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1、,第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1三角形的边,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.三角形及其有关概念 2.三角形的分类 3.三角形的三边关系,学习目标,新课导入,知识回,下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的几何图形.,你能画出一个三角形吗？,新课讲解,知识点1 三角形及有关概念,下面哪个是三角形？,结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的.,什么是三角形？,新课讲解,1.三角形的定义,注意：（1）三条线段（2）不在同一直线上（3）首尾顺次相接,由不在同一条直线上的三
2、条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。,新课讲解,2.三角形的表示,三角形用符号“”表示，如下图的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”.,注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作ABC，也可记作ACB.,新课讲解,3.三角形的顶点、边、内角,如图，ABC的三个顶点分别是：A，B，C.,ABC的三条边分别是：AB，BC，CA.它的三个内角（简称三角形的角）分别是：A，B，C.,新课讲解,3.三角形的顶点、边、内角,注意：1.三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制.2.三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示.如：ABC的三边中，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所
3、对的边AC也可表示为b，顶点C所对的边AB可表示为c.3.一般情况下，我们把边BC叫做A的对边，AC，AB叫 A的邻边；边AC叫B的对边，AB，BC叫B的邻边；你能说出C的对边及邻边吗？,对边是AB，邻边是BC，AC.,新课讲解,一位同学用三根木棒拼成的图形如下，则其中符合三角形定义的是(),D,1,新课讲解,如图：(1)ADC的三个顶点分别是_，三个内角分 别是_(2)在ABC中，C的对边是_；在AEC 中，C的对边是_,2,A、D、C,AB,AE,新课讲解,知识点2 三角形的分类,我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直 角三角形和钝角三角形.如何按照边的关系对三角形进
4、行分类呢？说说你的想法，并与同学交流.,新课讲解,知识点2 三角形的分类,三边都相等的三角形叫做等边三角形(图(1);有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(图(2).图(3)中的三角形是三边都不相等的三角形.,新课讲解,知识点2 三角形的分类,腰,腰,顶角,底角,底角,在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.,新课讲解,知识点2 三角形的分类,等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.,以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形.,新课讲解,知识点2 三角形的分类 总结,按角分,锐角三角形,钝
5、角三角形,直角三角形,按边分,三边都不相等的三角形,等腰三角形,底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形,新课讲解,1,下列说法：等边三角形是等腰三角形；等腰三角形也可能是直角三角形；三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个,C,分析:等腰三角形不一定是等边三角形，故错误;三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形，故错误;两边相等的三角形是等腰三角形,故正确;易知正确.所以选C.,新课讲解,D,2,已知一个三角
6、形是等腰三角形，则这个三角形()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形,新课讲解,知识点3 三角形的三边关系,任意画一个ABC，从点B出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？,新课讲解,如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？,对于任意一个 ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 AB+ACBC.同理有 AC+BCAB,AB+BCAC.一般地，我们有：三角形两边的和大于第三边.由不
7、等式移项可得BCABAC，BCACAB.这就是说，三角形两边的差小于第三边.,新课讲解,知识点3 三角形的三边关系,用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.,新课讲解,知识点3 三角形的三边关系,(2)如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4+2x=18.解得x=7.如果4 cm长的边为腰，设底边长为 x cm，则 24+x=18.
