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1、24.1 圆的有关性质,第二十四章 圆,24.1.2 垂直于弦的直径,问题1：将圆形纸片对折，重复几次，你有什么发现？,直观认识,圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.,推理论证,问题2：你能证明圆是个轴对称图形吗？,O,A,D,C,A,A,E,若AE=AE,AACD则A与A关于直线CD成轴对称,C,D,O,A,A,D,E,C,连接OA，OA在OAA中，OA=OA OAA是等腰三角形。又 CDAA，AE=EA（三线合一）,推理论证,A是O上除C,D外的任意一点,过A点作直径CD的垂线,交O于A，垂足为E。AE与EA有什么数量关系？,即CD是AA的垂直平分线。A，A两点关于直线CD
2、对称,也就是说对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A，因此O关于直线CD对称。,O,A,A,D,E,C,圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.,问题3：根据圆的轴对称性，你能得到哪些相等的量?,圆的轴对称性,问题4：你能用文字语言归纳你的发现吗?,例1：如图，AB是O的一条弦，OCAB于E,连接OA。,C,若AB=6cm,OE=4cm,求OA的长度.,若O的半径为10cm,CE=4cm,求AB的长度.,练习1：如图，AB是O的一条弦，OCAB于E,C,解：OC=10cm,CE=4cm,AE=8cm，,在RtOEA中,OE=6cm。,OCAB于E，,AB=2AE=16
3、cm.,C,d：弦心距,d+h=r,h：弓形高,圆心到弦的距离,如图，弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：,从圆心向弦做垂线，垂线被弦和弧所截的线段长,归纳总结,变式1：如图，O的弦AB4cm，直径CDAB于M，CM5cm，求半径OC的长.,解：连接OA，,设OA=xcm，则OM=(5-x)cm,根据勾股定理，得,解得 x=2.9，,即半径OC的长为2.9cm.,x2=22+(5-x)2，,AM=BM=2cm，,CDAB于M，,C,d：弦心距,h-d=r,h：弓形高,如图，弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：,归纳总结,垂径定理的几个基本图形：,归纳总结,连接AO,AO
4、,则AO=AO,AO=AO，AE=AE,CDAA.,问题5：垂直于弦的直径平分弦，那么 平分弦的直径垂直于弦 这个命题成立吗？,已知：结论：,CD为直径，E是AA的中点,AACD,O,A,A,E,C,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.,特别说明：圆的两条直径是互相平分的.,垂径定理的推论,例2：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）。,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，
5、半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，连接OA，由垂径定理可得，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.,由题设可知AB=37m，CD=7.23m.,解得R27.3（m）.,即主桥拱半径约为27.3m.,=18.52+(R-7.23)2,AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.,在RtOAD中,O,A,B,练习2：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么数量关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE.AECEBEDE 即 ACBD.,注意：解决有关弦的问题，常过圆心作
6、弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法,证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.则AMBM，CMDM（垂直弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD,练习4：如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,添加辅助线连半径，作弦心距,构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.,基本图形及变式图形,课堂小结,圆的轴
7、对称性,O,A,A,E,C,D,问题6：今天这节课你学习了什么?,拓展提升：如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.,3cmOP5cm,在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,d+h=r,归纳总结,O,A,A,D,E,C,连接OA，OAAA关于直线CD对称 CD垂直平分AA OA=OA A 在O上,推理论证,CD是O的一条直径，A是O上除C,D外的任意一点，以CD为对称轴作A的对称点A，连接AA，交CD于E点。A在O上吗?,也就是说对于圆上任意一点A，它关于直线CD的对称点A也在O 上，因此O关于直线CD对称。,
