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1、专业好文档第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件一、随机试验对随机现象进行观察或实验，称为随机试验，用E表示例1、随机试验的例子（1） 掷一颗骰子，观察出现的点数（2） 某人每次买一注彩票，直到中一等奖，观察购买次数（3） 观察某产品的使用寿命二、样本空间把试验的每一个可能的结果称为一个基本事件（样本点）。全体基本事件的集合称为试验的样本空间，用表示例2、写出例1中各试验的样本空间（1） 1,2,3,4,5,6（2） 1,2,3,.（3） t0=t+三、随机事件在每次试验中可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。用A、B、C或A1、A2表示。必然事件每次试验一定发生用表示不可能事件每次试验
2、一定不发生用表示例3写出例1中各试验相关的随机事件（1） A“至少掷出4点以上”4,5,6（2） A“最多需要3次”1,2,3（3） A“寿命在1000至2000小时之间” t1000=tn）个盒子中去，求下列事件的概率（1） 每个盒子有1只球（2） 指定的n个盒子中各有1只球解：（1） P(A)= =（2） P(B)=例2、一宿舍中有6个同学，求下列事件的概率（1）6人生日都不在十月份（2）6人中恰有4个人生日在同一月份解：（1）P（A）（2）P（B）二、概率的统计意义设在n次的测验中，事件A发生r次，则当n充分大时，A发生的频率r/n会稳定在一个数P（0=P=1）附近，即P(A)=r/n三
3、、概率的公理化定义见书上四、概率的性质1、P()=0 P()=1 0=P(A)0，在A发生的情况下，B发生的概率为P(B|A)=,称为A发生的条件下，B发生的条件概率例1、 设某种动物活20岁以上的概率为0.8,活25岁的概率为0.4,现有一个这种动物已有20岁，问它能活到25岁以上的概率是多少？解：A活20年以上 B活25年以上，P（BA）例2、一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中任取一件，结果不是三等品，求取得的是一等品的概率解：Ai取到的是i等品（i=1,2,3）例3、为防止意外，在矿内设有甲乙两个报警系统，已知发生矿难时，甲乙的有效率分别是0.92和0.93,在甲
4、失灵的情况下，乙有效的概率是0.85,求（1）发生意外时，至少一个系统有效的概率（2）乙失灵的情况下，甲有效的概率解：A甲有效，B乙有效P（AUB）P（A）+P（B）-P（AB）（无法直接计算）由,(1)(2)2、乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A),(P(A)0)推广:例4、某厂生产的产品中，每批都有2/3的合格品，验收时采取有放回抽取，如果接连抽到的两件都是合格品，则接收该批产品，否则拒收。求每批产品被拒收的概率。解:Ai抽取的第i件是合格品（i=1,2）A被拒收例5、某种光学制品第一次落地会打破的概率是1/3，若第一次落地未打破，第二次落地会打破的概率是3/8，若前两次落地未打破，第
5、三次落地会打破的概率是9/10，求它落地三次会打破的概率。解：Ai第i次落地会打破（i=1,2,3）A三次落地会打破解法一：解法二：（对偶律）二、事件的独立性1、 两个事件的独立性设A、B为两个事件，如果P（BA）P（B），P（AB）P（A），称A、B相互独立定理1、A与B独立P（AB）P（A）P（B）推论：例6、由甲乙两人各自独立地破译一份密码，他们能破译的概率分别是0.6和0.7,求密码能被破译的概率。解：A甲能译出 B乙能译出 则A与B独立2、多个事件的独立性设A1、A2An为随机事件，如果其中任一事件发生的概率与其它事件是否发生无关，称A1、A2An相互独立。定理2、A1、A2、An相
