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1、2.5 等比数列的前n项和,第一课时,授课人：余洪,复习巩固,1.等比数列的定义是什么？如何用递推公式描述？,从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数q.,或an1an1 an2(n2).,2.等比数列的通项公式是什么？,3.国际象棋起源于古代印度，据传，国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.”这是一个什么数学问题？国王能满足他的要求吗？,知识探究（一）：求和公式的
2、推导,思考1：设S64=1+2+4+8+262+263,怎样求此式的值呢？和式有什么特点？,思考2：S64与2S64的表达式中有许多相同项，你有什么办法消去这些相同项？所得结论如何？,S64=1+2+22+23+263 2S64=2+22+23+263+264,S64=1+2+22+23+263 2S64=2+22+23+263+264,反思：纵观全过程，式两边为什么要乘以2？,两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到,思考3：现在我们可以回答国王的奖赏这个问题了，据调查，1千粒麦子重约40克，全球目前每年的小麦产量约为6亿吨，264-11.841019 是一个非常大的数
3、,264-1 粒麦子重约7000亿吨，所以国王是无法满足象棋发明者的要求的！,思考4：上述求和的算法叫做错位相减法.一般地，设等比数列an的首项为a1公比为q,前n项和为Sn，利用错位相减法如何求Sn？所得结果如何？,思考5：当q1时，如何求Sn？,思考6：当公比q1时，结合等比数列通项公式an=a1qn-1，Sn可变形为什么？,知识探究（二）：求和公式再探究,探究：设等比数列an的首项为a1公比为q,前n项和为Sn，除用错位相减法外还有其它方法可以求Sn 吗？,探究1：根据等比数列的定义，有结合等比定理怎样求?,等比定理,探究1：根据等比数列的定义，有结合等比定理怎样求?,等比定理,分析：,
4、探究2：根据等比数列的定义有 怎样求?,方法1：,方法2：,探究3：根据等比数列的定义有,怎样求?,分析：,知识探究（三）：求和公式的变通,思考1：等差数列前n项和公式从形式上可变为 同理等比数列前n项和公式 可变为？,思考2：等比数列有5个相关量，即a1，an，Sn，q，n，已知其中几个量的值就可以确定其它量的值？,“知三求二”,层层深入，掌握新知,练习1在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.,解：由题意，得若q1，则S33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，,解得q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.,【
5、例2】某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种纯获利更多？(取1.05101.629，1.31013.786，1.51057.665),【解析】(1)甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9=42.62(万元).银行贷款本息：10(1+5%)1016.29(万元)，故甲方案纯获利：42.62-16.29=26.3
6、3(万元).,(2)乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5)=101+0.5=32.50(万元)，,银行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9=1.0513.21(万元).故乙方案纯获利：32.50-13.21=19.29(万元).综上，甲方案纯获利更多.,总结归纳，加深理解,（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？,（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？,课后作业，巩固提高。,必做：（1）教材2.3.2课后练习研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”选做：借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开
7、始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051，精确到整数),本课讲完，谢谢指导！,选做借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.0161.061,1.0151.051，精确到整数),方法一设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6，nN*)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a011.011.015a.由题意，可知a60，即1.016a011.011.015a0，,故每月应支付1 739元,方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)，另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4a,故每月应支付1 739元,