8、解得x=10.因为4+410,不符合三角形两边的和大于第三边，所以不 能围成腰长 是4 cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.,新课讲解,知识点3 三角形的三边关系,注意：1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边.2.在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小于第三边.,新课讲解,下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3,4,8；(2)5,6,11；(3)5,6,10.,(1)不能组成三角形 因为348，不满足三角形的三边关系(2)不能组成三角形 因为5611，不满足三
9、角形的三边关系(3)能组成三角形 因为5610，满足三角形的三边关系,解：,1,新课讲解,下列长度的三条线段能组成三角形的是()A5，6，10 B5，6，11C3，4，8 D4a，4a，8a(a0),已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是()A5B6C12D16,C,A,2,3,课堂小结,三角形,不在同一条直线上,首尾顺次相接,三条线段,ABC,概念,表示方法,分类,三边关系,按“边”分,按“角”分,两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,当堂小练,当堂小练,当堂小练,D,拓展与延伸,1,第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2三角形的高、中线、角平分
10、线,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.掌握三角形的高、中线及角平分线的概念.（重点）2.掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.（难点）3.了解三角形的重心的概念.,学习目标,新课导入,知识回,当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,把一条线段分成两条相等的线段的点,一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线,新课讲解,知识点1 三角形的高,定义：从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三
11、角形的高线，简称三角形的高.,如图，从ABC的顶点A向它的对边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的高.,垂足D,注意:标明垂直的记号和垂足的字母.,新课讲解,1.锐角三角形的三条高,问题：(1)你能画出这个三角形的三条高吗?,(2)这三条高之间有怎样的位置关系？,(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?,如图所示；,锐角三角形的三条高交于同一点；,锐角三角形的三条高都在三角形的内部.,新课讲解,2.直角三角形的三条高,问题：画出直角三角形的三条高,直角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?,直角三角形的三条高交于直角顶点；,AC边上的高是;,直角边BC边上的
12、高是;,直角边AB边上的高是;,BD,AB,BC,新课讲解,3.钝角三角形的三条高,问题：画出钝角三角形的三条高,钝角三角形的三条高又有怎样的位置关系吗?,钝角三角形的三条高不相交于一点,钝角三角形的三条高所在直线交于一点,AC边上的高是;,BC边上的高是;,AB边上的高是;,BF,AD,CE,新课讲解,新课讲解,作ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(),D,新课讲解,知识点2 三角形的中线,定义：连接三角形的一个顶点和它所对的中点的线段叫做三角形的中线.如图，AD是ABC的边BC上的中线.,想一想：由三角形的中线能得到什么结论？,新课讲解,问题：你能分别画出锐角三角形、直角三角形、钝
13、角三角形的三条中线吗？观察它们中线的交点你会发现什么规律？,新课讲解,拓展：如图所示，在ABC中，AD是ABC的中线，AE是ABC的高试判断ABD和ACD的面积有什么关系？你能发现什么规律？,相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.,发现：三角形的中线能将三角形的面积平分.,新课讲解,在ABC中，AC5cm，AD是ABC的中线，若ABD的周长比ADC的周长大2cm，则BA_.,7cm,解析：因为ABD的周长 AB+BD+AD，ADC的周长 AC+DC+AD，所以ABD的周长-ADC的周长（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD）AB-AC=2cm.又因为AC5cm，所以AB7cm.,新
14、课讲解,知识点3 三角形的角平分线,定义：在三角形中，一个内角的平分线和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图，AD是ABC的角平分线，或BAD=CAD=BAC且点D在边BC上.,想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?,不同，三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线,新课讲解,问题：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？,新课讲解,问题：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，观察它们是否也有这样的发现？,新课讲解,在ABC中，已知A=50,BE,CF分别是ABC，ACB的平分线，相交于点P.ABP=21,求BCP的