6、互独立对其中任意m个Ai1,Ai2,Aim(2=m=4）Y某产品的寿命，则“寿命在1000-2000小时之间”表示成（1000=Y=2000）二、分布函数设X是一个，则称注2、利用F（x）可以方便地计算各种事件的概率例如：例如：注3、F（x）具有如下性质（1） 单调不减性：（2） 有界性：（3） 右连续性：例1、一个靶子是半径为R的圆，设击中靶上任一同心圆内的点的概率与该圆面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。求X的分布函数F（x）。解：依题意，X的取值0,R，当xR时，F（x）=1；。又由于2.2 离散型随机变量的概率分布取值为有限个或可列无穷多个的离散型设X的取值为x1
7、,x2,x3,称Xx1,x2,x3.PP1 P2 P3注：1、2、例1：某人有4把同样钥匙，其中只有一把能打开门，每次取一把，如果打不开则除去另换一把，求把门打开所需开锁次数X的分布律和分布函数。解：X的取值1,2,3,4Ai第i次能打开门（i=1,2,3,4）P（X1）P（A1）1/4因而P(X=4)=1/4分布律为X1 2 3 4P1/4 1/4 1/4 1/4分布函数为例2、自动生产线在生产过程中一旦出现废品就立即调整。每次调整后，生产出的每个产品是废品的概率为P，设两次调整间生产的合格品数为X，求（1）X的概率分布；（2）两次调整之间生产出不少于1000个合格品的概率。解：X的所有可能
8、取值0,1,2,记Ai两次调整间生产的第i个产品是合格品(2)2.3 二项分布分布律：其中0P1,记成XB（n，P）注：在n次重复独立试验中，每次试验事件A发生概率都是P，则A发生的总次数XB（n,P）。例1、某车间有20部同型号的机床，每部的开工率都是0.8,并设各机床是否开动彼此独立，如果每部机床开动时消耗电能15千瓦，求此车间耗电不少于270千瓦的概率。解：设X同时开工的机床数，则XB（20,0.8）,X270/15=18例2、某董事会由9个人组成，在对某议案进行表决时，每人作出正确决策的概率都是0.7,如果按大多数人意见作决策，求做出正确决策的概率。解：X做出正确决策的人数，则X（9,
9、0.7）例3、设每次买彩票中奖率为0.2,问必须进行多少次购买，才能使中奖的概率不少于0.99？解：设购买次数为n，中奖次数为X，则XB（n,0.2）2.4 泊松分布一、泊松分布（Poisson）分布分布律：，记成XP（）注1、大量随机现象服从泊松分布（流量、通话量等） 2、相关的计算可查书本P355附表2例1、设一昆虫产卵数XP（），而每个虫卵是否发育为幼虫相互独立，且概率都是P，试求一只昆虫所生幼虫数Y的概率分布。解：Y的取值为0,1,2,即YP（P）。二、Poisson定理例2、学生平安保险中，每人出险概率为0.001,参加者每人交保险费38元，如果发生保险责任事故，可获得8000元赔付
10、，若有2000人参加，求下列事件的概率（1）保险公司亏本；（2）保险公司盈利不少于10000元。解：X出险人数，则XB（2000,0.0001）（1）38*2000240。上述三种情况下，某种电器损坏的概率分别是0.1,0.001,0.2,求（1）电器损坏的概率；（2）若电器损坏，求电压位于240伏的概率。解：A1U220A2220240B电器损坏（1）故P(A2)=1-0.5-0.2119=0.2881(2)3.3 指数分布概率密度，其中0为常数，记成分布函数注：常用指数分布描述各种“寿命”例1、某部件的寿命小时，一台仪器中有5个这种部件，任一损坏仪器即停止工作，（1）求任一部件正常工作10
11、00小时以上的概率；（2）已经正常工作1000小时的部件，还能再正常工作1000小时的概率；（3）整台仪器正常工作1000小时以上的概率。解：（1），（3）Y正常工作1000小时以上的部件数，则例2、某机场在任何长为t的时间内飞机到来的数目，其中0为常数，求相继两架飞机到来时间间隔Y的分布函数。解：Y的取值0,+)F（y）=P(Yy)故当Y0,F（y）=0;当Y0,，说明。3.4 均匀分布概率密度，称X在区间a,b上服从均匀分布，记分布函数注：如果X的取值范围在a,b，且在a,b上任一点等可能取值，则XUa,b例1、公共汽车每隔5分钟一辆，乘客在任一时刻到达车站是等可能的，求乘客候车不超过3分
