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1、第四节 数列求和,基础梳理,数列求和的常用方法（1）公式法直接用等差、等比数列的求和公式.掌握一些常见数列的前n项和公式.(2)倒序相加法如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和就可用倒序相加法，如 等差 数列的前n项和就是用此法推导的.,（3）错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如 等比 数列的前n项和就是用此法推导的.,（4）裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.常见的拆项公式有：,(5)分组求和法有一类数列，既不
2、是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差，等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并，形如：an+bn,其中an是等差数列，bn是等比数列；,典例分析,题型一 利用错位相减法求和【例1】(2008全国)在数列an中，a1=1,an+1=2an+2n.(1)设,证明:数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.分析(1)求bn+1，观察bn与bn+1的关系.（2）由an=n2n-1的特点可知，运用错位相减法求和Sn.解（1）证明：由已知an+1=2an+2n,得 又b1=a1=1,因此bn是首项为1，公差为1的等差数列.,（2）由(1)知Sn=1+221+322+
3、n2n-1,两边乘以2,得2Sn=2+222+n2n,两式相减,得Sn=-1-21-22-2n-1+n2n=-(2n-1)+n2n=(n-1)2n+1.学后反思(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.,（2）用错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意；,在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;,应用等比数列求和公式时必须注意公比q1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1,应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查.,举
4、一反三1.(2010广州综测)已知数列 中，且(n2且nN*).(1)若数列 为等差数列，求实数的值；（2）求数列 的前n项和,解析:（1）方法一：,设,由 为等差数列，则有,综上可知，当=-1时，数列 为首项是2，公差是1的等差数列.（2）由(1)知，即 令,则,-，得,题型二 利用裂项相消法求和【例2】(2008江西)等差数列an的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,bn为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.(1)求an与bn;(2)求,分析 易求得Sn=n(n+2),而,应用裂项法就能求出 的值.,(2)Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),所以,解（1）设a
5、n的公差为d,bn的公比为q,则d为正数，an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依题意有故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.,学后反思 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项求和的方法.特别地，当数列形如，其中an是等差数列时，可尝试采用此法.常用裂项技巧如：,使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；要注意由于数列an中每一项an均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.实质上，正负项相消是此法的根源和目的.,举一反三2.求数列,
6、的前n项和Sn.,解析：,题型三 倒序相加法求和【例3】设函数 图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，若P为P1P2的中点，且P点的横坐标为(1)求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；（2）求,分析（1）由已知函数图象上两点P1,P2,可得设P(x,y),根据中点坐标公式去求(2)根据（1）的结论：若x1+x2=1,则由f(x1)+f(x2)=1.可以得到，利用倒序相加法进行求解.解(1)P为P1P2的中点，x1+x2=1,又,(2)由x1+x2=1,得,学后反思本题在求和时，运用了第（1）问所得等式f(x)+f(1-x)=1得到通项的特征，即，由于距首末两项等距的两项相加的和
7、为定值，所以可以用倒序相加法求和.,举一反三3.如果函数f(x)满足:对任意的实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)且f(1 005)=2,求f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008)的值.,解析：由f(x)对任意实数m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)，得f(1 005)+f(1 005)=f(2 010)=2+2=4;f(2)+f(2 008)=f(2 010)=4;f(1 004)+f(1 006)=4.令S=f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008),则S=f(2 008)+f(2 006)+f(2),于是2S=f(2)+f(2 008)+f(4)+f(2 006
8、)+f(2 008)+f(2)=41 004=4 016,故S=4 016=2 008.,题型四 分组法求和【例4】(14分)(2008陕西)已知数列an的首项(1)证明：数列 是等比数列；(2)求数列 的前n项和Sn.分析(1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即根据，从中得到 的等式关系.（2）充分利用（1）的结论得出 欲求数列 的前n项和Sn,可先求出 的值.,解(1)证明：,学后反思某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式求和，从而得出原数列的和.拆项法是通过对数列通项结构的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列的差，从而
9、求得原数列的和的一种求和方法.,4.求和:,解析：当x1时，当x=1时，=4n.,易错警示,【例1】求和,错解,错解分析 错解中在计算 时，没注意到项数是n+1项，而不是n项，从而导致解题错误.,正解,【例2】在等差数列 中，是数列 的前n项和.若,求,错解 由 由，得n5.5.设,错解分析 忽略对n的讨论，由于n的不同，数列 并不是等差数列，当n5时,当n6时，,正解 由 由,得n5.5.设 当n5时，当n5时，,考点演练,已知数列 的前n项和,求 的值.,解析:当n2时，当n=1时，故(nN*),原式=,11.已知数列 的前n项和(1)求证：数列 是等差数列；（2）若,求数列 的前n项和,
10、解析：(1)证明：当n2时，又因为 适合上式,故(nN*).当n2时,所以 是等差数列且d=4,(2),-得,12.(2009湖北)已知 是一个公差大于0的等差数列，且满足,(1)求数列 的通项公式；（2）若数列 和数列 满足等式:(n为正整数)，求数列 的前n项和,解析：(1)设等差数列 的公差为d,则依题设d0,由,得.由,得.由得,将其代入得,即,又d0,d=2,代入得(2)令,则有,由(1)得,则(n2),即当n2时，又当n=1时，,n=1,n2.,于是 即,第三节 等比数列,基础梳理,1.等比数列的定义一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个
11、数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示.2.等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an=a1qn-1,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比.3.等比中项如果 a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项.,4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am qn-m(n,mN*).(2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal=aman.(3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则(bn0)仍是等比数列.,5.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=
12、1时，Sn=na1;当q1时，Sn=a1+a1q+a1qn-1，即,6.等比数列前n项和的性质等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.,题型一 等比数列的基本运算【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论.解若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81.将代入，得q=1+2a1.又q0,qn=81,q1,an为递增数列.
