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1、,9.3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器,第14讲,控制理论最基本的任务是,对给定的被控系统设计能满足所期望的性能指标的闭环控制系统,即寻找反馈控制律。状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略,其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以构成反馈律,实现对系统的闭环控制,以达到期望的对系统的性能指标要求。,输出反馈:用输出量作为反馈状态反馈:用系统内部的状态变量作为反馈,基于经典控制理论的系统设计与综合，采用：输出反馈。基于现代控制理论（状态空间法）的系统设计与综合多数采用状态反馈，也有时采用输出反馈，输出反馈可视为状态反馈的一个特例。之所以采用状态变量来构成反馈律,是因为状态
2、空间分析中所采用的模型为状态空间模型,其状态变量可完全描述系统内部动态特性。由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出变量提供的信息更丰富、更全面。,状态反馈需要状态可物理测量，实际不可能完全物理上可测量的。这就需要基于状态观测理论,根据系统模型,利用直接测量到的输出信息来构造或重构状态变量信息，相应的理论问题称为状态重构问题,即观测器问题。,一、线性定常系统的常用反馈结构及其对系统特性的影响,1、两种反馈结构：状态反馈与输出反馈,1）状态反馈,设线性定常系统的状态空间模型,状态向量x通过待设计的状态反馈矩阵K，负反馈至控制输入处,状态反馈系统的控制量：,状态反馈系统的动态方程,输出方程没有
3、变化,状态反馈后的传递函数矩阵：,闭环系统：,2、输出反馈,（1）输出反馈到状态微分的反馈系统,输出反馈,两种输出反馈：（1）输出反馈到状态微分的反馈系统（2）输出反馈到参考输入的反馈系统,传递函数：,（2）输出反馈到参考输入的反馈系统,传递函数：,2、反馈结构对系统性能的影响,状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可控性、可观测性、稳定性、响应特性等。,1）对系统可控性和可观测性的影响,定理 1：状态反馈的引入不改变系统可控性，但可能改变系统的可观测性。,证明：状态反馈的引入不改变系统可控性原系统可控性矩阵状态反馈后系统可控性矩阵,状态反馈可能改变系统的可观测性，举例说明,原
4、系统可观，设状态反馈阵K=0 4,状态反馈系统不可观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系统零点相对消。,证明过程图解,H(A-HC,B,C)的状态可观,对偶原理,由定理1，引入状态反馈HT,(A,C,B)的状态可控,对偶原理,(A,B,C)的状态可观,的状态可控,定理2：输出反馈到状态微分的反馈系统，不改变系统可观测性，但可能改变系统的可控性。,输出反馈到状态微分的反馈系统可能改变系统的可控性，举例说明,原系统可控，设输出反馈阵H=2 1T,输出反馈系统不可控，原因是当用输出反馈配置的极点与原系统零点相对消。,定理3：输出反馈到参考输入的反馈系统（即输出反馈），不改变系统可控性和可观测性。原系
5、统可观性矩阵输出反馈后系统可观性矩阵,2）对系统稳定性的影响,状态反馈系统的状态方程,状态反馈和输出反馈都会改变系统的状态矩阵，所以会影响系统的稳定性。,输出至状态微分处反馈系统的状态方程,输出至参考输入端反馈系统的状态方程,是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。,若通过反馈使得闭环系统成为稳定系统，则称为镇定对于线性定常被控系统：如果可以找到状态反馈控制律通过反馈构成的闭环系统,定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态可镇定的。,第15讲,证明：由于系统 A,B 不完全可控，则有可控性结构分解,引入状态反馈,定理4：当且仅当线性定常
6、系统的不可控部分渐近稳定时，系统是状态可镇定的。,例：下述系统能否通过状态反馈实现镇定？,二、极点配置,闭环系统的性能与闭环极点（特征值）位置密切相关。状态反馈和输出反馈都改变闭环极点位置。所谓极点配置是利用状态反馈和输出反馈使闭环系统的极点位于所期望的极点位置。在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。,现代控制理论：利用状态反馈、输出反馈来配置极点，需要解决两个问题：（1）极点可配置的条件；（2）确定极点配置时的反馈矩阵。状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦控制等方面具有很多的应用。,）利用