12、钟的概率。解：X乘客到达的时刻，则XU0,5第4章 随机变量的数字特征4.1 数学期望一、期望的定义称rvX的平均取值大小为X的数学期望（均值），记成E（X）或EX1、离散型设X的分布律为Xx1,x2,x3.PP1 P2 P3 例1、某保险公司规定，如果顾客投保事件发生，就赔偿顾客a元，设A发生的概率为P，为使公司从每位顾客身上平均获得收益a/10000元，问要求顾客交多少保险费？解：设每位顾客交x元保费，X保险公司从每位顾客获得的收益，则Xx x-aP1-P P例2、某人每次投一注彩票，直到中一等奖为止。若每次中一等奖的概率是P，求平均需要购买的次数。解：X需购买的次数X1 2 3 PP q
13、P q2P q=(1-P)2、连续型设X的概率密度为f(x),则例3、设风速VU（0,a）,飞机机翼受到的正压力Wkv2(K0为常数)，求机翼所受的平均正压力。解：V的概率密度例4、某种商品的市场年需求量XU（2000,4000）吨，每售出1吨可获得利润3万元，售不出的部分需保养费1万元，若每年准备S吨（2000S4000），求每年获得收益的平均值。解：Y每年收益，则g(X)=又X的概率密度为二、期望的性质1、E（C）=C2、EC(X)=CE(X)3、E(X+Y)=EX+EY以上C为常数4、当X与Y独立时，E（XY）E（X）E（Y）例5、客车上载有20位乘客，自始发站开出，中途有10个车站可下
14、车，如到一个站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在各站下车是等可能的，求中途平均停车次数。解：X中途停车次数 Xi第i站的停车次数（i=0,1,2,3,10）Xi0 1P 1-又XX1+X2+X104.2 方差一、方差的定义设X是一个rv，称E（X-EX）2为X的方差，记成D（X）或V（X），称为X的标准差。注：方差的大小反映X取值的分散二、方差的性质1、D（C）0，以下C为常数2、D（CX）C2D（X）3、D（X）E（X2）-（EX）24、当X与Y独立时，D（XY）D（X）+D（Y）例1、一汽车沿街行驶，沿途经过3个设有红绿灯的路口，已知每个路口红绿灯显示时间相等，且为红灯或绿灯与其它路口无关
15、，用X表示首次遇到红灯前已通过的路口个数，求EX和DX。解：X的所有取值0,1,2,3记Ai第i个路口遇到红灯（i=1,2,3）X0 1 2 3P1/2 1/4 1/8 1/8例2、一仪器有三个部件，各部件是否需要调整是相互独立的且概率分别为0.2、0.3、0.4,求任一时刻需要调整的部件X的期望和方差。解：Xi第i个部件需要调整的个数(i=1,2,3)X10 1P0.8 0.2X20 1P0.7 0.3X10 1P0.6 0.4同理，EX20.3,DX20.21,EX30.4,DX30.24。显然XX1+X2+X3,且X1,X2,X3之间相互独立例3、某单位日用电量（万度）的概率密度为，求标
16、准差(X)。解：（万度）4.3常见分布的期望和方差1、2、3、4、5、注：可直接引用例1、某柜台有4个售货员，2个台称，若每个售货员在1个小时内平均有15分钟要使用台称，求一天10小时内，平均有多少时间台称不够用？任一时刻平均有几个使用台称？解：（1）X同时要使用台称的人数，则XB（4,1/4）说明10小时内平均有0.05*100.5小时不够用。（2），即任一时刻平均1人使用台称。例2、两台同样的自动记录仪，每台无故障工作时间分别服从参数为的指数分布，先开动一台，发生故障时，另一台自动开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T的期望和方差。解：Ti第i台无故障工作时间（i=1,2），则T1,T2
