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1、第8章 相量法,重点：,1正弦量的三要素及其表示方法2基尔霍夫定律的相量形式3电路元件的VCR的相量表示,发电厂、变电站输出信号,广电载波信号,4.1 正弦电压与电流,正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的量。,+,_,正半周,负半周,8.1 正弦量的基本概念,1.正弦量,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(w t+y),波形：,正弦量为周期函数 f(t)=f(t+kT),正弦电流电路,激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。,（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。,研究正弦电路的意义：,1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍
2、是同频率的正弦函数,优点：,2）正弦信号容易产生、传送和使用。,（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。,幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im,(2)角频率(angular frequency),2.正弦量的三要素,(3)初相位(initial phase angle)y,2,t,单位：rad/s，弧度/秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点，常用角度表示。,i(t)=Imcos(w t+y),同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,一般规定：|。,=0,=/2,=/2,例,已知正弦电
3、流波形如图，103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点右侧,幅度幅值（最大值）Im、有效值 I快慢周期T、频率f、角频率计时起点相位 t+y、初相位(初相角)y,3.正弦量的其它要素,4.正弦电流、电压的有效值,正弦电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。,正弦电流、电压有效值(effective value)定义,有效值也称均方根值(root-meen-square),物理意义,同样，可定义电压有效值：,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos(t+),同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
4、,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V，Um537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,周期T最小正周期T：频率f周期函数每秒变化的次数角频率相角（）随时间变化的速度 周期T、频率f、角频率之间的关系：,变化的快慢,正弦量的相位：t+正弦量的初始相位：同频率正弦量的相位差,变化的计时起点,5.同频率正弦量的相
5、位差(phase difference)。,设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i),则 相位差：j=(w t+y u)-(w t+y i)=y u-y i,j 0，u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；,j 0，i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。,等于初相位之差,规定：|(180)。,j 0，同相：,j=(180o)，反相：,特殊相位关系：,=p/2：正交u 领先 i p/2,不说 u 落后 i 3p/2；i 落后 u p/2,不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相
6、位差。,例,计算下列两正弦量的相位差。,解,不能比较相位差,两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。,例1：,例2：已知某正弦电压在t=0时为220V，其初相位为45度，试问它的有效值等于多少？例3：已知 两者相位差为75度，对不对？,复数A的表示形式,A=a+jb,1.复数及运算,8.2 正弦量的相量表示,两种表示法的关系：,或,复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算采用代数形式,若 A1=a1+jb1，A2=a2+jb2,图解法,定性运算-图解法,(2)乘除运算采用极坐标形式（指数形式）,除法：模相除，角相减。,例1.,乘法：模
7、相乘，角相加。,则:,解,下 页,上 页,返 回,例2.,(3)旋转因子：,复数 ejq=cosq+jsinq=1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,解,下 页,上 页,返 回,2)定性运算-图解法,(3)旋转因子：,复数 ejq=cosq+jsinq=1q,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度q，而模不变。故把 ejq 称为旋转因子。,故+j,j,-1 都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋转因子,下 页,上 页,返 回,2.相量法的提出：,电路方程是微分方程：,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值(或最大值)
8、就行了。因此，,实际是变换的思想,造一个复函数,对A(t)取实部：,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,A(t)包含了三要素：I、w，复常数包含了I,。,A(t)还可以写成,无物理意义,是一个正弦量 有物理意义,3.正弦量的相量表示,下 页,上 页,返 回,称 为正弦量 i(t)对应的相量。,相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,已知,例1,试用相量表示i,u.,解,下 页,上 页,返 回,在复平面上用向量表示的图形,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,相量图,4.相量法的应用,(1)同频率正弦量的加减,可得其相量关系
9、为：,下 页,上 页,返 回,KCL及KVL定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦交流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,例,也可借助相量图计算,首尾相接,下 页,上 页,返 回,2.正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,下 页,上 页,返 回,例,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题；,（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；,（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；,注,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法用来分析正弦稳态电路。,下 页,上 页,返 回,8.4 电路元件VCR的
10、相量形式,1.电阻元件VCR的相量形式,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,下 页,上 页,返 回,瞬时功率：,波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率,同相位,下 页,上 页,返 回,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,2.电感元件VCR的相量形式,下 页,上 页,返 回,感抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；,(2)感抗和频率成正比；,相量表达式:,XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)BL=1/L=1/2fL，感纳，单位为 S,感抗和感纳:,下 页,上 页,返 回,功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内
11、刚好互相抵消,波形图及相量图：,电压超前电流900,下 页,上 页,返 回,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,3.电容元件VCR的相量形式,下 页,上 页,返 回,XC=1/w C，称为容抗，单位为(欧姆)B C=w C，称为容纳，单位为 S,频率和容抗成反比,0，|XC|直流开路(隔直)w，|XC|0 高频短路(旁路作用),容抗与容纳：,相量表达式:,下 页,上 页,返 回,功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,波形图及相量图：,电流超前电压900,下 页,上 页,返 回,例1,试判断下列表达式的正、误：,L,下 页,上 页,返 回,例2,已知电流表读数：,解,例3,解,例4,解,下 页,上 页,返 回,例5,解,下 页,上 页,返 回,例6,图示电路I1=I2=5A，U50V，总电压与总电流同相，求I、R、XC、XL。,解,也可以画相量图计算,令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部,
