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1、第一章 函数、极限与连续,分析基础,函数,极限,连续,研究对象,研究方法,研究桥梁,1,函数与极限,第一章 函数与极限1.1 函数及其图像1.2 函数极限1.3 无穷小量与无穷大量1.4 数列的极限1.5 两个重要极限1.6无穷小的比较1.7 连续函数及其性质,2,函数与极限,1.1 函数及其图像,一、集合二、常量、变量、函数三、函数的初等性质四、函数的初等运算五、基本初等函数与初等函数六、函数关系的建立重点：函数的概念、初等函数难点：复合函数,3,函数与极限,1.1.1 基础知识回顾,1.集合:,具有某种特定性质的对象（事物）的总体.,组成这个集合的对象称为该集合的元素.,有限集（列举表示）
2、,无限集（命题式表示）,集合：A，B，C表示；元素：a，b，c表示,4,函数与极限,2.实数与数轴,实数系的连续性：实数的集合与数轴上的点的 集合一一对应,5,函数与极限,例如,不含任何元素的集合称为空集,例如,规定 空集为任何集合的子集.,A是 B 的子集,或称 B 包含 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如,记作,记作,定义2.,若,设有集合A，B，,必有,3.集合之间的关系,则称,6,函数与极限,定义 3.给定两个集合 A,B,定义下列运算:,并集,交集,且,差集,且,余集,直积,为平面上的全体点集,或,7,函数与极限,4.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间
3、的端点.,称为开区间,记作（a,b）,称为闭区间,记作 a,b,8,函数与极限,称为半开区间,记作a,b),称为半开区间,记作(a,b,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,9,函数与极限,5.邻域:,点 a的去心的,邻域，记作,设a和,数集,称为点 a的,邻域.,是两个实数，且,点 a叫做这邻域的中心，,叫做这邻域的半径.,10,函数与极限,几个逻辑符号,表示对“任意一个”、“对每一个”,表示“存在一个”、“至少有一个”,表示“蕴含”，“可推出”,表示“当且仅当”、“充分必要”、“等价”,11,函数与极限,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“
4、”,表示“对每一个”,或“任取”,或“任意给定”;,“”,表示“存在”,或“至少存在一个”,或“能够找到”.,如实数的阿基米德(Archimedes)公理:,任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个,自然数n,用逻辑符号,将阿基米德公理改写:,练习,12,函数与极限,6.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,13,函数与极限,1.1.2 函数,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母 a,b,c 等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母 x,y,t 等表示变量.,常量 变量,14,函数与极限,因变量,自变量,数集D叫做这
5、个函数的定义域,函数,定义：,设,是一个非空集合，f 是一个确定的法则，,如果,通过法则 f，存在唯一的,则称由 f 确定了一个定义于D上，取值于R的函数，记作,与x相对应，,当,时，称,为函数在点,处的函数值.,函数值全体组成的数集,称为函数的值域.,15,函数与极限,函数的两要素:,定义域与对应法则.,16,函数与极限,约定:如无特别指出，定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值（自然定义域）.,定义:,17,函数与极限,说明：,18,函数与极限,表格法.,函数的解析式有两类：,一类仅只有,另一类是由一个以上的解析式表示的函数,在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称,这种
6、函数,的关系是：,而不是几个函数。,19,函数与极限,函数的定义域,1.函数中有分式,要求分母不能为零2.函数中根式,要求负数不能开偶次方3.函数中有对数式,要求真数必须大于零4.函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域 的交集,20,函数与极限,例1 求下列函数的定义域,21,函数与极限,练,解,22,函数与极限,(2)符号函数,几个特殊的函数举例,(1)绝对值函数,23,函数与极限,阶梯曲线,(4)狄利克雷函数,24,函数与极限,(5)取最值函数,y,x,o,25,函数与极限,26,函数与极限,例1 解下列各题,27,函数与极限,例2,