7、状态反馈的极点可配置条件,定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控,证明：,（1）充分性,设受控系统A,b是状态可控的，经非奇异变换,将 矩阵A、b可化为可控标准型，有,、极点可配置的条件,变换后的状态反馈矩阵,（）必要性：若系统不可控，必有一部分状态与u 无关，则引入状态反馈时就不可能通过控制u改变不可控的极点。,经过变换后的,2、单输入单输出系统的极点配置算法1（规范算法）,（）判断系统是否完全可控，极点能否任意配置。,（）计算由 所决定的希望特征多项式,给定可控系统A,b和期望的闭环特征值，要确定状态反馈增益向量，使闭环系统的动态矩阵 的特征值为,（）计算,（4）求变换
8、矩阵 P,（5）计算反馈增益向量,由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题:1)对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点;2)期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。,例:已知系统状态方程,求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为,解：系统的可控性判别矩阵,系统的特征多项式,希望特征多项式,则可求得,则可求得,单输入单输出系统的极点配置算法2：,（）计算-BK的特征多项式,（）计算由 所决定的希望特征多项式,给定可控系统A,b和期望的闭环特征值，要确定状态反馈增益向量，使闭环系
9、统的动态矩阵 的特征值为,（）,例:已知系统状态方程,求状态反馈向量，使系统的闭环特征值为,解：系统的可控性判别矩阵,（）计算-BK的特征多项式,（）计算由 所决定的希望特征多项式,（）,例：已知系统的传递函数为,试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2和-1j上，绘制状态反馈结构图。解：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全可控。因此,可选择可控标准型来建立被控系统的状态空间模型。,1/s,1/s,1/s,4,1,2,3,4,U,3、利用输出反馈的极点可配置条件,定理6：利用输出至状态微分反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可观测。以多输入单输出系统为例进行证
10、明。,(A-HC)的极点任意配置,由定理5，引入状态反馈HT,(AT,CT,BT)的状态可控,对偶原理,(A,B,C)的状态可观,（AT-CT HT）极点可以任意配置,对于多输入单输出系统而言，当采用输出至参考输入的反馈时，反馈增益矩阵为f，反馈系统的状态方程为,令,输出反馈等价于状态反馈，即一个输出反馈系统，一定有对应的状态反馈系统与之等同，但对于状态反馈系统，却不一定有对应的输出反馈与之等同。举例说明。,第16讲,注意：状态完全可控是极点任意配置的条件，对于不完全可控系统，也可以进行极点配置，只是不能任意配置，可控部分极点可以任意配置，不可控部分极点不可以改变。下面举例说明。,例:已知系统
11、状态方程,问能否使系统的极点配置到-1，-2？,4、状态反馈对系统零极点的影响,设单输入出系统：已知(A,b,c,d)可控，则经过 将(A,b,c,d)化为可控型,结论：状态反馈不改变零点，可改变极点。,对于单输入/单输出系统，状态反馈只改变传递函数的分母，不会影响分子部分。由于实现系统极点任意配置，有可能出现分子、分母中的零、极点对消，从而破坏系统的可观性。当分子不含有零点，就不会出现零极点相消的情况。这时，系统经过状态反馈既能保持系统的可控性、又保持系统的可观性。,小结,状态反馈和输出反馈结构状态反馈极点任意配置条件极点配置方法,三、状态观测器前面已指出,对状态能控的线性定常系统,可以通过
12、线性状态反馈来进行任意极点配置,以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。但是,由于描述内部运动特性的状态变量有时并不是能直接测量的,更甚者有时并没有实际物理量与之直接相对应而为一种抽象的数学变量。在这些情况下,以状态变量作为反馈变量来构成状态反馈系统带来了具体工程实现上的困难。为此,人们提出了状态变量的重构或观测估计问题?,所谓的状态变量的重构或观测估计问题,即设法另外构造一个物理可实现的动态系统,它以原系统的输入和输出作为它的输入,而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值或者其某种线性组合,则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值,并可用于状态反馈闭环系统中代替原