17、独立且T1E（1），T2E（2）从而,又TT1+T2第5章 多维随机变量5.1 二维随机变量的联合分布设X与Y是与同一个随机试验E有关的两个rv,则称（X,Y）为一个二维随机变量。一、联合分布函数设（X，Y）是一个二维rv，称为（X，Y）的联合分布函数。二、二维离散型rv的联合分布律如果X和Y分别为离散型rv，称（X，Y）为二维离散型rv设X的取值x1,x2,Y的取值为y1,y2,，则称为（X,Y）的联合分布律YXy1 y2x1P11 P12x2P21 P22注：1、 2、例1、设袋中有5个同类产品，其中2个正品，3个产品，随机地从中抽取两次，每次取1个，取出后不放回，定义X，Y如下，求（X，
18、Y）的联合分布律。解：得YX0 103/10 3/1013/10 1/10三、二维连续型rv的联合概率密度函数如果（X，Y）在X0Y平面的某区域G上取值，称（X，Y）为二维连续型rv。如果，称f(x,y)w为（X，Y）的联合概率密度函数注：有关性质1、2、 求导3、例2、随机信号在0,T内任一时刻等可能出现，延续时间后消失，接收机在0,T内任一时刻等可能打开，延续时间t后关闭，其中试求能接收到信号的概率。解：X信号出现的时刻Y接收机打开的时刻则（X，Y）取值范围,联合概率密度为能接收到信号：（1）；（2）5.2 二维随机变量的边缘分布X的分布和Y的分布称为（X，Y）的两个边缘分布一、边缘分布函
19、数X的分布函数和Y 的分布函数称为（X，Y）的边缘分布函数。如果，称X与Y相互独立。注：二、二维离散型rv的边缘分布设（X，Y）的联合分布律,则X的分布律为，Y的分布律为，分别称为（X，Y）关于X与Y的边缘分布律。YXY1 Y2 .PiX1P11 P12P1X2P21 P22P2 PjP1 P2注X与Y独立Pij=Pi*Pj，（i,j=1,2,）例1、在5.1例中，求关于X，Y的边缘分布律，并判别X与Y的独立性。YX0 1Pi03/10 3/106/1013/10 1/104/10Pj6/10 4/101P1*P16/10*6/10=36/1003/10,X与Y不独立。三、二维连续型rv的边缘
20、分布设（X，Y）的联合概率密度为f(x,y),则关于X的概率密度函数为，关于Y的概率密度函数为，分别称为（X，Y）的两个边缘概率密度函数。注：X与Y独立。例2、某设备中有甲乙两个部件，它们的寿命分别记成X与Y（千小时）。已知XE（1），YE（1/2）,且X与Y独立，试求（1）两部件寿命均超过1千小时的概率；（2）乙部件寿命比甲部件长的概率。解：，又X与Y独立，。（1）P（X1,Y1）=。（2）P（YX）=。第6章 极限定理6.2 中心极限定理一、独立同分布场合设X1,X2,Xn相互独立同分布，且有有限的期望和方差，例1、一生产线生产的产品成箱包装，每箱平均重50KG，标准差5KG。用载重量5吨
21、的汽车承运，试问每辆汽车最多可装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设可装n箱，Xi第i箱的重量（i=1,2,n）则EXi=50,DXi=52。根据中心极限定理，XX1+X2+XnN(50n,25n)。依题意有二、二项分布场合设XB（n,P）,当n充分大时，近似地有XN(nP,nP(1-P)。例2、某小区有200个电话机，每个电话机都有5%的时间使用外线，且是否使用外线是彼此独立的。若要保证每个电话机有95%的把握可随时接通外线，问该小区要设几条外线？解：设n条外线，X任一时刻同时打电话的电话机数,则XB（200,0.05）。根据中心极限定理，有XN（10,9.5）。依题意例3、某车
22、间有200台机床独立地工作，每台开工率都是0.6,开工时耗电各是1千瓦。问至少供给这个车间多少电，才能以99.9%的概率保证不会因供电不足而影响生产？解：X同时开工的机床数，则XB（200,0.6），根据中心极限定理，XN（120,48）。依题意，若供给r千瓦的电，第7章 数理统计的基本概念7.1 总体和样本一、总体把被研究对象的全体称为总体，其中每个具体对象称为个体。总体的特征：大量性、同质性、变异性。总体是一个随机变量，用X，Y，表示如果总体称X为正态总体。二、样本从总体X中抽取的一部分X1,X2,Xn，称为X的一个样本。要求满足条件：（1）X1,X2,Xn之间相互独立（独立性）；（2）每
