电大复变函数课后习题答案(全)小抄参考.doc

《电大复变函数课后习题答案(全)小抄参考.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电大复变函数课后习题答案(全)小抄参考.doc（66页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、专业好文档习题一答案1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1） （2） （3） （4）解：（1）， 因此：，（2），因此，（3），因此，（4）因此，2 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1） （2） （3）（4） （5）解：（1）（2）（3） （4）（5）3 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5） （6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4 设试用三角形式表示与解：，所以，5 解下列方程：（1） （2）解：（1） 由此， （2），当时，对应的4个根分别为：6 证明下列各题：（1）设则证明：首先，显然有； 其次，因 固此有 从而 。（2）对任意复数有证明

2、：验证即可，首先左端，而右端 ， 由此，左端=右端，即原式成立。（3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，由此得到：由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。（4）若则皆有证明：根据已知条件，有，因此： ，证毕。（5）若，则有证明：， ，因为，所以， ，因而，即，结论得证。7设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。解：首先，由复数的三角不等式有， 在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此， 8试用来表述使这三个点共线的条件。解：要使三点共线，那么

3、用向量表示时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到： 三个点共线的条件是为实数。9写出过两点的直线的复参数方程。解：过两点的直线的实参数方程为： ，因而，复参数方程为： 其中为实参数。10下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）（1） （2） （3）解：只需化为实参数方程即可。（1），因而表示直线（2），因而表示椭圆（3），因而表示双曲线11证明复平面上的圆周方程可表示为 ，其中为复常数，为实常数证明：圆周的实方程可表示为：，代入，并注意到，由此 ，整理，得 记，则，由此得到 ，结论得证。12证明：幅角主值函数在原点及负实轴

4、上不连续。证明：首先，在原点无定义，因而不连续。 对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时，而当由实轴下方趋于时，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。13函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？解：对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得 ，因而映成的像曲线的方程为 ，消去参数，得 即表示一个圆周。 对于，其方程可表示为代入映射函数中，得 因而映成的像曲线的方程为 ，消去参数，得，表示一半径为的圆周。14指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。（2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，

5、即圆心为半径为的圆周及圆周外部的点集。（3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入化为实方程得 （4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。（5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。15做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。（1），以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通（2），顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通（3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3 连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合

6、，是一无界，多连通区域。（4）， 显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为 ，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。（5），代入，化为实不等式，得 所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。习题二答案1 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。（1） （2） （3） （4）解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：（1）处处解析，（2）处处解析，（3）的奇点为，即， （4）的奇点为，

7、2 判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。（1） （2）（3） （4）解：根据柯西黎曼定理：（1）， 四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西黎曼方程解得：， 因此，函数在点可导， ， 函数处处不解析。（2）， 四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西黎曼方程解得：， 因此，函数在直线上可导， ， 因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。（3）， 四个一阶偏导数皆连续，因而 处处可微，并且 处处满足柯西黎曼方程 因此，函数处处可导，处处解析，且导数为 （4）， ， ， 因函数的定义域为，故此，处处不满足柯西黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。3 当取何值

8、时在复平面上处处解析？解：，由柯西黎曼方程得： 由（1）得 ，由（2）得，因而，最终有 4 证明：若解析，则有 证明：由柯西黎曼方程知，左端 右端，证毕。5 证明：若在区域D内解析，且满足下列条件之一，则在D内一定为常数。（1）在D内解析 ， （2）在D内为常数，（3）在D内为常数， （4） （5）证明：关键证明的一阶偏导数皆为0！（1），因其解析，故此由柯西黎曼方程得 -（1）而由的解析性，又有 -（2）由（1）、（2）知，因此即 为常数（2）设，那么由柯西黎曼方程得 ， 说明与无关，因而 ，从而为常数。（3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得 -（1）因解析，所以又有 -（2）求解

