八年级数学上册勾股定理(ppt课件).pptx

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1、,八年级数学上册,第十七章 特殊三角形,2019,勾股定理,第一课时 认识勾股定理,1,课堂讲解,勾股定理勾股定理与图形的面积,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,如图是2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)的会标.它的设计思路可追溯到3世纪中国数学家赵爽所使用的弦图.用弦图证明勾股定理在数学史上有着重要的地位.,1,知识点,勾股定理,1.如图(1)，每个小方格都是边长为1的小正方形，在所 围成的ABC中，ACB=90.图中以AC，BC，AB 为边的正方形的面积分别是多少？这三个正方形的面 积之间具有怎样的关系？,2.图(2)是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的

2、 地面示意图，ACB=90.分别以AC，BC，AB为 边的三个正方形(红色框标出)的面积之间有怎样的 关系？3.如图(3)，在ABC中，ACB=90，请你猜想：分别以AC，BC，AB为边的三个正方形的面积之间 也具有图(1)和图(2)中三个正方形的面积之间所具有 的关系吗？如果具有这种关系，请用图(3)中RtABC的边把这 种关系表示出来.,归 纳,通过探究可知：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.,图是用四个全等的直角三角形拼成的，其中，四边形ABDE和四边形CFGH都是正方形.请你根据此图，利用它们之间的面积关系推导出：a2+b2=c2.如图，我国古代把直角三角形较短的直角边

3、叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”.因此，直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.,归 纳,如果直角三角形两直角边分别为a，b斜边为c，那么a2+b2=c2.勾股定理也可叙述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,分析：本题考查了等腰三角形三线合一的性 质，即等腰三角形底边上的中线，底 边上的高重合，利用三线合一的性质求得线段的长 度后，再利用勾股定理求出AD边的长度.解：根据等腰三角形的三线合一，AD是底边上的高，可得 ADBD.即BD=BC=6=3(cm).在RtABD中，由勾股定理，得AB2=BD2+AD2，所以AD=4 cm.,如图所示，等腰三角形ABC中，AB=

4、AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6 cm，则AD=cm,例1,4,总 结,在直角三角形中应用勾股定理求边长时，要分清斜边和直角边，避免盲目代入勾股定理的公式.,1 下列说法中正确的是()A已知a，b，c是三角形的三边，则a2b2c2 B在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C在RtABC中，C90，则a2b2c2 D在RtABC中，B90，则a2b2c2若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜 边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的 是()Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2,C,C,在RtABC中，C=90，AC=9，BC=1

5、2，则 点C到AB的距离是()A.B.C.D.,A,2,知识点,勾股定理与图形的面积,例2 如图所示，在ABC中，ACB=90，以ABC的各 边为边在ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示 这三个正方形的面积，S1=81，S3=225，则S2=_,分析：要求S2的面积，需要知道正方形的边长或 边长的平方，利用勾股定理可以解答.解：由勾股定理，得AC2+BC2=AB2.又S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，S1+S2=S3.即S2=S3S1=22581=144.故填144.点拨：本题将勾股定理与正方形面积公式结合起来，通过勾 股定理解决正方形面积的问题，充分体现了它们之间 存在的联

6、系,144,正方形和直角三角形相结合可以求出图形的面积.,总 结,如图所示，分别以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8试求S3.,解析：把正方形的面积用边长的平方表示，然后利用 勾股定理求解解：在RtABC中，由勾股定理得BC2+AC2=AB2 所以S3=AB2=BC2+AC2=S1+S2=12,如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为()A3 B4 C5 D7,D,如图，已知ABC为直角三角形，分别以直角 边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1

7、，ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为()AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定,C,运用勾股定理时应注意以下几点：(1)遇到求线段长度的问题时，能想到利用勾股定理.(2)必须把要求的线段归结到直角三角形中去(没有直角 三角形，可以通过作辅助线构造直角三角形)，切记 乱用勾股定理.(3)分清组成直角三角形的线段中哪条是直角边，哪条 是斜边.,勾股定理适用的前提条件是直角三角形：由公式a2+b2=c2可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求第三条边长.在应用公式计算时要会灵活变形，常常要与乘法公式结合适用；如c2=a2+b2=(a+b)22ab或c2=a2+b2=(ab)2+

