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1、斐波那契数列 一个兔子引发的故事,背景,假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内这群兔子没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子？,解 答,第一个月1对小兔子,解 答,第一个月1对小兔子,第二个月1对大兔子,解 答,第一个月1对小兔子,第二个月1对大兔子,第三个月1大1小共2对,解 答,第一个月1对小兔子,第二个月1对大兔子,第三个月1大1小共2对,第四个月2大1小共3对,解 答,第一个月1对小兔子,第二个月1对大兔子,第三个月1大1小共2对,第四个月2大1小共3对,第五个月3大2小共5对,解 答,第一个月1对小
2、兔子,第二个月1对大兔子,第三个月1大1小共2对,第四个月2大1小共3对,第五个月3大2小共5对,第六个月5大3小共8对,解 答,第一个月1对小兔子,第二个月1对大兔子,第三个月1大1小共2对,第四个月2大1小共3对,第五个月3大2小共5对,第六个月5大3小共8对,第七个月8大5小共13对,解 答,第一个月1对小兔子,第二个月1对大兔子,第三个月1大1小共2对,第四个月2大1小共3对,第五个月3大2小共5对,第六个月5大3小共8对,第七个月8大5小共13对,第八个月13大8小共21对,解 答,将结果以表格的形式给出：,因此，通过计算，第12个月的兔子数为144对,有趣的数列：1，1，2，3，5
3、，8，13，21，34，这就是斐波那契数列,斐波那契生平,斐波那契（Fibonacci,11751250）出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很有兴趣。后来，他的父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，又接触到东方国家,的数学。由于他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他确信印度阿拉伯计算方法在应用上的优越性。1202年，在回到家里不久，他发表了著名的算盘书。,斐波那契的才能受到了弗里德里希二世的重视，因此被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏
4、和市民讲授计算方法。他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了算盘书外，保存下来的还有实用几何等四部著作。,斐波那契生平,斐波那契数列,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,（1）递推关系,（2）通项公式,斐波那契数列的每一项都是自然数，可它的通项公式居然是用无理数来表示的！,斐波那契数列的奇妙属性,从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1.（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而不是指数列的数字本身的奇偶）,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,斐波那契数列的奇妙属性,从第三个数开始每隔两个数必
5、是2的倍数，从第四个数开始每隔三个数必是3的倍数，从第五个数开始每隔四个数必是5的倍数，,随着数列的项数的增加，前一项与后一项的之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887,这个可以由它的通项公式直接得到，极限值为,黄金分割点，是代表大自然的和谐的一个数字,1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，,自然界中的斐波那契数,斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是自然界的一个基本模式，它出现在许多场合。,下面举几个例子：,花瓣数中的斐波那契数,许多植物的花，其花瓣数恰是斐波那契数。例如，兰花、茉莉花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有
6、8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。,树杈的数目,树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。,向日葵花盘内葵花子排列的螺线数,向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，如图所示，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波
7、那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。,松果种子的排列,松果表面的凸起，它们的排列也是分别成8：13这样的比例，也是斐波那契数列中相邻两项的比。,这一有趣的现象在几个世纪前就已经引起了人们的关注，此后更被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才得出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的，相邻器官原基之间的夹角是黄金角137.50776度，这使种子的堆集效率达到最高。,音乐中的斐波那契,生活中的斐波那契,例：（走楼梯问题）一段为10级台阶的楼梯，现在规定每一步只能跨1级或者2级台阶，问要登上10级台阶有几种不同的走法？,解析：登上2级台阶有：第一步跨1级接下来只有一种走法，第一步跨2级只有一种走法，一共有2种走法；,登上3级台阶有：第一步跨1级接下来的2级台阶有2种走法，第一步跨2级接下来的1级台阶只有1种走法，一共有3种走法；,登上4级台阶有：第一步跨1级接下来的3级台阶有3种走法，第一步跨2级接下来的2级台阶有2种走法，一共有5种走法；,变式：如图所示，一只蜜蜂从0号蜂房开始爬，只能往比原来的房号大的蜂房爬，最后爬到9号蜂房，问有多少种不同的爬法？（2003年全国希望杯数学邀请赛）,