9、方程组（1）、（2），得 ，说明 皆与无关，因而为常数，从而也为常数。（4）同理，两端分别对求偏导数，得 再联立柯西黎曼方程，仍有 （5）同前面一样，两端分别对求偏导数，得 考虑到柯西黎曼方程，仍有 ，证毕。6 计算下列各值（若是对数还需求出主值）（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：（1）（2）， 为任意整数， 主值为：（3） ， 为任意整数主值为：（4）（5） ， 为任意整数（6），当分别取0，1，2时得到3个值： ， ， 7 求和解：，因此根据指数函数的定义，有 ， ，（为任意整数）8 设，求解：，因此 9 解下列方程：（1） （2）（3） （4）解：（1）方程两端取对数得：

10、（为任意整数）（2）根据对数与指数的关系，应有 （3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为 因此 即 ， 为任意整数（4）由双曲函数的定义得 ，解得 ，即，所以 ，为任意整数10证明罗比塔法则：若及在点解析，且，则，并由此求极限 证明：由商的极限运算法则及导数定义知，由此， 11 用对数计算公式直接验证：（1） （2）解：记，则（1）左端， 右端， 其中的为任意整数。 显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在时的值为，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。（2）左端 右端 其中为任意整数，而 不难看出，对于左端任意的，右端取或时与其对应；反之，对于右端任意的，当为偶数时，左端

11、可取于其对应，而当为奇数时，左端可取于其对应。综上所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。12 证明证明：首先有 ，因此 ，第一式子证毕。 同理可证第二式子也成立。13 证明 （即）证明：首先， 右端不等式得到证明。 其次，由复数的三角不等式又有，根据高等数学中的单调性方法可以证明时，因此接着上面的证明，有，左端不等式得到证明。14 设，证明证明：由复数的三角不等式，有 ，由已知，再主要到时单调增加，因此有 ，同理， 证毕。15 已知平面流场的复势为（1） （2） （3）试求流动的速度及流线和等势线方程。解：只需注意，若记，则 流场的流速为， 流线为， 等势线为， 因此，有（1）流速为

12、，流线为，等势线为 （2）流速为，流线为，等势线为 （3） 流速为，流线为 ，等势线为 习题三答案1 计算积分，其中为从原点到的直线段解：积分曲线的方程为，即 ，代入原积分表达式中，得 2 计算积分，其中为（1）从0到1再到的折线 （2）从0到的直线解：（1）从0到1的线段方程为：， 从1到的线段方程为：，代入积分表达式中，得；（2）从0到的直线段的方程为，代入积分表达式中，得 ，对上述积分应用分步积分法，得3 积分，其中为（1）沿从0到 （2）沿从0到 解：（1）积分曲线的方程为，代入原积分表达式中，得（2）积分曲线的方程为 ， ，代入积分表达式中，得 4 计算积分，其中为（1）从1到+1的

13、直线段 （2）从1到+1的圆心在原点的上半圆周解：（1）的方程为，代入，得 （2）的方程为，代入，得 5 估计积分的模,其中为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。解：在上，=1，因而由积分估计式得 的弧长6 用积分估计式证明：若在整个复平面上有界，则正整数时 其中为圆心在原点半径为的正向圆周。证明：记，则由积分估计式得 ，因，因此上式两端令取极限，由夹比定理，得 ， 证毕。7 通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线皆为。（1） （2） （3） （4） （5）解：各积分的被积函数的奇点为：（1），（2）即，（3） （4）为任意整数，（5）被积函数处处解析，无奇点 不难看

14、出，上述奇点的模皆大于1，即皆在积分曲线之外，从而在积分曲线内被积函数解析，因此根据柯西基本定理，以上积分值都为0。8 计算下列积分：（1） （2） （3）解：以上积分皆与路径无关，因此用求原函数的方法：（1）（2）（3）9 计算 ，其中为不经过的任一简单正向闭曲线。解：被积函数的奇点为，根据其与的位置分四种情况讨论：（1）皆在外，则在内被积函数解析，因而由柯西基本定理 （2）在内，在外，则在内解析，因而由柯西积分 公式：（3）同理，当在内，在外时， （4）皆在内此时，在内围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得： 注：此题若分解，则更简单！10 计算下列各积分解：（1），由柯西

