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1、,2.2 随机变量的数字特征,怎样粗线条地描述r.v 的特性,简单明了、特征鲜明、直观实用,随机变量的概率特性,分布函数,密度函数,分 布 律,？,要求,数学期望,方差,甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：,怎样评估两人的成绩？,甲：,每枪平均环数为,可见甲的射击水平比乙略好,例,分析,两人的总环数分别为,(环),乙：,(环),甲：,乙：,(环),(环),实际背景,某班级某课程考试的平均成绩,电子产品的平均无故障时间,某地区的日平均气温和日平均降水量,某地区水稻的平均亩产量,某地区的家庭平均年收入,怎样定义 r.v 的平均值概念,平均值的概念广泛存在,例如,某国家国民的
2、平均寿命,？,甲、乙两射手进行打靶训练，每人各打了100发子弹，成绩如下：,怎样评估两人的成绩？,即平均环数为,例,进一步分析,记甲每枪击中的环数为 因为射击次数,较多,故可认为 的分布律为,则甲射手每枪平均环数为,引例2 加权平均成绩,为该生各门课程的算术平均成绩.,设某学生四年大学各门功课 成绩分别为,显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种,而,为该生的加权平均成绩.,平均值的意义.,通过上述2个引例,我们可以给出如下定义,一、离散型随机变量的数学期望,记为EX,即,定义2.6 设离散型随机变量 X的分布律为,注1 EX是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体
3、现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值,也称均值.,注2 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改变.,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则X落在小区间xi,xi+1)的概率是,小区间xi,xi+1),阴影面积近似为,由于xi与xi+1很接近,所以区间xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,该离散型r.v 的数学期望是,定义2.7 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f(x),如果
4、积分,绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望,即,三、随机变量函数的数学期望,1.问题的提出,X,E(X),数学期望,f是连续函数,f(X)是随机变量,如:aX+b,X2等等.,f(X),数学期望,如何计算随机变量函数的数学期望?,方法1(定义法):f(X)是随机变量,按照数学期望的定义计算Ef(X).,2.一维随机变量函数数学期望的计算,关键:由X的分布求出f(X)的分布.,难点:一般f(X)形式比较复杂的,很难求出其分布.,(1)当X为离散型时,它的分布率为P(X=xk)=pk;,(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若,定理2.1 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数
5、),方法2(公式法):,该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,四、数学期望的性质,线性设 为任意的随机变量函数，存在，则,特别地，取 有,再取有,数学期望体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但影响我们做决定的因素不仅仅有数学期望.,五、随机变量的方差,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又
6、如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.,1、方差的定义,记为D(X)或Var(X)，即,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大，,方差刻划了随机变量的取值对
7、于其数学期望的离散程度.,若X的取值比较集中，则方差D(X)较小，,因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。,E(X)的代表性差.,以E(X)作为随机变量的代表性好；,Remark,1方差描述的是随机变量 对于其中心的偏离程度，通常可用以衡量风险程度.,2方差讨论的是偏离程度的平方，有时对偏差有所夸大；但较之于绝对离差 方差更便于用微积分进行研究.,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,2.随机变量方差的计算,(1)利用定义计算,证明,(2)利用公式计算,证明,3.方差的性质,(1)设 C 是常数,则有,(2)设 X 是一个随机变量,C 是常数,则有
8、,证明,设,证明:,达到最小值.,证,依题,有,又因,即 的最优估计为,随机变量的矩,Def 2.9设 为随机变量，为正整数，若 存在（即），则称 为 的 阶原点矩，为 的 阶绝对矩.,Th 2.2设随机变量 的 阶矩 存在，则 的 阶矩 存在.,Cor 若 存在，则 存在，特别地 存在.,Def 2.10设 为随机变量，为正整数，若 存在，则称 为 的 阶中心矩,为 的 阶绝对中心矩.,马尔可夫不等式,Th 2.3设 为随机变量，函数 且 存在，则 有,马尔可夫不等式设 的 阶矩存在，则 有,切比雪夫不等式,切比雪夫不等式设 的方差存在，则 有,Corollary,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式.,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111.,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)|的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,