15、度数.,解：因为BE 平分ABC，ABE 21，所以ABC 221 42.因为A+ABC+BCA 180，A50，所以BCA 180-50-4288.因为CF 平分BCA，所以BCP1/2BCA 44.,课堂小结,三角形重要线段,三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心,直角三角形：三条高交于直角顶点,锐角三角形：三条高交于在三角形的内部一点,钝角三角形：三条高所在直线交于三角形外部一点,高,中线,三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心,一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,角平分线,当堂
16、小练,1.如图,在ABC中,1=2，G为AD中点，延长BG交 AC于E，F为AB上一点，CF交AD于H，判断下列说法的正误.,（1）AD是ABE的角平分线()（2）BE是ABD边AD上的中线()（3）BE是ABC边AC上的中线(),分析：（1）AD线段不在ABE内部，所以不是其角平分线,（2）BE 线段不在ABD内部，所以不是其角平分线,（3）AE不等于CE,所以BE不是ABC边AC上的中线,当堂小练,B,当堂小练,3.如图,AE是 ABC的角平分线.已知B=45,C=60,求BAE和AEB的度数.,D,拓展与延伸,3.如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB AC，一腰上的中线BD 将这个等腰
17、三角形的周长分成12 和6 两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长.,解：设AB AC 2x，则AD CD x.（1）当AB+AD 12，BC+CD 6 时，有2x+x 12，所以x 4，2x 8.所以AB AC 8，BC 6-4 2.（2）当BC+CD 12，AB+AD 6 时，有2x+x 6，解得x 2，所以2x 4.所以AB AC 4，BC 12-2 10.因为4+410，所以此时不能构成三角形.综上所述，等腰三角形ABC 的腰长为8，底边长为2.,第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.3三角形的稳定性,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲
18、解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.了解三角形的稳定性.（重点）2.了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用.（难点）,学习目标,新课导入,工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？,新课讲解,知识点1 三角形的稳定性,探究1：如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？,分析：,不会改变，也就是说，三角形的三条边长确定后，三角形的形状就确定了.,新课讲解,知识点1 三角形的稳定性,探究2：如图，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后
19、扭动它，它的形状会改变吗？,分析：,会改变，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变.,新课讲解,知识点1 三角形的稳定性,探究3：如图，四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相等的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状会改变吗？为什么？,分析：,不会改变，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.,新课讲解,“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”,新课讲解,1 小明用7根木条钉成一个七边
20、形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在下图的三个图中画出你的三种想法.,解：如图所示（答案不唯一）.,新课讲解,1.在如图 11-1-17 所示图形中，具有稳定性的有.（只填序号）,1,分析：三角形具有稳定性，多边形不具有稳定性。如果图形可以继续切割为三角形，则不具有稳定性.,新课讲解,如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(),D,2,A.两点之间线段最短B.三角形两边之和大于第三边C.长方形的四个角都是直角D.三角形的稳定性,新课讲解,下列图形中，不是应用三角形的稳定性的是(),C,3,A.房屋顶支撑架 B.自行车三脚架 C.伸
21、缩门 D.木门上钉一条木条,新课讲解,3,4,如图，两条木条钉成一个六边形框架ABCD,要使框架稳固不活动，至少还需要添加（）根木条.,解：答案不唯一，如图,课堂小结,稳定性,应用,三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性,应用,当堂小练,（1）有下列图形：正方形；长方形；直角三角形；平行四边形.其中具有稳定性的是_.（填序号）（2）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用四边形的_.（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要钉上_根木条.,不稳定性,2,D,拓展与延伸,（1）要使四边形木架（用四根木条钉成）具有稳定性，至少要再钉上几根木条？（2）要使五边形木架（用五根木条钉成）具有稳定
