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1、8.2 可积准则,可积条件定积分存在的条件,一、可积的必要条件二、可积的充要条件(可积准则)三、可积的充分条件(可积函数类),可积条件,一 可积的必要条件,有界函数不一定可积,我们知道Dirichlet函数有界但不可积，那么什么样的有界函数是可积呢？根据定义，函数可积是指：,二、可积的充分必要条件,小和与大和的定义与性质,由定义，要判断一个函数是否可积，可直接考察积分和是否存在有限极限。,时，积分和 存在确定的有限极限,定理7(数列的两边夹定理)P65,定理7(函数的两边夹定理)P107,不仅与分法T有关，而且也与一组 的取法有关。,从而积分和具有复杂性，因此讨论积分和的极限是极其困难的.为此
2、，我们需要简化积分和，用分法T的“最大”与“最小”的两个积分和去逼近一般的积分和,即用极限的两边夹定理考察积分和有极限.首先给出对掌握积分和变化非常有用的大和与小和的概念，并讨论其性质。于是，讨论复杂的积分和的极限问题，就归结为讨论比较简单的小和与大和的极限问题.,定义,设E是非空数集，若 且,下确界，记为,定义,设E是非空数集，若 且,上确界，记为,确界定理P155,若非空数集E有上界，则数集E存在唯一的上确界若非空数集E有下界，则数集E存在唯一的下确界,定义 设函数,在,有界，分法,将,分成了,个小区间,小区间,的长表为,设,与,分别是,在,的下确界和上确界.,作和,与,则称,是f关于分法
3、,的小和，,是f关于分法,的大和.,1、小和与大和的概念,令,显然，对于a,b的同一分法T的小和与大和，总有不等式,有的书也上称：上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）,达布（18421917）,Darboux，Jean-Gaston,法国数学家。,1842年8月14日生于尼姆，1917 年2月 23日卒于巴黎。1861年考入巴黎高等师范学校，1864年毕业，1866年取得博士学位。1867年在中学任教，1872年在巴黎高等师范学校任教，1881年4月任巴黎大学理学院高等几何学教授，18891903年任理学院院长，后任名誉院长。1872年创办 数学科学通报。1884 年当选为法国科学
4、院院士，1900年任科学院几何学部终身秘书 达布的主要贡献是曲面的微分几何学,达布简介,小和、大和，积分和，区别,2、小和与大和的性质,下面讨论：小和，大和与积分和之间的关系.以及小和与大和之间的关系.,任意积分和都介于,小和,与大和,之间，即,对,证明：,小和,是分法,的所有积分和的下确界,对,大和,即,是分法,的所有积分和的上确界,证明：,已知 是函数在 的下确界，根据下确界的定义知,增加某些新分点构成,一个新分法,有,与,即分点增多时，小和不减少，大和不增加.,证法：只须证明在分法,的基础上仅增加一个新分点,性质3成立.其余的分点可逐次增加一个分点而得到,对,证明：,设新增加一个新分点 位于分法T的第k个小区间 内,把第k个小区间分为两个小区间.,性质4,证明：,，小和的上确界不,超过大和的下确界，即,对,二、可积准则(可积的充要条件),根据定积分的定义，函数f(x)在区间a,b是否可积，就在于积分和 是否存在有限极限根据大小和性质，对于a,b的任意分法T，总有于是，讨论复杂的积分和的极限问题就归结为讨论比较简单的小和与大和的极限问题.,定理7(数列的两边夹定理)P65,定理7(函数的两边夹定理)P107,定理1(可积准则),Riemann可积的充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,定义,振幅,