15、积分公式（2）， 在积分曲线内被积函数只有一个奇点，故此同上题一样： （3） 在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：（4），在积分曲线内被积函数只有一个奇点1，故此 （5）， 在积分曲线内被积函数有两个奇点，围绕分别做两条相互外离的小闭合曲线，则由复合闭路原理得：（6）为正整数，由高阶导数公式 11 计算积分，其中为（1） （2） （3）解：（1）由柯西积分公式（2）同理，由高阶导数公式 （3）由复合闭路原理 ，其中，为内分别围绕0，1且相互外离的小闭合曲线。12 积分的值是什么？并由此证明解：首先，由柯西基本定理，因为被积函数的奇点在积分曲线

16、外。 其次，令，代入上述积分中，得 考察上述积分的被积函数的虚部，便得到 ，再由的周期性，得即，证毕。13 设都在简单闭曲线上及内解析，且在上 ，证明在内也有。证明：由柯西积分公式，对于内任意点， ， 由已知，在积分曲线上，故此有 再由的任意性知，在内恒有，证毕。14 设在单连通区域内解析，且，证明（1） 在内；（2） 对于内任一简单闭曲线，皆有证明：（1）显然，因为若在某点处则由已知 ，矛盾！（也可直接证明：，因此 ，即，说明）（3） 既然，再注意到解析，也解析，因此由函数的解析性法则知也在区域内解析，这样，根据柯西基本定理，对于内任一简单闭曲线，皆有，证毕。15求双曲线 （为常数）的正交（

17、即垂直）曲线族。解：为调和函数，因此只需求出其共轭调和函数，则便是所要求的曲线族。为此，由柯西黎曼方程 ，因此，再由 知，即为常数，因此 ，从而所求的正交曲线族为（注：实际上，本题的答案也可观察出，因极易想到 解析）16设，求的值使得为调和函数。解：由调和函数的定义 ，因此要使为某个区域内的调和函数，即在某区域内上述等式成立，必须 ，即。17已知，试确定解析函数 解：首先，等式两端分别对求偏导数，得 -（1） -（2）再联立上柯西黎曼方程 -（3） -（4） 从上述方程组中解出，得 这样，对积分，得再代入中，得 至此得到：由二者之和又可解出 ，因此，其中为任意实常数。 注：此题还有一种方法：由

18、定理知由此也可很方便的求出。18由下列各已知调和函数求解析函数解：（1），由柯西黎曼方程， ，对积分，得 ，再由得，因此 ，所以 ，因，说明时，由此求出，至此得到：，整理后可得：（2）， 此类问题，除了上题采用的方法外，也可这样： ，所以 ，其中为复常数。代入得，故此 （3）同上题一样， ， 因此， 其中的为对数主值，为任意实常数。（4）， ，对积分，得 再由得，所以为常数，由知，时，由此确定出，至此得到： ，整理后可得 19设在上解析，且，证明 证明：由高阶导数公式及积分估计式，得 ，证毕。20若在闭圆盘上解析，且，试证明柯西不等式 ，并由此证明刘维尔定理：在整个复平面上有界且处处解析的函数

19、一定为常数。证明：由高阶导数公式及积分估计式，得，柯西不等式证毕；下证刘维尔定理： 因为函数有界，不妨设，那么由柯西不等式，对任意都有，又因处处解析，因此可任意大，这样，令，得，从而，即 ，再由的任意性知，因而为常数，证毕。习题四答案1 考察下列数列是否收敛，如果收敛，求出其极限（1）解：因为不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛（2）解：，其中，则因为，所以由定义4.1知，数列收敛，极限为0（3）解：因为，所以由定义4.1知，数列收敛，极限为0（4）解：设，则，因为，都不存在，所以不存在，由定理4.1知，数列不收敛2 下列级数是否收敛？是否绝对收敛?(1)解：，由正项级数的比值判别法