23、个Xi与总体有相同的分布（代表性）。三、统计量样本的函数g(X1,X2,Xn)称为统计量。三个常用的统计量：样本均值；样本方差样本标准差注：要懂得计算器上三个常用统计量的用法7.2 抽样分布统计量服从的分布称为抽样分布下面介绍几个常用的抽样分布：一、标准正态分布1、定义2、 分位点。（图略，见书）例如：0.05,查标准正态分布表得例如：0.05,查标准正态分布表得二、x2分布1、定义略，记成x2x2（n）2、分位点，上侧分位点（图略）例如：0.05,n=9，查x2分布表（P362）得，双侧分位点（图略）例如：0.05,n=5，查x2分布表得三、t分布1、定义略。记成tt(n)2、分位点上侧分位
24、点（图略）例如：0.05,n=10，查t 分布表（P360）得双侧分位点（图略）例如：0.05,n=10，查t 分布表（P360）得四、F分布1、定义略。记成2、分位点上侧分位点（图略）例如：0.05,n16,n2=10，查F分布表得双侧分位点（图略）例如：0.1,n16,n2=10, 查F分布表得，五、几个重要统计量的分布1、设X1,X2,Xn来自正态总体的样本，则有（1）（2）（3）（4）2、设X1,X2,Xn来自正态总体的样本，Y1，Y2,Yn是的样本，则有（1）（2）当时，（3）第8章 参数估计8.1 点估计设总体X中含有m个参数利用从X中抽取的样本X1,X2,Xn,分别构造统计量gi
25、(X1,X2,Xn),(i=1,2,m),作为i的估计量，即当有一组样本值时，代入得i的估计值为这个方法称为参数的点估计。例如:某个地区正常成年男性身高，从中随机抽取500个男性身高x1,x2,x500,用于估计和的大小。例如：已知某产品的寿命服从XE（），从中随机抽取100件产品，其寿命分别为x1,x2,x100,用于估计的大小。一、矩法称，从中反解出例1、设总体X的概率密度为求的矩估计量。解：，令。例2、（重要结论）设总体X的期望和方差分别是EX和DX，则它们的矩估计量分别是，。解：由矩估计方程组，（）解得，代入第2式得。注：例2的结论可直接引用。例3、某部门对当前市场上鸡蛋的价格（元/5
26、00g）进行抽样调查，所抽20个超市的售价分别为3.05、3.31、3.34、3.82、3.30、3.16、3.84、3.88、3.22、3.28、3.34、3.62、3.28、3.30、3.10、3.22、3.90、3.54、3.18、3.30,假设已知鸡蛋价格服从正态分布,试求和的矩估计值。解：由例2 结论知，（元/斤）。例4、（1）设X1,X2,Xn是来自总体XB（m,P）的样本，求其中参数P的矩估计量。（2）从一批产品中随机抽取85件，发现次品10件，试估计这批产品的次品率。解：（1）XB（m,P）,EX=mP。由例2结论，知。（2）从总体XB（1,P）,从中抽取样本X1,X2,X85
27、,其中Xi0 1 P1-P P根据（1）知。例5、设总体XUa,b，求a,b的矩估计量。解：XUa,b,EX=(a+b)/2,DX=(b-a)2/12。由例2结论，有解得二、极大似然法设x1,x2,xn是来自总体X的一组样本值，而X中含m个参数=(1,2,m)，若f(x, )是X的概率密度函数（或分布律），称为样本X1,X2,Xn的似然函数。算法：一般步骤：（1）构造似然函数;(2)求;（3）求例6、求出例1中的极大似然估计量。解：（1）（2）（3）。例7、（1）设总体XP()，求的极大似然估计量。（2）设电话总机在某时段内接到呼唤的次数服从Poisson分布，现收集如下42个数据：接到的呼唤
28、次数0 1 2 3 4 5出现的次数7 10 12 8 3 2用极大似然法估计上述分布的参数解：（1）1）2）3）（此结论可直接引用）。（2）由（1）得8.2 区间估计设是总体X的参数，利用X的样本X1,X2,Xn，对一个事先给定的小概率（通常取0.01或0.05），构造统计量g1(X1,X2,Xn)和g2(X1,X2,Xn),使得P(g1 g2)=1-，称（g1，g2）是的置信度为1-的置信区间。g1置信下限，g2置信下限一、正态总体均值的区间估计1、当2已知时，由及标准正态分布的双侧分位点概念，得2、当2未知时，由 。例1、假定新生婴儿体重服从正态分布，随机抽取12名，其体重(g)分别是3