7、解:,故定义域是-3,-1.,因为 f(x)的定义域是0,2,所以对f(x+3)的有0 x+32,即-3x-1,故f(x+3)的定义域是-3,-1.,28,函数与极限,例3,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,29,函数与极限,30,函数与极限,例4.已知函数,解:,f(x)的定义域,值域,31,函数与极限,1.1.3 函数的几种特性,1函数的有界性(bounded):,32,函数与极限,有界的充分必要条件是既有上界又有下界。,x,y,o,33,函数与极限,例.,34,函数与极限,有界的几何意义如左下图.,无界:,35,函数
8、与极限,2函数的单调性(monotonicity):,36,函数与极限,37,函数与极限,2.应指明单调区间,否则会产生错误,例:,解.,0,0?0?,38,函数与极限,容易看出:,不难验证:,39,函数与极限,3函数的奇偶性:,40,函数与极限,41,函数与极限,上是奇函数,图2.1,图2.2,图2.3,42,函数与极限,4函数的周期性(periodicity):,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,43,函数与极限,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(当x是有理函数时),(当x是无理函数时),这是一个周期函数,任何正有理数r都是它,的周期.,因为不存在最小的正有理数,所以没有
9、,最小正周期.,44,函数与极限,1.1.4 函数的初等运算,1.函数的四则运算,45,函数与极限,46,函数与极限,2.反函数(inverse function)运算,47,函数与极限,48,函数与极限,习惯上,的反函数记成,49,函数与极限,2.函数与反函数的图形关于直线 对称.,即,即,3.反函数与函数的关系,50,函数与极限,51,函数与极限,3 复合函数,手电筒,D,复合函数,52,函数与极限,复合函数也可以看作是产品的二次加工（多次加工）,53,函数与极限,54,函数与极限,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；,3
10、.复合运算不满足交换性,55,函数与极限,例2,解,56,函数与极限,综上所述,57,函数与极限,1)幂函数(power function),1.1.5 基本初等函数与初等函数,基本初等函数（6类）：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。,58,函数与极限,2)指数函数(exponential function),定义域为,值域为,59,函数与极限,3)对数函数(logarithm function),定义域为,值域为,60,函数与极限,4)三角函数(trigonometric function),正弦函数,定义域为,值域为,61,函数与极限,余弦函数,定义域为,值域为,
11、62,函数与极限,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,63,函数与极限,5)反三角函数(inverse trigonometric function),定义域,值域,主值,反正弦函数,64,函数与极限,定义域,值域,主值,反余弦函数,65,函数与极限,主值,定义域,值域,反正切函数,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,66,函数与极限,(2)初等函数(elementary function)及其分解,初等函数.,如,都是初等函数.,不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(加、减、乘、除)和有限次的函
12、数复合步骤所构,成并可用一个式子表示的函数,称为,67,函数与极限,又如,等都是初等函数。,是初等函数。,68,函数与极限,双曲函数与反双曲函数:,奇函数.,偶函数.,1、双曲函数,69,函数与极限,70,函数与极限,双曲函数常用公式,71,函数与极限,72,函数与极限,奇函数,73,函数与极限,74,函数与极限,1.1.6 函数关系的建立,例1 函数的列表表示：某公司一年中月销售个统计,例2 函数的图像表示：某气象观察点24小时气温观察资料图,75,函数与极限,例3 函数关系的解析式表示：某人从美国到加拿大去旅游，他把美元换成加拿大元时币面数值增加了12%，回国时又把加拿大元换成美元，币面数值减少12%，把两次兑换后的币面数值用函数表示出来。这样两种兑换方式产生的函数是否互为反函数？,76,函数与极限,1.函数的初等运算四则运算、复合运算、反函数运算。,小结,3.函数关系的建立,2.基本初等函数，初等函数,77,函数与极限,78,函数与极限,思考题,79,函数与极限,思考题解答,设,则,故,80,函数与极限,练 习 题,81,函数与极限,82,函数与极限,练习题答案,83,函数与极限,
