p)中四直线pi被任一直线s截于四点Pi(i=1,2,3,4).则,3.1 交比与调和比,定理1.9,
5、17,3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,4、调和比,定义1.5 若(p1p2,p3p4)=1,则称,交比值-1叫做调和比,线偶p1,p2与p3,p4(相互)调和分离,线偶p1,p2,与p3,p4(相互)调和共轭,线p4为p1,p2,p3的第四调和线,18,3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,定理1.10 交比经中心射影后不变.,定理1.11 若a,b,a+1b,a+2b是四条不同的普通共点直线l1,l2,l3,l4的齐次坐标,则,19,为a+ib(i=1,2,3,4).则,3.1 交比与调和比,推论 设共点四线li的坐标,(1.15),二、线束中四直线的交比,20,3.1
6、 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,例已知四直线l1,l2,l3,l4的方程顺次为,求证四直线共点，并求（l1 l2,l3 l4）,（l1 l2,l3 l4）=,21,3.1 交比与调和比,二、线束中四直线的交比,例已知共点四直线l1,l2,l3,l4的方程顺次为,求（l1 l2,l3 l4）,例求证：一角的两边与这个角的内外角平分线调和共轭,完全四点形与完全四线形,22,完全四点形ABCD,完全四线形abcd,顶点,4个,边,6条,对边(没有公共顶点的边),3组,对边点(对边的交点),3个,对边三点形 XYZ,边,4条,顶点,6个,对顶(不在同一边上的顶点),3组,对顶线(对顶的连线),
7、3条,对顶三线形 xyz,请课后画图，熟悉图形及名称.今后将专门研究其重要性质,23,我们来看看；有可能,以直线AB截此四直线，得,只要有(AB,PZ)=1.,以点Y分别与上述等式两边的四点相连，据定理2.6可得,也就是,注意到A,B,P,Z四点互异，必有(AB,PZ)=1.证毕.,再以直线CD截此四直线，得,1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,24,1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,定理1.12 完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边三点形的两边调和分离.,定理1.12 完全四线形的一对对顶被在此二对顶连线上的对顶三线形的二顶点调和分离.,如图,经过三个对边点X,Y,Z各有一个调
8、和直线组,比如X,如图,在三条对顶线x,y,z上各有一个调和点组,比如x,此二定理说明：上述两图中各有三个调和元素组,25,推论1 在完全四点形的对边三点形的每条边上,有一个调和点组,其中一对为对边点,另一对为该边与第三组对边的交点.,推论1 通过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为对顶线，另一对为该顶点与第三对对顶的连线.,比如经过顶点T,有,此二推论说明：上述两图中又各有三个调和元素组,比如在边t上,有,1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,26,推论2 在完全四点形的每条边上有一个调和点组,其中一对为顶点,另一对中一个为对边点,一个为该边与对边三点形的边的交点.
9、,推论2 通过完全四线形的每个顶点有一个调和直线组,其中一对为边，另一对中,一条为对顶线,一条为该顶点与对顶三线形顶点的连线.,比如经过顶点ab,有,此二推论说明：上述两图中又各有六个调和元素组,比如在边AB上,有,1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,27,第四调和元素的作图,例7 已知直线l上相异三点P1,P2,P3.求作第四调和点P4.,分析：利用推论1,构造一个完全四点形,以l为其对边三点形的一边,P1,P2是对边点,使第三对对边中,一条过P3,则另一条与l的交点即为P4.,解.作法:(1).在l外任取一点A,连AP1,AP2.,(2).过P3作直线分别交AP1,AP2于B,D.,(
10、3).连P1D,P2B交于C.,(4).连AC交l于P4为所求.,证明:(略)请自行补出.,注1,上述实际上也是利用推论2作图.,注2,本例引申,1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,28,第四调和元素的作图,例7 已知直线l上相异三点P1,P2,P3.求作第四调和点P4.,注2,本例引申,1、给定三点如图，如何作图?,2、给定共点三直线如图，求作第四调和直线.,3、给定共点三直线如图，求作第四调和直线.,注3,由上述作图，(P1P2,P3P4)=1 存在一个完全四点形,以P1,P2为两个对边点,并使P3,P4在另一对对边上.,注4,注3的对偶命题.,由上述注3,4，你想到了什么？,1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,29,今日作业,P.58:2;3;4,1.3 完全四点形与完全四线形的调和性,30,