13、状态变量作为反馈量来构成状态反馈律。这种重构或估计系统状态变量值的装置称为状态观测器,它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统,亦可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。,1 全维状态观测器构成方案设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即为,在这里设系统的状态矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到,如何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)。,对此问题一个直观想法是：利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质(即有同样的状态矩阵A,B和C)的如下系统来重构被控系统的状态变量:,其中 为被控系统状态变量x的估计值。,该状态
14、估计系统称为开环状态观测器,图 开环状态观测器的结构图,其结构如下图所示。,简记为,比较系统(A,B,C)和 的状态变量,有,则状态估计误差 的解为,显然,当 时,则有,即估计值与真实值完全相等。但是,一般情况下是很难做到这一点的。这是因为:,2.若矩阵A的某特征值位于s平面的虚轴或右半开平面上(实部0),则矩阵指数函数eAt中包含有不随时间t趋于无穷而趋于零的元素。,1.有些被控系统难以得到初始状态变量x(0),即不能保证;,此时若 或出现对被控系统状态x(t)或状态观测器状态 的扰动,则将导致状态估计误差 将不趋于零而为趋于无穷或产生等幅振荡。,所以,由于上述状态观测器不能保证其估计误差收
15、敛到零,易受噪声和干扰影响,其应用范围受到较大的限制。仔细分析便会发现,该观测器只利用了被控系统输入信息u(t),而未利用输出信息y(t),其相当于处于开环状态,未利用输出y(t)的观测误差或对状态观测值进行校正。,即,由观测器得到的 只是x(t)的一种开环估计值。,图 闭环状态观测器的结构图,2 全维状态观测器分析与设计,由状态观测器的结构,观测器系统矩阵：,决定了观测器的特征值,观测器设计是要求两个系统在任意的初始状态，都能保证,上述也称为观测器存在的条件。,考察状态误差动态方程,由,状态误差动态方程的解：,所引入的输出反馈不起作用,若,输出反馈起作用,若,若 的特征值具有负实部，则,定理
16、6：利用输出至状态微分反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可观测。若系统可观测，则（A-HC）的极点可以任意配置,定理7：若系统（A，B，C）状态可观测，则状态可用,的全维状态观测器给出估计值，其中 H 按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差的衰减速率。,为使基于状态观测器的状态反馈闭环控制系统有更好的暂态过渡过程,状态观测部分应比状态反馈部分有更快的时间常数(衰减更快),即状态观测部分的极点比状态反馈部分的极点应当更远离虚轴.,（2）设计输出反馈阵,观测器特征方程：,期望观测器特征方程：,四、分离特性,两个问题：（1）在状态反馈系统中，用状态估计值 是否要重新计算状态反馈增益矩阵K？
17、,（2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分会改变已经设计好的观测器的极点配置？,设控制输入：,全维状态观测器：,构造2n维复合系统：,引入状态误差动态方程：,对2n维复合系统，引入非奇异变换：,注意：,对2n维复合系统的传递函数,因此,带观测器的闭环系统的传递函数阵完全等于直接采用状态变量作反馈量的闭环系统的传递函数阵,即状态观测器不改变闭环系统的传递函数阵,也就是不改变闭环系统的外部输入输出特性。,对2n维复合系统的特征值,分离定理：若被控系统（，）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行,由闭环系统状态空间模型的状态方程可知,整个闭环系统的特征值由矩阵块A-BK的特征值和矩阵块A-HC的特征值所组成,即由状态反馈部分的特征值和状态观测器部分的特征值所组成。,一般在工程上,为保证有较好的控制精度、快速性和超调量等动态指标,状态观测器部分A-HC的特征值的实部应远小于状态反馈部分A-BK的特征值的实部,即更远离虚轴。,例:已知系统状态方程,设计带观测器的状态反馈系统，将系统闭环极点配置到-1，-2，将观测器极点配置到-6，-6？并画出带观测器的系统结构图。,
