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1、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,(从微观上研究函数),导数与微分,英国数学家 Newton,第一节,导数的概念,一、引例,1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,2.曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率=割线MN的斜率的极限,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,为函数关于自变量的瞬时变化率的问题,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存
2、在,并称此极限为,记作:,则称函数,若,的某邻域内有定义,若上述极限不存在,在点 不可导.,若,也称,在,就说函数,的导数为无穷大.,在 时刻的瞬时速度,运动质点的位置函数,曲线,在 M 点处的切线斜率,1.设,存在,则,2.已知,则,解:,3.设,存在,且,求,所以,4.设,存在,求极限,解:原式,存在,在点,的某个右 邻域内,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,(左),(左),定义2.设函数,有定义,定理2.,存在,不存在,单侧导数,若极限,例如,在 x=0 处有,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就称函数在 I 内可导.,若函数,与
3、,则称,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,且,例1.求函数,(C 为常数)的导数.,解:,即,例2.求函数,的导数.,解:,即,说明：,对一般幂函数,(为常数),例如，,四、初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数(P94),四、导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直.,切线方程:,法线方程:,例7.问曲线,哪一点有垂直切线?哪一点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1),(1,1)处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点(0,0)有垂直切线,五、函数的可导性与连续
4、性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续.,注意:函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,即,判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义,可导必连续,但连续不一定可导;,在求,.设,其中,在,因,故,正确解法:,时,下列做法是否正确?,处连续,第二节函数的求导法则,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,且,此法则可推广到任意有限项的情形.,推论:,(C为常
5、数),(C为常数),例1.,解:,例2.求证,证:,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,例1.求反三角函数的导数.,解:设,则,则,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,例2.求下列导数:,解:(1),(2),(3),例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例3.设,求,解:,例4.设,解:,初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,例7.,求,解:,关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,例8.设,求,解:,.求下列函数的导数,解:(1),(2),或,思考:若,存在,如何求,的导数?,练习:1、设,解:,、,