22、性，至少要再钉上几根木条？（3）要使六边形木架（用六根木条钉成）具有稳定性，至少要再钉上几根木条？,（4）要使n边形木架（用n根木条钉成）具有稳定性，至少要再钉上几根木条？,D,拓展与延伸,（1）至少再需要1根木条，使得变成2个三角形.,（2）至少再需要2根木条，使得变成3个三角形.,（3）至少再需要3根木条，使得变成4个三角形.,D,拓展与延伸,（4）至少再需要（n-3）根木条，使得变成（n-2）个三角形.,根据四边形木架、五边形木架和六边形木架的规律，n边形木架至少再需要（n-3）根木条，使得变成（n-2）个三角形.,第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1三角形的内角
23、课时一 三角形的内角,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.学习和掌握三角形的内角和定理.（重点）2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程.（重点）3.在解决实际问题时能熟练运用三角形的内角和定理.,学习目标,新课导入,小学的时候我们通过测量或者剪拼已经验证过三角形的内角和等于180，现在怎么通过推理去验证这个结论呢？请大家在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，得到一个平角.在这个操作中，你能发现证明的思路吗？,新课讲解,知识点1 三角形内角和定理,如图，B，C分别拼凑在A的左右两侧，三个
24、角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l.想一想，直线l与ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180”的方法吗？,从位置关系和角度的大小关系可以看出，直线l与边BC是平行关系.,新课讲解,知识点1 三角形内角和定理,如图，已知ABC，求证A+B+C=180.,A,B,C,2,3,l,证明：过点A作直线l，使得l/BC.l/BC，2=B，3=C（两直线平行，内错角相等）.1、2、3构成平角，1+2+3=180（平角的定义）.则BAC+B+C=180（等量代换）.,你能想出来其他的证明方法吗？,新课讲解,知识点1 三角形内角和定理,如图，已知ABC，求证A+B+
25、C=180.,A,B,C,l,证明：过点C作直线l，使得l/AB，延长BC.l/AB，2=A（两直线平行，内错角相等），3=B（两直线平行，同位角相等）.1、2、3构成平角，1+2+3=180（平角的定义）.则ACB+A+B=180（等量代换）.,1,2,3,新课讲解,1 如图，在ABC中，BAC=40，B=75，AD是ABC的角平分线.求ADB的度数.,解：BAC=40，AD是ABC的角平分线，BAD=20.在ADB中，B=75，ADB=180-BAD-B=85（三角形内角和定理）.,新课讲解,2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50方向，B岛在A岛的北偏东80方向，C岛在B
26、岛的北偏西40方向.从B岛看A、C两岛的视角ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角ACB是多少度?,分析：A、B、C三岛的连线构成ABC，所求的ACB是ABC的一个内角，如果能求出CAB，ABC，就能求出ACB.,新课讲解,解：CAB=BAD-CAD=80-50=30，由AD/BE得，BAD+ABE=180，所以ABE=180-BAD=180-80=100，ABC=ABE-EBC=100-40=60.在ABC中，ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90.答：从B岛看A，C两岛的视角ABC是60度，从C岛看A，B两岛的视角ACB是90度.,新课讲解,如图，从A处观测C处的仰角C
27、AD=30，从B处观测C处的仰角CBD=45，从C处观测A，B两处的视角ACB是多少度？,1,解：CAD=30，ADC=90，ACD=60.CBD=45，ADC=90，BCD=45.ACB=ACD-BCD=15.,课堂小结,三角形的内角,三角形的内角和为180,三角形内角和定理,当堂小练,1.如图，说出各图中1 的度数,50,45,68,分析：三角形内角和为180，所以所求度数为180减去另外两个内角之和,当堂小练,2.如图，从A 处观测C 处的仰角CAD=30，从B 处观测C 处的仰角CBD=45从C 处观测A，B 两处的视角ACB 是多少？,解：在RtACD中，ACD=90-CAD=60，
28、在RtBCD中，BCD=90-CBD=45.ACB=ACD BCD=60 45=15.,D,拓展与延伸,1.如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DE/BC交AC于点E，若A=54，B=48，则CDE的大小是（）A.44 B.40 C.39 D.38,分析：利用三角形内角和定理，可以求出ABC的 第三个内角的度数.利用角平分线的性质和平行线的性质，可以 转化出相等的角.,D,拓展与延伸,1.如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DE/BC交AC于点E，若A=54，B=48，则CDE的大小是（）A.44 B.40 C.39 D.38,C,分析：A=54，B=48，
