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1、第一节 矩阵的特征值和特征向量,相似矩阵及二次型,一、特征值和特征向量的概念,二、特征值和特征向量的性质,三、小结 思考题,返回,上页,下页,一、特征值和特征向量的概念,返回,上页,下页,(2)由于 亦可写成齐次线性方程组,说明,(1)特征向量 x O；特征值问题是对方阵而言的；,因此，使得 有非零解的 值都是矩阵 A 的特征值.,即，使得 的 值都是矩阵 A 的特征值.,返回,上页,下页,定义 2 设 n 阶矩阵，记,上页,下页,返回,说明,(n 阶矩阵 A 的特征多项式),(1)是 的 n 次多项式，若设其一般形式为,则，的系数；,的系数；,常数项.,返回,上页,下页,(2)求特征值，就是
2、求特征方程 的根；,(4)需要注意，即使是 n 阶实矩阵，但其特征方程可能有复数根，相应的，特征向量也可能是复向量.,返回,上页,下页,例 1 求矩阵,的特征值和特征向量.,解,A 的特征多项式为,返回,上页,下页,将特征值分别代入，求出特征向量：,当 时，解方程组.,得基础解系,则，对应于 的全部特征向量为.,返回,上页,下页,当 时，解方程组.,得基础解系,于是，对应于 的全部特征向量为,如果 A 是 n 阶对角阵或上(下)三角阵，,证,返回,上页,下页,设对角矩阵 A 的主对角元为，,上式亦为上(下)三角阵的特征多项式，故有同样结论.,则，特征多项式为,那么，A 的特征值就是其 n 个主
3、对角元.,令，可得对角阵的特征值就是其主对角元.,返回,上页,下页,二、特征值和特征向量的性质,n 阶矩阵 A 的主对角元之和，称为 A 的迹记作 tr(A).,返回,上页,下页,另外，是特征方程的根，,的系数和特征多项式相同，因此 的系数和常数项也与特征多项式必相同，即,证毕,返回,上页,下页,说明，故，,若，则 A 的特征值全为非零数；,若，则 A 至少有一个特征值等于零.,返回,上页,下页,例 2 已知,的 2 个特征值为，,解,求(1)x,y；(2)；(3)的秩.,(1),(2)2 是一个特征值，故,(3)3 不是特征值，即，,故是 满秩矩阵，.,返回,上页,下页,定理 2 设 都是
4、A 的属于特征值 的特征向量，,证,则,也是 A 的属于特征值 的特征向量.,(其中 k1,k2 为任意常数，但),由于 都是 的解，,因此，也是 的解.,返回,上页,下页,例 3 求矩阵,的特征值和特征向量.,解,A 的特征多项式为,返回,上页,下页,将特征值分别代入，求出特征向量：,当 时，解方程组.,得基础解系,则，对应于 的全部特征向量为.,返回,上页,下页,当 时，解方程组.,得基础解系,则，对应于 的全部特征向量为,返回,上页,下页,性质 1 设 0 是矩阵 A 的特征值，是 A 的属于 0 的特征向量，则,k0 是 kA 的特征值(k 是任意常数)；,是 的特征值(m 是正整数)
5、；,若 A 可逆，则 是 的特征值；,并且，仍然是以上中这些矩阵的分别属于特征值 的特征向量.,返回,上页,下页,这里只证明性质，其余留作练习.,证,继续进行以上步骤 m3 次，得,两端同时左乘 A,特征向量总是相对于特征值而言的，一个特征向量不能同时属于不同的特征值.,说明,由于，则有.,这是不可能的(与“特征向量是非零向量”矛盾),即,返回,上页,下页,返回,上页,下页,例 4 设 是可逆矩阵 A 的一个特征值，,求 的一个特征值.,解,的特征值是;,的特征值是;,的特征值是,返回,上页,下页,性质 2 A 和 AT 的特征值相同(即特征多项式相同).,证,说明 A 和 AT 的特征向量不
6、一定相同.,例如，皆有二重特征值，,但它们相应的特征向量分别为,返回,上页,下页,定理 3 矩阵 A 属于不同特征值的特征向量是线性无 关的.,证,令,若记,下面将证明：只有当线性组合系数 ki 全部为零时才能使上式成立，即，线性无关.,上式变为,返回,上页,下页,不论哪种情况，皆有,对再左乘 A，如此重复下去，共 m1 次，最后有,返回,上页,下页,以上 m 个等式可合写成矩阵等式：,返回,上页,下页,因此，是可逆矩阵.,行列式,由于特征值 各不相同，所以行列式的值不等于零.,（范德蒙行列式的转置),返回,上页,下页,(可逆矩阵),其中特征向量，所以必有.,即，.,返回,上页,下页,定理 4
7、*矩阵 A 的属于 k 重特征值的线性无关的特征向量的最大个数不超过 k.,证明参见,证明参见,即，如果 是矩阵 A 的一个 k 重特征值，属于 的线性无关的特征向量的最大个数为 l，则 l k.,附录 1,附录 2,返回,上页,下页,四、小结,1.求 n 阶矩阵 A 的特征值和特征向量的步骤：,(1)求矩阵A 的特征多项式；,2.特征值和特征向量的 2 个性质，5 个定理.,返回,上页,下页,设 A 为 4 阶矩阵，已知：,思考题,求：A 的伴随矩阵 A*的一个特征值.,返回,上页,下页,思考题解答,由于，因此 A 是可逆矩阵.,于是，如果 A 的一个特征值为，根据特征值的性质，A*的一个特
8、征值为.,故，A*的一个特征值为,返回,上页,下页,证,附录 1,用反证法，假设 l k.,定理 如果 是 n 阶矩阵 A 的一个 k 重特征值，则，属于 的线性无关的特征向量的最大个数 l k.,设属于 k 重特征值 的 l 个线性无关的特征向量为,即,返回,上页,下页,新增的 一般不是 A 的特征向量，但 Aj(是 n 维向量)可以用上述的这组基线性表示：,l+1,n,将 扩充为 n 维复向量空间 Kn 的一组基：,A(),中共有 n 个等式，可合写为一个矩阵等式：,返回,上页,下页,=(),O,返回,上页,下页,P=(),将矩阵等式记作 AP=PK，,其中，,是式右端的分块矩阵,P 的列
9、向量组是一组基，故 P 可逆，于是,子块 0El 是主对角元为 0的 l 阶数量矩阵.,返回,上页,下页,因此，A 的特征多项式(即 K 的特征多项式)为,表明 A 和 K 有相同的特征多项式.,由于,上式表明，至少是 A 的 l 重特征值(l k).,此结果与 是 k 重特征值矛盾，所以,l k.,证毕,定理 设 A 有 m 个不同的特征值：，属于 的线性无关的特征向量有 ri 个.,那么，所有这些向量(共 个)构成的向量组是线性无关的.,返回,上页,下页,附录 2,证,设属于 的 线性无关的特征向量(ri 个)为,令,记,又，已知 是线性无关的，于是,返回,上页,下页,有两种可能：零向量;属于 的特征向量.,不是属于 的特征向量，这是因为：,属于不同特征值的特征向量线性无关，必有,因此 是零向量，即,也就是说，式中的系数必全为零，命题成立.,