29、100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540，求平均体重的置信度为95%的置信区间。解：查t分布表，得t0.025(11)=2.201。二、正态总体方差的区间估计1、当已知时，由，于是得到2的置信度为1-的置信区间是。2、当未知时，由例2、对例1中新生婴儿体重的标准差作区间估计（0.05）。解：，于是=(265.99,636.88)(g)。第9章 假设检验9.1 基本概念一、什么是假设检验对总体的参数（或分布形式）先提出一对相互的假设H0（原假设）和H1（备择假设），利用总体的样本推断H0或H1成立，这种方法称为统计假设检
30、验。二、检验的基本原理采用小概率事件的实际不可能原理，如果所用的检验统计量是T，在H0成立时，已知T服从的分布，对一个事先给出的小概率（称为显著性水平，通常取0.05、0.01、0.001），称为检验拒绝域。如果由实际样本值计算的T，说明H0错误，应拒绝H0；否则，认为H0正确，应接受H0。三、检验的一般步骤1、根据实际问题的需要提出H0和H1；2、选择一个合适的检验统计量T；3、对给定的显著性水平，在H0成立的情况下，找出拒绝域；4、利用样本值计算出T的值；5、若T，应拒绝H0（接受H1），若，应接受H0（拒绝H1）。四、两种错误第一类错误弃真第二类错误取假同时减小和的唯一途径是增大样本容量
31、n。9.2 正态总体均值的假设检验设X1,X2,Xn是来自正态总体的样本，一、当2时1、双侧检验（1）；（2）检验统计量；（3）拒绝域为（根据双侧分位点概念）；（4）由样本计算出U的值；（5）若2、右侧检验（1）；（2）检验统计量；（3）拒绝域为（根据上侧分位点概念）；（4）由样本计算出U的值；（5）若3、左侧检验（1）；（2）检验统计量；（3）拒绝域为；（4）由样本计算出U的值；（5）若例1、自动包装机在正常情况下，包装的重量服从正态分布N（100,1.52）（kg）。某天包装的产品中随机抽检9包，重量分别是99.3、98.7、100.5、101.2、98.3、99.7、99.5、102.1
32、、100.5,试分析这一天包装机工作是否正常？（0.05）解：H0:=100, H1:100计算出,又查表得Z0.0251.96|U|3.25计算出,又查t分布表得t0.05(19)=1.73tt0.05(19),应拒绝H0，即认为当前价格明显高于去年同期。例3、规定某种食品每100g中Vc含量不得少于21mg,从一批这种食品中随机抽取17个样品，测得每100g含Vc分别是16、22、21、20、23、21、19、15、13、23、17、20、29、18、22、16、25(mg),试分析这批食品中Vc含量是否合格？（0.05）解：H0:21, H1:21计算出,又查t分布表得t0.05(16)
33、=1.75t-t0.05(16),应接受H0，即认为这批食品中Vc含量合格。9.2 正态总体方差的假设检验设X1,X2,Xn是来自正态总体的样本，这里仅介绍未知情况（常见情况）。1、双侧检验（1）；（2）检验统计量（3）拒绝域（根据双侧分位点概念）：（4）由样本计算出x2的值；（5）若2、右侧检验（1）；（2）检验统计量（3）拒绝域（根据双侧分位点概念）：（4）由样本计算出x2的值；（5）若3、左侧检验（1）；（2）检验统计量（3）拒绝域（根据双侧分位点概念）：（4）由样本计算出x2的值；（5）若例1、某厂生产的某种型号的电池，其寿命服从25000（小时2）的正态分布。从某批这种电池中随机抽取26只，测得它们的寿命后，计算出样本方差S29200（小时2），问能否推断这批电池寿命的波动性较以往明显偏大？（0.01）解：又查x2分布表得=44.314,应拒绝H0，即认为这批电池寿命的波动性较以往明显偏大。注：单侧检测，可先确定H1,再确定H0。按“如果接受H1，对被分析者不利”的原则确定H1第10章 方差分析10.1 单因素试验的方差分析如果要分析某因素A