29、ACB=180-54-48=78.CD平分ACB，DCB=39.DE/BC，CDE=DCB=39.,D,拓展与延伸,2.如图，在ABC中，D是BC边上一点，1=2，3=4，BAC=63，求DAC的度数.,分析：利用三角形内角和定理，将已知的角度与未知角 之间联系起来.利用等量代换将相等的角进行替换.,D,拓展与延伸,2.如图，在ABC中，D是BC边上一点，1=2，3=4，BAC=63，求DAC的度数.,解：3+ADB=180，1+2+ADB=180，3=1+2.3=4，1=2，4=1+2=21.1+2+4+DAC=180，DAC=180-1-2-4=180-41.BAC=1+DAC=1+（18
30、0-41）=180-31=63，1=39，则DAC=24.,第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1三角形的内角 课时二 直角三角形的性质与判定,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.了解直角三角形两个锐角的关系.2.掌握直角三角形的判定.（重点）3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.（难点）,学习目标,新课讲解,知识点1 直角三角形的性质与判定,在直角三角形ABC中，C=90，两个锐角有什么关系？,解：A+B=90.在直角三角形ABC中，C=90，A+B+C=180，则A+B
31、=180-C.A+B=90.,新课讲解,直角三角形的性质,直角三角形的两个锐角互余.,几何语言：在ABC中，如果C=90，那么A+B=90.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt”表示，即直角三角形ABC可以写成RtABC.注意：Rt后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.,新课讲解,直角三角形的判定,有两个角互余的三角形是直角三角形.,几何语言：在ABC中，如果A+B=90，那么ABC是直角三角形.注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.,新课讲解,1 如图，C=D=90，AD，B
32、C相交于点E，CAE与DBE有什么关系？为什么？,解：在RtACE中，CAE=90-AEC，在RtBDE中，DBE=90-BED.AEC=BED，CAE=DBE.,新课讲解,2 如图，ACB=90，CDAB，垂足为D，ACD与B有什么关系？为什么？,解：ACD与B大小相等.在BCD中，CDAB，则CDB=90，B+BCD=90.ACB=90，ACD+BCD=90，则ACD=B.,新课讲解,如图，C=90，1=2，ADE是直角三角形吗？为什么？,1,解：ADE是直角三角形.在ABC中，C=90，A+2=90.1=2，A+1=90，则ADE是直角三角形.,新课讲解,如图，在ABC中，AD是BC边上
33、的高，点E是AB边上的一点，CE交AD于点M，且DCM=MAE.求证：ACE是直角三角形.,2,证明：AD是BC边上的高，DMC+DCM=90.DMC=AME，DCM=MAE，AME+MAE=90.ACE是直角三角形.,课堂小结,直角三角形的性质与判定,直角三角形的性质,直角三角形的两个锐角互余,直角三角形的判定,有两个角互余的三角形是直角三角形,当堂小练,6.如图，CEAD，垂足为E，A=C，求证：ABD是直角三角形.,证明：CEAD，CED=90，C+D=90，A=C，A+D=90，ABD是直角三角形.,拓展与延伸,第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.2三角形的外角,目
34、 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.了解三角形外角的概念.2.理解三角形外角性质及三角形外角和的探究.（重点）3.熟练掌握并运用三角形外角性质解决实际问题.（难点）,学习目标,新课导入,邻补角的概念：1和2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（1和2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角.邻补角的性质：1+2=180.,如果延长ABC的边AB至点D，那么该延长线BD与相邻的边BC形成的角CBD具有什么样的性质呢？,新课讲解,知识点1 三角形的外角,问题1：三角形的外角和相邻的内角之间的大小关系
35、？问题2：三角形的外角具备什么特征？问题3：三角形共有几个外角？每个顶点处有几个外角？,三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图，CBD就叫做ABC的外角.,新课讲解,答案1：三角形的外角和相邻的内角之和为180.答案2：三角形的外角具备3个特征：顶点在三角形的一个顶点上；一条边是三角形的一条边；另外一条边是三角形某条边的延长线.答案3：三角形共有6个外角.每个顶点处有2个外角.,新课讲解,知识点2 三角形外角的性质,如图：在ABC中，CAD，CBE，BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问CAD与2，3之间的大小关系？,解：CAD是ABC的外角，CAD+1=180，
36、则1=180-CAD.1，2，3是ABC的三个内角，1+2+3=180，则1=180-（2+3）.CAD=2+3.,分别说明CBE与1、3之间；BCF与1、2之间具有同样的大小关系吗？,新课讲解,知识点2 三角形外角的性质,如图：在ABC中，CAD，CBE，BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问CBE与1，3之间的大小关系？,解：CBE是ABC的外角，CBE+2=180，则2=180-CBE.1，2，3是ABC的三个内角，1+2+3=180，则2=180-（1+3）.CBE=1+3.,新课讲解,知识点2 三角形外角的性质,如图：在ABC中，CAD，CBE，BCF分别是点A，点B，点C处
