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1、第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应2.2 冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应 二、阶跃响应,2.3 卷积积分 一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性,点击目录，进入相关章节,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续
2、系统的响应,2.1 LTI连续系统的响应,一、微分方程的经典解,y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t),2.1 LTI连续系统的响应,微分方程的经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）,齐次解是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。,例 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=
3、2，y(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。,特解的函数形式与激励函数的形式有关。P43表2-1、2-2,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,2.1 LTI连续系统的响应,解:(1)特征方程为2+5+6=0 其特征根1=2，2=3。齐次解为 yh(t)=C1e 2t+C2e 3t由表2-2可知，当f(t)=2e t时，其特解可设为 yp(t)=Pe t将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得 P=1于是
4、特解为 yp(t)=e t全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1 解得 C1=3，C2=2 最后得全解 y(t)=3e 2t 2e 3t+e t,t0,（2）齐次解同上。当激励f(t)=e2t时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为 yp(t)=(P1t+P0)e2t 代入微分方程可得 P1e-2t=e2t 所以 P1=1 但P0不能求得。全解为 y(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t=(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t将初始条
5、件代入，得 y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得 C1+P0=2,C2=1 最后得微分方程的全解为 y(t)=2e2t e3t+te2t,t0上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,2.1 LTI连续系统的响应,2.1 LTI连续系统的响应,二、关于0-和0+初始值,若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(
6、0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。,例：描述某系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-t0+区间等号两端(t)项的系数应相等。由于等号右端为2(t)，
7、故y”(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t=0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。但y(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有(t)项。由于y(t)中不含(t)，故y(t)在t=0处是连续的。故 y(0+)=y(0-)=2,2.1 LTI连续系统的响应,对式(1)两端积分有,由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且y(t)在t=0连续，故,于是由上式得 y(0+)y(0-)+3y(0+)y(0-)=2考虑 y(0+)=y(0-)=2，所以 y(0+)y(0-)=2，y(0+)=y(0-)+2=2,由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在
8、t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。,2.1 LTI连续系统的响应,2.1 LTI连续系统的响应,三、零输入响应和零状态响应,y(t)=yx(t)+yf(t),也可以分别用经典法求解。注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yx(j)(0+),yf(j)(0+)(j=0，1，2，n-1)的计算。y(j)(0-)=yx(j)(0-)+yf(j)(0-)y(j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yf(j)(0-)=0yf
9、(j)(0+)的求法下面举例说明。,2.1 LTI连续系统的响应,例：描述某系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。,解：（1）零输入响应yx(t)激励为0，故yx(t)满足 yx”(t)+3yx(t)+2yx(t)=0 yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2 yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=0该齐次方程的特征根为1，2，故 yx(t)=Cx1e t+Cx2e 2t 代入初始值并解得系数为Cx1=4,Cx2=2，代入得 yx(t)=4e t 2e 2t,t 0
10、,2.1 LTI连续系统的响应,（2）零状态响应yf(t)满足 yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=2(t)+6(t)并有 yf(0-)=yf(0-)=0由于上式等号右端含有(t)，故yf”(t)含有(t)，从而yf(t)跃变，即yf(0+)yf(0-)，而yf(t)在t=0连续，即yf(0+)=yf(0-)=0，积分得 yf(0+)-yf(0-)+3yf(0+)-yf(0-)+2,因此，yf(0+)=2 yf(0-)=2,对t0时，有 yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=6不难求得其齐次解为Cf1e-t+Cf2e-2t，其特解为常数3，于是有 yf(t)=Cf1e-t+Cf2e-
11、2t+3代入初始值求得 yf(t)=4e-t+e-2t+3，t0,2.2 冲激响应和阶跃响应,2.2 冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t),例1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。,2.2 冲激响应和阶跃响应,因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，h
12、(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得 h(0+)-h(0-)+5h(0+)-h(0-)+6=1,考虑h(0+)=h(0-)，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0,h(0+)=1+h(0-)=1对t0时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以 h(t)=(e-2t-e-3t)(t),2.2 冲激响应和阶跃响应,例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求