8、2ab；a2=c2b2=(c+b)(cb)等.,1.必做:完成教材P152练习T1-T2，P152-P153习题A组T1-T3，B组T1-T2 2.补充:请完成典中点剩余部分习题,第2课时 勾股定理的应用,1,课堂讲解,勾股定理的实际应用勾股定理的几何应用勾股定理求最小值应用,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,小鹿，你在忙嘛呢，不下来做游戏？,我不知道，我们去找古埃及人，问一问吧,我在想，我们在的这个三角形有什么特点呢！,1,知识点,勾股定理的实际应用,1.勾股定理的数学表达式：在RtABC中，C90，ABc，ACb，BC a，则a2b2c2.要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个

9、直角三角形；(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数 量关系，已知其中任意两边可以求出第三边；(3)勾股定理的变形公式：a2c2b2，b2c2a2；(4)运用勾股定理时，要分清斜边、直角边,2.基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合 起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范易错警示：运用勾股定理时，一定要分清哪条边是斜 边.在不清楚哪条边是斜边时，要分类讨论，写出所 有可能，以免漏解或错解,解：在ABC中，ACB=90，AC2+BC2=AB2(勾股定理).AB=200 m，BC=160 m，答：点A和点C间的距离是120 m.,如图

10、，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B设立了一根标杆，使ACB=90.测得 AB=200 m，BC=160 m.根据测量结果，求点A和点C间的距离.,例1,总 结,解决这类实际问题的关键是根据题意，画出图形，建立数学模型，用数学知识解答，把复杂问题简单化、明朗化.,【中考哈尔滨】如图，一艘轮船位于灯塔P的北 偏东60方向，与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30方向上的B处，则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为()A60 海里 B45 海里 C20 海里 D30 海里,D,2【中考安顺】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4

11、米，两树相距8米，一只小鸟从一 棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少 飞行()A8米 B10米 C12米 D14米,B,如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1.5 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2 m，则树高为 m.,4,2,知识点,勾股定理的几何应用,例2 如图，在长为50 mm，宽为40 mm的长方形零件 上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所 示.求孔中心A和B间的距离.,解：ABC是直角三角形，AB2=AC2+BC2.AC=501526=9(mm)，BC=401810=12(mm)，答：孔中心A和B间的距离是15 mm.,利用勾股定理求未知边长时，关键

12、要找准斜边,找斜边，就是找直角，直角所对的边就是斜边,总 结,如图，在ABC中，AB=AC=12，BC=16.求ABC的面积.,解：过点A作ADBC，交BC 于点D.AB=AC，AD是ABC底边BC上的中线，BD=CD=BC=16=8.在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2 BD2=12282，AD=4.SABC=BCAD=164=32.,【中考黔东南】2002年8月在北京召开的国际数 学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b

13、，那么(ab)2的值为()A13 B19 C25 D169,C,【中考杭州】已知直角三角形纸片的两条直角 边长分别为m和n(mn)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形若这两个三角形都是等腰三角形，则()Am22mnn20 Bm22mnn20 Cm22mnn20 Dm22mnn20,C,3,知识点,勾股定理的几何应用,例3 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从 A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周 长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的 是()A.13 cm B.4 cm C.4 cm D.52 cm,D,分析：要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根 据“两点之间线段最短”

14、得出结果，在求线段 长时，借助于勾股定理.解：有图可知，彩带从易拉罐底端的 A处绕易拉罐 4 圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈 长方形，则螺旋线长为四个长方 形并排后的长方形的对角线长，易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，x2=(124)2+202，所以彩带最短是52 cm.,本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开呈矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.,总 结,【中考东营】如图，一只蚂蚁沿着棱长为2 的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长

15、为_,如图所示，一圆柱高8 cm，底面半径为2 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(取3)是()A.20 cm B.10 cm C.14 cm D.无法确定,B,用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积的相等关系，再由面积之间的相等关系并结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理.它一般都经过以下几个步骤：拼出图形写出图形面积的表达式找出相等关系恒等变形导出勾股定理.,应用勾股定理解题的方法：(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构造直角三角形，应用勾股定理求解；(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线 段的长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知