37、的一个外角，请问BCF与1，2之间的大小关系？,解：BCF是ABC的外角，BCF+3=180，则3=180-BCF.1，2，3是ABC的三个内角，1+2+3=180，则3=180-（1+2）.BCF=1+2.,新课讲解,三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.数学语言表示：CAD=2+3 BCF=1+2 CBE=1+3.,知识点2 三角形外角的性质,新课讲解,知识点3 三角形外角和定理,如图：在ABC中，CAD，CBE，BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问CAD，CBE，BCF之间的大小关系？,解：CAD，CBE，BCF是ABC的外角，CAD=2+3，CBE
38、=1+3，BCF=1+2.CAD+CBE+BCF=（2+3）+（1+3）+（1+2）=2（1+2+3）.1+2+3=180，CAD+CBE+BCF=360.,有其他解法吗,新课讲解,如图：在ABC中，CAD，CBE，BCF分别是点A，点B，点C处的一个外角，请问CAD，CBE，BCF之间的大小关系？,解：CAD，CBE，BCF是ABC的外角，CAD+1=180，则CAD=180-1，CBE+2=180，则CBE=180-2，BCF+3=180，则BCF=180-3.1，2，3是ABC的三个内角，1+2+3=180.CAD+CBE+BCF=（180-1）+（180-2）+（180-3）=540-
39、（1+2+3）=360.,新课讲解,推论：三角形的三个外角和等于360.数学语言表示：CAD+CBE+BCF=360.,知识点3 三角形外角和定理,三角形的每一个顶点处各有两个外角，三角形的外角和不是指六个外角的总和，而是说在三角形的每一个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角和叫做三角形的外角和.,新课讲解,试说出下列图形中1和2的度数.,1,解：（1）1=180-80-60=40，2=80+60=140.（2）1=180-30-40=110，2=30+40=70.（3）1=90-40=50，2=50+90=140.,新课讲解,判断下列观点是否正确.（1）三角形的外角都是钝角.（）（2）三角
40、形的外角大于任何一个内角.（）（3）三角形的外角等于它的两个内角的和.（）（4）三角形的外角和等于360.（）,2,分析：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角.（2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角.（3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.,课堂小结,三角形的内角,角的一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形的另一边的延长线,定义,性质,三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和,三角形的外角和,三角形的外角和等于360,当堂小练,1.如图，ADBC，1=2，C=65，求BAC的度数.,解：ADBC，ADC=ADB=90.ADC是ABD的外角，ADC=1+2=90.1=2，1=2
41、=45.ADB是ACD的外角，ADB=DAC+C=90.C=65，DAC=90-C=25.则BAC=1+DAC=70.,当堂小练,如图，ACD是ABC的外角，CE平分ACD，若A=60，B=40，则ECD等于（）A.40 B.45 C.50 D.55,分析：A=60，B=40，ACD=A+B=100.CE平分ACD，ECD=50.,C,当堂小练,小明把一副含有45、30的直角三角板如图摆放，若C=F=90，A=45，D=30，则+等于（）A.180 B.210 C.360 D.270,分析：、是三角形的外角，=1+D，=2+F.1=3，2=4，+=1+D+2+F=3+4+D+F=210.,B,
42、D,拓展与延伸,1.如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，过点D作DE/BC交AC于点E，若A=54，B=48，则CDE的大小是（）A.44 B.40 C.39 D.38,分析：利用三角形内角和定理，可以求出ABC的 第三个内角的度数.利用角平分线的性质和平行线的性质，可以 转化出相等的角.,D,拓展与延伸,已知五角星如图所示，求A+B+C+D+E的度数.,分析：利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，将A、B、C、D、E转化在同一个三 角形中.仔细观察五角星，并在五角星中构建BGD和CFE.,D,拓展与延伸,如图，CE是ABC的外角ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证BA
43、C=B+2E.,分析：利用角平分线的性质可以得出2倍的数量关系的角.利用三角形外角性质，将外角转化为两个不相邻内角的和.将2倍数量关系的角和外角进行等量转化，即可得出题目所 要证明的结果.,D,拓展与延伸,如图，CE是ABC的外角ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，求证BAC=B+2E.,证明：ECD是EBC的外角，ECD=B+E.BAC是ACE的外角，BAC=E+ACE.CE是ACD的角平分线，ACE=ECD=B+E.BAC=E+ACE=E+B+E=B+2E.,第十一章 三角形 11.3 多边形及其内角和 11.3.1多边形,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入,3