13、其冲激响应h(t)。,解 根据h(t)的定义 有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0 先求h(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含(t)故令 h(t)=a(t)+p1(t)pi(t)为不含(t)的某函数 h(t)=a(t)+b(t)+p2(t)h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)代入式(1)，有,2.2 冲激响应和阶跃响应,a”(t)+b(t)+c(t)+p3(t)+5a(t)+b(t)+p2(t)+6a(t)+p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c+5b+6a
14、)(t)+p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)=”(t)+2(t)+3(t),利用(t)系数匹配，得 a=1，b=-3，c=12所以 h(t)=(t)+p1(t)（2）h(t)=(t)-3(t)+p2(t)（3）h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+p3(t)（4）,对式(3)从0-到0+积分得 h(0+)h(0-)=3对式(4)从0-到0+积分得 h(0+)h(0-)=12故 h(0+)=3，h(0+)=12,2.2 冲激响应和阶跃响应,微分方程的特征根为 2，3。故系统的冲激响应为 h(t)=C1e2t+C2e3t，t0代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得C1=3，
15、C2=6,所以 h(t)=3e2t 6e3t,t 0结合式(2)得 h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t),对t0时，有 h”(t)+6h(t)+5h(t)=0,二、阶跃响应,g(t)=T(t)，0,由于(t)与(t)为微积分关系，故,2.3 卷积积分,2.3 卷积积分,一、信号的时域分解与卷积积分,1.信号的时域分解,(1)预备知识,问 f1(t)=?p(t),直观看出,2.3 卷积积分,(2)任意信号分解,“0”号脉冲高度f(0),宽度为，用p(t)表示为：f(0)p(t),“1”号脉冲高度f(),宽度为，用p(t-)表示为：f()p(t-),“-1”号脉冲高度f(-)、宽度为，用
16、p(t+)表示为：f(-)p(t+),2.3 卷积积分,2.任意信号作用下的零状态响应,根据h(t)的定义：,(t),h(t),由时不变性：,(t-),h(t-),f()(t-),由齐次性：,f()h(t-),由叠加性：,f(t),yf(t),卷积积分,2.3 卷积积分,3.卷积积分的定义,已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分,为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。,2.3 卷积积分,例：f(t)=e t,（-t)，h(t)=(6e-2t 1
17、)(t)，求yf(t)。,解：yf(t)=f(t)*h(t),当t t时，(t-)=0,2.3 卷积积分,二、卷积的图解法,卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为得 f1()，f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-)（3）乘积：f1()f2(t-)（4）积分：从 到对乘积项积分。注意：t为参变量。下面举例说明。,2.3 卷积积分,例f(t),h(t)如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)。,解 采用图形卷积。,f(t-),f()反折,f(-)平移t,t 0时,f(t-)向左移,f(t-)h()=0，故 yf(t)=0,0t 1 时,f(t-)向右移,1t 2时
18、,3t 时,f(t-)h()=0，故 yf(t)=0,2t 3 时,0,2.3 卷积积分,图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。,例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？,f1(-),f1(2-),解：,（1）换元,（2）f1()得f1(),（3）f1()右移2得f1(2),（4）f1(2)乘f2(),（5）积分，得f(2)=0（面积为0）,2.4 卷积积分的性质,2.4 卷积积分的性质,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛
19、的（或存在的）。,一、卷积代数,满足乘法的三律：交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.分配律：f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.结合律：f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t),2.4 卷积积分的性质,二、奇异函数的卷积特性,1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t),证：,f(t)*(t t0)=f(t t0),2.f(t)*(t)=f(t),证：,f(t)*(n)(t)=f(n)(t),3.f(t)*(t),(t)*(t)=t(t),2.4 卷积积分的性质,三、卷积的微积分性质,1.
20、,证：上式=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t),2.,证：上式=(t)*f1(t)*f2(t)=(t)*f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(t),3.在f1()=0或f2(1)()=0的前提下，f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t),2.4 卷积积分的性质,例1：f1(t)=1，f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t),解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)*f1(t)=,注意：套用 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0 显然是错误的。,例
21、2：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t),解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t),f1(t)=(t)(t 2),f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2),2.4 卷积积分的性质,解：,f1(t)=(t)(t 2),f1(t)*f2(t)=(t)*f2(t)(t 2)*f2(t),(t)*f2(t)=f2(-1)(t),四、卷积的时移特性,若 f(t)=f1(t)*f2(t)，则 f1(t t1)*f2(t t2)=f1(t t1 t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t t1 t2)=f(t t1 t2),前例：f1
22、(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t),利用时移特性，有(t 2)*f2(t)=f2(-1)(t 2),f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2),2.4 卷积积分的性质,例：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t),解：f1(t)=2(t)2(t 1)f2(t)=(t+1)(t 1),f1(t)*f2(t)=2(t)*(t+1)2(t)*(t 1)2(t 1)*(t+1)+2(t 1)*(t 1),由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t 1)(t 1)2 t(t)+2(t 2)(t 2),2.4 卷积积分的性质,求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。,2.4 卷积积分的性质,
