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1、第一章 矢量分析1.4 矢量场的环量和旋度,1,主要内容,环量旋度斯托克斯定理,学习目的,掌握环量、旋度的物理意义了解环量、旋度的关系灵活运用斯托克斯定理求解矢量场,2,1.4.1 矢量场的环量（环流）,定义：矢量场A沿空间有向闭合曲线l的积分称为矢量场A的环量。,表达式：,由图(a)可见，环量取决于曲线l的绕行方向。,（2）若，表示该矢量场为无旋场或保守场；若，表示该矢量场为涡旋场。,物理意义：（1）环量用来描述产生该矢量场的旋涡源。,旋涡源位于闭合曲线l包围形成的曲面内。,M,3,1.4.2 矢量场的旋度,如图(b)过点P 作一微小曲面S，它的边界曲线记为l。,则此极限称为矢量场 A 在P
2、 点沿n方向的环量（面）密度或环量强度。该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关。,1.环量密度,若当S 收缩至P 点附近时存在极限,4,2.旋度,定义：矢量场A在某给定点的旋度用rotA表示为,旋度的物理意义：,矢量的旋度是描述矢量场A在各点处的旋涡源强度。,5,在直角坐标系下,表达式：,旋度与环量密度的关系为,计算环量面密度的方法,6,旋度和散度的区别：,（1）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。,（2）旋度描述场中各点的旋涡源强度；散度描述场中各点的通量源强度。,（3）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化 规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。,旋度的运算规则：,7
3、,1.4.3 斯托克斯定理,表达式：,式中S为闭合曲线l所包围的曲面。,物理含义：矢量A沿任意闭合曲线l的环量等于以l为边界的曲面S上旋度的面积分。,8,斯托克斯定理的证明：,对于有限大面积S，可将其按如图(c)方式进行分割，对每一小面积元有,9,【例1-11】求矢量（c是常量）沿曲线 的环量。,【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为 半径的圆，故线元,环量,10,方法二：,由斯托克斯定理得,11,【例】用以下两种方法求矢量场 在点 处沿方向 的环量面密度。直接应用环量面密度的计算公式；作为旋度在该方向的投影。【解】：,12,矢量 的方向余弦为 矢量场为 由环量面密度公式 将点 代入上式：,13,在点 处旋度为 方向的单位矢量 在点 处沿 方向的环量面密度为：,14,内容小结,主要概念：主要定理：斯托克斯定理,旋涡源,环量,旋度,若环量（旋度）等于零，该矢量场为无旋场或保守场,15,主要公式 环量 旋度环量面密度斯托克斯定理,16,作业：P21 1-18,17,