20、知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛(2) 解：，因为是交错级数，根据交错级数的莱布尼兹审敛法知该级数收敛，同样可知， 也收敛，故级数是收敛的又，因为发散，故级数发散，从而级数条件收敛(3) 解：，因级数发散，故发散(4) 解：，由正项正项级数比值判别法知该级数收敛，故级数收敛，且为绝对收敛3 试确定下列幂级数的收敛半径(1) 解：，故此幂级数的收敛半径(2) 解：，故此幂级数的收敛半径(3) 解：，故此幂级数的收敛半径(4) 解：令，则，故幂级数的收敛域为，即，从而幂级数的收敛域为，收敛半径为4 设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为证明：在点处，因为收敛，所以收敛，故由阿贝尔定理知，时，收

21、敛，且为绝对收敛，即收敛时，因为发散，根据正项级数的比较准则可知，发散，从而的收敛半径为1，由定理4.6，的收敛半径也为15 如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛证明：时，由阿贝尔定理，绝对收敛 时，由已知条件知，收敛，即收敛，亦即绝对收敛6 将下列函数展开为的幂级数，并指出其收敛区域（1）解：由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数根据例4.2的结果，可以得到将上式两边逐项求导，即得所要求的展开式=（2）解：时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在此圆内展开成的幂级数=时，由于函数的奇点为，因此它在内处处解析，可以在

22、此圆内展开成的幂级数=（3）解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数（4）解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数（5）解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数 =（6）解：由于函数在复平面内处处解析，所以它在整个复平面内可以展开成的幂级数= =7 求下列函数展开在指定点处的泰勒展式，并写出展式成立的区域（1）解： ，由于函数的奇点为，所以这两个展开式在内处处成立所以有：（2）解：由于所以（3）解： =展开式成立的区域：，即（4）解：，故有因为的奇点为，所以这个等式在的范围内处处成立。8 将下列函数在指定

23、的圆域内展开成洛朗级数(1)解： ,故有(2)解： 在内在内(3)解：在内，在内(4)解：在内(5)解： 在内故有 9 将在的去心邻域内展开成洛朗级数解：因为函数的奇点为，所以它以点为心的去心邻域是圆环域在内又故有10函数能否在圆环域内展开为洛朗级数？为什么？答：不能。函数的奇点为,，所以对于，内都有的奇点，即以为环心的处处解析的圆环域不存在，所以函数不能在圆环域内展开为洛朗级数习题五答案1 求下列各函数的孤立奇点，说明其类型，如果是极点，指出它的级（1）解：函数的孤立奇点是，因 由性质5.2知，是函数的1级极点，均是函数的2级极点（2）解：函数的孤立奇点是，因，由极点定义知，是函数的2级极点

24、（3）解：函数的孤立奇点是，因，由性质5.1知，是函数可去奇点（4）解：函数的孤立奇点是,，即时，因所以是的3级零点，由性质5.5知，它是的3级极点，时，令，因，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点（5）解：函数的孤立奇点是,令， 时， ，由定义5.2知，是的2级零点，由性质5.5知，它是的2级极点，故是的2级极点时，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的1级极点，故是的级极点（）解：函数的孤立奇点是，令， 时，因，所以是的2级零点，从而它是的2级极点时，由定义5.2知，是的1级零点，由性质5.5知，它是的级极点2 指出下列各函数的所有零点，并说明其级数（