16、数，构建方程，解答计算问题；(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通 过勾股定理解决实际问题,1.必做:完成教材P154练习T1，P154-P155习题A组T1-T3，B组T1-T2 2.补充:请完成典中点剩余部分习题,第3课时 勾股定理的逆定理,1,课堂讲解,由边的数量关系判定直角三角形勾股数,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,通过前边的学习我们知道直角三角形的三边有特殊的数量关系，那么我们如何识别一个三角形是不是直角三角形呢？今天，我们学习一种新的方法！,1,知识点,由边的数量关系判定直角三角形,如果ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么C是直角吗？在ABC

17、中，由边的关系a2+b2=c2，推导出C是直角较难做到.若作一个与ABC全等的直角三角形，则可借助于全等的性质来说明C是直角.已知：如图，在ABC 中，AB=c，BC=a，CA=b，且 a2+b2=c2.求证：C=90.,证明：如图(2).作ABC，C=90，BC=a，CA=b.由勾股定理，可得 AB2=a2+b2.a2+b2=c2,AB2=c2，即AB=c.在ABC和 ABC中，BC=BC=a，AC=AC=b，AB=AB=c，ABCABC(SSS).C=C=90(全等三角形的对应角相等).,归 纳,如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.,图是一个机器零件

18、示意图，ACD=90是这种零件合格的一项指标.现测得 AB=4 cm，BC=3 cm，CD=12 cm，AD=13 cm，ABC=90.根据这些条件，能否知道ACD=90?,例1,解：,在ABC中，ABC=90，AC2=AB2+BC2(勾股定理).AB=4，BC=3，AC2=32+42=52.AC=5.在ACD中，AC=5，CD=12，AD=13，AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169.AC2+CD2=AD2.ACD=90(勾股定理的逆定理).所以，根据这些条件，能知道ACD=90.,总 结,利用勾股定理的逆定理构建直角三角形解决问题的方法：先通过勾股定理的逆定理证明一个

19、三角形是直角三角形，然后利用直角得到另一个直角三角形，在另一个直角三角形中运用勾股定理求边长，这是勾股定理及其逆定理常用的综合解题思路，这种方法常用在具有公共直角或者两直角互为邻补角的两个直角三角形中,解：AD是ABC的中线，BD BC8.在ABD中，AB17，BD8，AD15，AB2172289，BD2AD28215264225 289，BD2AD2AB2，ABD为直角三角形，且ADB90，ADC是直角三角形在RtADC中，AC 17，ABAC.,如图，在ABC中，AB17，BC16，BC边上 的中线AD等于15，试说明ABAC.,【中考淮安】下列四组线段中，能组成直角三角形的是()Aa1，

20、b2，c3 Ba2，b3，c4 Ca2，b4，c5 Da3，b4，c5已知ABC的三边长分别为5，12，13，则ABC 的面积为()A30 B60 C78 D无法确定,D,A,2,知识点,勾股数,1.勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整 数常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.要点精析：(1)勾股数有无数组；(2)一组勾股数中各数的相同倍数构成一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是 勾股数；即如果a，b，c是一组勾股数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数,2.判断勾股数的方法：(1)

21、确定是否是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方 易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方,例2 下面四组数中是勾股数的一组是()A6，7，8 B5，8，13 C1.5，2，2.5 D21，28，35,导引：根据勾股数的定义：满足a2b2c2的三个正整 数a，b，c称为勾股数A.627282，不能构 成勾股数，故错误；B.5282132，不能构成勾 股数，故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能 构成勾股数，故错误；D.212282352，能构 成勾股数，故正确故选D.,D,确定勾股数的

22、方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方记住一些常见的勾股数可以提高解题速度常见的勾股数有3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；.,总 结,1 若直角三角形的三边长为三个连续的偶数，则它的三边长分别是()A3，4，5 B6，8，10 C3，4，6 D4，6，8,B,2 下列各组数中，不是勾股数的是()A5，12，13 B7，24，25 C8，12，15 D3k，4k，5k(k为正整数)3 下面几组数中，为勾股数的一组是()A4，5，6 B12，16，20 C10，24，26 D2.4，4.5，5.1,C,B,勾股定理及其逆定理的应用：(1)单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形 后，再求这个直角三角形的角度和面积；(2)综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由 勾股定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其 他问题；(3)逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和 不等于最大边长的平方，那么这个三角形就不是直 角三角形,1.必做:完成教材P157练习T1-T2，P157-P158习题A组T1-T2，B组T1-T2 2.补充:请完成典中点剩余部分习题,八年级数学上册,2019,谢谢观赏,