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1、,2.1 绝对值不等式,|a|=,几何意义:,|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离.,复习引入,1.实数 a 的绝对值|a|的定义是什么？,几何意义：,表示数轴上实数a,b对应的点A，B之间的距离，即线段AB的长度,复习引入,2.设a,b为任意两个实数，则|ab|的几何意义是什么？,3.设a,b为任意两个实数，则|a+b|的几何意义是什么？,3.实数 a 的绝对值|a|的运算性质,思考：|a|+|b|=|a+b|？|a|-|b|=|a-b|？,复习引入,|a|b|ab|,你能用恰当的方法在数轴上把|a|,|b|,|a+b|表示出来吗？,ab0,ab0,探究新知,a、b是实数，用恰当的方法
2、在数轴上把|a|、|b|、|a+b|表示出来，你能发现|a|+|b|与|a+b|之间的关系吗？,（1）ab0时,|a+b|a|+|b|,x,x,x,x,（2）ab0时,（3）ab=0时,|a+b|a|+|b|,|a+b|=|a|+|b|,探究新知,定理1:如果a,b是实数,则,|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.,？,1、如果把定理1中的实数a,b分别换为向量,能得出什么结果?,和的绝对值绝对值的和,当向量 不共线时，,O,x,y,当向量 共线时，,同向：,反向：,定理1的几何意义,当且仅当，等号成立.,由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为绝对值三角不等式.,
3、定理1:如果a,b是实数,则,|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.,和的绝对值绝对值的和,推广：,何时取等号？,何时取等号？,1、将定理1中的b换成-b会得到什么结论？,|a-b|a|+|b|，当且仅当ab 0时，等号成立,？,定理1:如果a,b是实数,则,|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.,和的绝对值绝对值的和,2、若a,b,c是实数,则|a-c|与|a-b|+|b-c|有什么关系？,分析:由于a-c,a-b与b-c都是实数,且a-c=(a-b)+(b-c),证明:根据定理1,有:,|a-c|=|(a-b)+(b-c)|,|a-b|+|b-c|,当且仅当(a
4、-b)(b-c)0时,等号成立.,则可使用定理1的结论进行证明.,整体代换思想,探究：你能给出定理2的几何解释吗？,数轴上任意一点到两点的距离的和，不小于这两点的距离。,定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)0时等号成立。,问：|a|-|b|与|a+b|，|a|-|b|与|a-b|有什么关系?,|a|-|b|a-b|，当且仅当ab 0，等号成立,|a|-|b|a+b|，当且仅当ab 0，等号成立,定理1的完善,由定理1知：,|a+b|a|+|b|，|a-b|a|+|b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|，,|a|-|b|a+b|a|+|b
5、|，,左边取等的条件为ab 0：右边取等的条件为ab 0,左边取等的条件为ab 0：右边取等的条件为ab 0,定理1的完善,例1:已知0|x-a|y-b|,求证:,|2x+3y-2a-3b|5,证明:,|2x+3y-2a-3b|,=|(2x-2a)+(3y-3b)|,|2(x-a)|+|3(y-b)|,=2|x-a|+3|y-b|,2+3=5,故|2x+3y-2a-3b|5,典例示范，应用新知,练习,1若a、bR，则以下命题正确的是()A|a|b|ab|a|b|B|a|b|ab|a|b|C当且仅当ab0时，|ab|a|b|D当且仅当ab0时，|ab|a|b|,A,2设a，b是满足ab0的实数，
6、则下列不等式中正确的是()A|ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b|D|ab|a|b|3若|ab|c，则下列不等式：abc；abc；acb；|a|c|b|；|a|b|c.其中，一定成立的个数是()A1个 B2个C3个 D4个,B,B,4.函数y=|x-4|+|x-6|的最小值为（）A.2B.C.4D.65.方程 的解集为_ 不等式 的解集为_,A,答案：x|-30 x|x2或x0,6不等式 1成立的充要条件是_,(3,8),|a|b|,5 1,8若1a8，4b2，则a|b|的取值范围是_,7若a，bR，且|a|3，|b|2，则|ab|的最大值是_，最小值是_,9.求函数y=|x-3|-
7、|x+1|的最大值和最小值.,解：|x-3|-|x+1|(x-3)-(x+1)|=4,-4|x-3|-|x+1|4.即ymax=4,ymin=-4.,3含有绝对值的不等式的性质定理可以推广，如：|a1a2a3|a1|a2|a3|；|a1a2an|a1|a2|an|；|a|b|ab|a|b|.,4在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时一定要注意符号成立的条件：|ab|a|b|(ab0)；|ab|a|b|(ab0)；|a|b|ab|(ab0)；|a|b|ab|(ab0).,4求函数f(x)|x1|x1|的最小值解：|x1|x1|1x|x1|1xx1|2，当且仅当(1x)(1x)0，即1x1时取等
8、号当1x1时，函数f(x)|x1|x1|取得最小值2.,5若对任意实数，不等式|x1|x2|a恒成立，求a的 取值范围解：a|x1|x2|对任意实数恒成立，a|x1|x2|min.|x1|x2|(x1)(x2)|3，3|x1|x2|3.|x1|x2|min3.a3.即a的取值范围为(，3),公路牌,例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？,.10,.20,.x,分析:如果生活区建于公
9、路路碑的第x km处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km.,那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|),故实际问题转化为数学问题:,当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.,解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则:,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),S(x)=2(|x-10|+|x-20|),方法1：去绝对值变成分段函数:,S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=,60-4x,0 x10,20,10 x20,4x-60,x20,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),|x-10|+
10、|x-20|(x-10)-(x-20)|=10,当且仅当(x-10)(x-20)0时取等号.,又解不等式:(x-10)(x-20)0得:10 x20,故当10 x20时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.,方法2：定理1,S(x)=2(|x-10|+|x-20|),|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|(x-10)+(20-x)|=10,当且仅当(x-10)(20-x)0时取等号.,又解不等式:(x-10)(20-x)0 得:10 x20,故当10 x20时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.,方法3：定理2,反思盘点，整合新知,1.两个定理及拓展：定理1、定理2及几何意义；,及两边取等号的条件,2.三种思想：分类讨论、数形结合、整体代换,精选作业，拓展新知：,1.基础练习（必做）：课本P19 第2，4，5,2.能力提升（选作）：,3.预习准备：课本P15-19 绝对值不等式的 解法,