13、an=a1qn-1=27.由、得q=3,a1=1,n=4.a2n=a8=137=2 187.学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.,解析:a9+a10=a,a9(1+q)=a,又a19+a20=b,a19(1+q)=b,由 得则a99(1+q)=x,由 得答案:,举一反三1.(2009潍坊模拟)在等比数列 中,(a0),则=_.,题型二 等比数列的判定【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*).(1)求证：数列an+1是等比数列;(2)求通项公式an.分析利用等比
14、数列的定义证明 为非零常数即可.解(1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1)an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,学后反思 等比数列的判定方法主要有：(1)定义法:(q是不为0的常数，nN*)；(2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*);(3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*);(4)前n项和公式法：是常数，且q0,q1).,举一反三2.(2010合肥质检)已知数列 的前n项和为,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是,
15、证明：数列 是公比为2的等比数列,即,n=1,n=1,n2,n2显然，当n2时，充分性:当 时，,所以对nN*,都有,即数列 是等比数列.必要性:因为 是等比数列，所以,即,解得,题型三 等比数列的性质【例3】(1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值；(2)已知一个等比数列的前四项之积为,第2、3项的和为,求这个等比数列的公比.,分析(1)利用等比数列的性质求解.（2）注意4个数成等比数列的设法.解（1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依题意，设这
16、四个数为a,aq,aq2,aq3,则学后反思在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.,举一反三3.(1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值.(2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析：（1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2，a17+a18+a19+a20=S424=124=16.（）a3a5=a24,a3a4a5=a34=8,a
17、4=2.又a2a6=a3a5=a24,a2a3a4a5a6=32,题型四 等比数列的最值问题【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比.(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式;(2)当n取何值时，f(n)有最大值？,分析（1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式.（2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.,解,当n=12时，f(n)有最大值为学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)
18、f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.,举一反三4.（2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn=（nN*）.(1)判断an是何种数列，并给出证明；(2)若a8+a13=m,求b1b2b20;(3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值.解析:(1)证明:设bn的公比为q,bn=3an,3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q,an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.,（2）a8+a13=m,由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m.(3)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易错警示,【例1】
19、(2010临沂质检)已知数列 中，,前n项的和为,对任意的自然数n2，是 与 的等差中项.（1）求 的通项公式;(2)求,错解(1)由已知得,又,得,两式相减得,故,又,故(2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列，故,错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列an是否为等比数列还需验证 是否等于，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.,正解(1)由已知，当n2时，.又,由、得(n2),上两式相减得,成等比数列，其中,即,当n2时，,即,n=1（2）当n2时，当n=1时，也符合上述公式.,【例2】
20、已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比,错解依题意，设这四个数为,aq,则,由得,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或,错解分析从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里.正解依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则 解得 或,考点演练,10.各项均为正数的等比数列 的前n项和为，若,求,解析：由等比数列性质得，,成等比数列，则 由 得,又 解得,11.(2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为,已知,(1)求首项 和公比q的值；（2）若，求n的值.,解析(1),解得(2)由,得 n=10.,12.(2009全国)设数列 的前n项和为,已知,(1)设,证明数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式.,解析：(1)由 及,得,即,当n2时，.-得=,又,是首项为,公比为q=2的等比数列.,（2）由(1)可得=3,数列 是首项为,公差为 的等差数列,即,