44、新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.了解并掌握多边形的定义及有关概念，能区分凸凹多边形.2.理解正多边形及其有关概念.（重点）3.掌握对角线条数与多边形的边数之间的关系.（难点）,学习目标,新课导入,在实际生活中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形，观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？,新课讲解,知识点1 多边形,问题1：什么是三角形？,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.,问题2：类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？,在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.,新课讲解,知识点1 多边形,多边形的定
45、义中为什么要强调“在平面内”？,三角形的三个顶点在同一个平面内，但是四个点、五个点、甚至更多的点就有可能不在同一个平面内了.这里所指的多边形是在所有顶点都在同一个平面内的前提下.,新课讲解,知识点1 多边形,表示方法：多边形用图形名称以及它的各个顶点的大写字母表示，字母按照顶点的顺序书写，可以顺时针也可以逆时针.,例如：五边形ABCDE.,新课讲解,知识点2 多边形的相关概念,类比三角形的概念，说明什么是多边形顶点、边、内角、外角？,如图：顶点：A，B，C，D，E；边：AB，BC，CD，DE，EA；内角：A，B，C，D，AED（多边形相邻两边组成的角叫做内角）；外角：DEF（多边形的边与它的邻
46、边的延长线组成的角）.,F,新课讲解,三角形有3个顶点，3条边，3个内角、6个外角；四边形有4个顶点，4条边，4个内角、8个外角；那么n边形有多少个顶点？多少条边？多少个内角？多少个外角？,知识点2 多边形的相关概念,1、多边形按照边数可以分为：三角形、四边形、五边形等，其中三角形是最简单的多边形.2、n边形有n个顶点、n条边、n个内角、2n个外角.,新课讲解,知识点2 多边形的相关概念,三角形：一个顶点引出对角线0条，分成1个三角形；四边形：一个顶点引出对角线1条，分成2个三角形；五边形：一个顶点引出对角线2条，分成3个三角形；六边形：一个顶点引出对角线3条，分成4个三角形.,新课讲解,知识
47、点2 多边形的相关概念,新课讲解,知识点3 凸多边形,画出CD所在的直线，发现中的图形在这条直线的同一侧，而中的图形不在这条直线的同一侧.,定义：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.反之，称为凹多边形，本节只讨论凸多边形.,新课讲解,知识点3 凸多边形,定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.,新课讲解,若一个多边形是正多边形，则必须同时满足各边、各角都相等.,都不是。第一个不满足四个角相等，是菱形；第二个不满足四边相等，是矩形.,新课讲解,1,新课讲解,下列多边形中不是凸多边形的是（）,2,B,课堂小结,多边形,前提条
48、件：同一个平面内,定义,对角线,将多边形转化为三角形和四边形解决问题的重要线段,正多边形,定义既是判定也是性质,当堂小练,1.九边形从一个顶点可以引出（）条对角线，分割出（）个三角形，共有对角线（）条.,分析：从一个顶点可以引出对角线条数为9-3=6.分割出的三角形个数为9-2=7.共有对角线条数为.,6,7,27,当堂小练,2.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则分割出的三角形的个数是（）.,分析：若该多边形有n条边，则从一个顶点出发可以引出的对角线 条数为n-3.最多可以从一个顶点出发引出10条对角线，则 多边形的边数为10+3=13.分割的三角形的个数为13-2=11
49、.,11,当堂小练,3.下列属于正多边形的是（）A.长方形B.等边三角形 C.梯形 D.圆,4.某学校七年级六个班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.一共需要多少场比赛？,B,解：一共需要15场比赛.如图：,D,拓展与延伸,如图所示，剪去一个角后，六边形的边数减少一条，此时新的多边形的边数为5.,如图所示，剪去一个角后，六边形的边数没有变化，此时新的多边形的边数为6.,如图所示，剪去一个角后，六边形的边数增加一条，此时新的多边形的边数为7.,第十一章 三角形 11.3 多边形及其内角和 11.3.2多边形的内角和,目 录,CONTENTS,1 学习目标,2 新课导入
50、,3 新课讲解,4 课堂小结,5 当堂小练,6 拓展与延伸,7 布置作业,1.了解并掌握多边形内角和与外角和公式.2.理解多边形内角和与外角和公式的推导过程（重点）3.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.（难点）,学习目标,新课讲解,知识点1 多边形的内角和,问题1：你能说出三角形的内角和是多少度吗？,三角形的内角和是180,问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？,长方形和正方形的内角和都是360,问题3：你能猜测任意一个四边形的内角和是多少度吗？,任意一个四边形的内角和是360,新课讲解,请大家任意画一个四边形，用量角器量出四个内角的大小，并计算出四个内角的和是多少？,