25、1）解：函数的零点是，记， 时，因，故是的2级零点时，由定义5.2知，是的1级零点（2）解：函数的零点是，因，所以由性质5.4知，是的2级零点（3）解：函数的零点是，记， 时，是的1级零点，的1级零点，的2级零点，所以是的4级零点，时，由定义5.2知，是的1级零点，时，由定义5.2知，是的1级零点3 是函数的几级极点？答：记，则，将代入，得：，由定义5.2知，是函数的5级零点，故是的10级极点4 证明：如果是的级零点，那么是的级零点证明：因为是的级零点，所以，即，由定义5.2知，是的级零点5 求下列函数在有限孤立奇点处的留数（1）解：函数的有限孤立奇点是，且均是其1级极点由定理5.2知，（2）

26、解：函数的有限孤立奇点是，且是函数的3级极点，由定理5.2，（3）解：函数的有限孤立奇点是，因所以由定义5.5知，（4）解：函数的有限孤立奇点是，因所以由定义5.5知，（5）解：函数的有限孤立奇点是，因所以由定义5.5知，（6）解：函数的有限孤立奇点是，即，因为所以是的2级极点由定理5.2，时，记，则，因为，所以由定义5.2知，是的1级零点，故它是的1级极点由定理5.3，6 利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）（1）解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，由定理5.1知，（2）解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为1级极点，所以由定理5.1及定理5.2

27、，（3）解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，因为，所以由性质5.1知是函数的可去奇点，从而由定理5.1，由定理5.1，（4）解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，由定理5.1，（5）解：是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，由性质5.6知是函数的1级极点，由定理5.1， （6）解：被积函数在积分区域内的有限孤立奇点为：，由定理5.3，这些点均为的1级极点，且 由定理5.1，7 计算积分，其中为正整数，解：记，则的有限孤立奇点为，且为级极点，分情况讨论如下：时，均在积分区域内，由定理5.1，故有时，均不在积分区域内，所以时，在积分区域内，不在积分区域内，所以

28、习题五8判断是下列各函数的什么奇点？求出在的留数。解：（1）因为 所以，是的可去奇点，且。（2）因为 所以 于是，是的本性奇点，且。 （3）因为 所以 容易看出，展式中由无穷多的正幂项，所以是的本性奇点。 。（4）因为 所以是的可去奇点。 。9计算下列积分：解：（1） （2） 从上式可知， 所以 。10求下列各积分之值：（1）解：设则，。于是（2）解：设则，。于是（3）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。在上半平面内只有一个奇点，且为2级极点。于是（4）解： 显然，满足分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上没有奇点，积分是存在的。在上半平面内

29、只有和二个奇点，且都为1 级极点。于是所以（5）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1 级极点。于是（6）解：显然，满足分母的次数至少比分子的次数高一次，且在实轴上没有奇点，在上半平面内只有一个奇点，且为1 级极点。于是11利用对数留数计算下列积分：解：（1），这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。 （2）这里为函数在内的零点数，为在内的极点数；为函数在内的零点数，为在内的极点数。 (3) 这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。 (4) 这里为函数在内的零点数，为在内的极点数。12证明方程有三个根在环域内证明：令，。因为当时，有

30、 所以，方程与在内根的数目相同，即4个。 又当时，有 所以，方程与在内根的数目相同，即1个。 综合上述得到，在环域内有3个根。13讨论方程在与内各有几个根。解：令，。因为当时，有 所以，方程与在内根的数目相同，即1个。 又当时，有 所以，方程与在内根的数目相同，即4个。 根据上述还可以得到，在环域内有3个根。14当时，证明方程与在单位圆内有n个根。证明：令，。因为当时，有 所以，当时，方程与在内根的数目相同，即n个。习题七答案1 试证：若满足傅氏积分定理的条件，则有证明：根据付氏积分公式，有 2 求下列函数的傅氏变换：（1） （2）（3） （4）解：（1）f(t)(2) (3)(4) 由于 所以3 求下列函数的傅氏变换，并推证所列的积分等式。(1) 证明(2) 证明。解：(1) 由傅氏积分公式，当时 所以，根据傅氏积分定理 (2) 由傅氏积分公式 所以，根据傅