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1、,第 5 章 离散信号与系统的时域分析,5.1 离散时间基本信号 5.2 卷积和 5.3 离散系统的算子方程 5.4 离散系统的零输入响应 5.5 离散系统的零状态响应 5.6 系统差分方程的经典解法,连续时间系统用于传输和处理连续时间信号。用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系统，简称离散系统。,数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通信系统的核心组成部分也都是离散系统。鉴于离散系统在精度、可靠性、可集成化等方面，比连续系统具有更大的优越性，因此，近几十年来，离散系统的理论研究发展迅速，应用范围也日益扩大。在实际工作中，人们根据需要往往把连续系统与离散系统组合起来使用，这
2、种系统称为混合系统。,5.1.1 离散时间信号,5.1 离散时间基本信号,离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量(k=0,1,2,)的函数。信号仅在规定的离散时间点上有意义，而在其它时间则没有定义。,鉴于 按一定顺序变化时，其相应的信号值组成一个数值序列，通常把离散时间信号定义为如下有序信号值的集合：,离散时间信号,工程应用中，常将定义在等间隔离散时刻点上的离散时间信号称为离散时间序列，简称序列。,单位脉冲序列单位脉冲序列定义为,单位脉冲序列,5.1.1 离散时间基本信号,位移单位脉冲序列,2.正弦序列,正弦序列的一般形式为,讨论正弦序列周期性,假设正弦信号 的周期为T0，取样间隔为Ts
3、，得到的正弦序列可表示为,式中，将它代入 可得,对于连续时间正弦信号,按几种不同间隔Ts抽样得到的正弦序列。,时,(1)若A和 均为实数，则 为实指数序列。,3.指数序列,指数序列的一般形式为,连续时间虚指数信号 是周期信号。然而，离散 时间虚指数序列 则只有满足一定条件时才是周期的，否则是非周期的。,(3)A和均为复数，且,令,4.Z序列,式中，Z为复数。通常，称序列值为复值的序列为复序列。,根据欧拉公式，还可写成,Z序列的一般形式为,若将z表示为极坐标形式,5.2.1 卷积和的定义,5.2 卷 积 和,如果f1(k)为因果序列,如果f2(k)为因果序列,如果f1(k)和f2(k)均为因果序
4、列,例 5.2 1 设f1(k)=e-k(k)，f2(k)=(k),求f1(k)*f2(k)。,解 由卷积和定义式得,考虑到f1(k)、f2(k)均为因果序列，,与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的翻转、平移、相乘、求和等四个基本步骤。,对于两个有限长序列的卷积和计算，可以采用下面介绍的更为简便实用的方法计算。,性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即,5.2.2 卷积和的性质,性质 2 任一序列f(k)与单位脉冲序列(k)的卷 积和等于序列f(k)本身，即,性质 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，则,式中k1,k2均为整数。,例 5.2-3 已知序
5、列x(k)=(3)-k(k)，y(k)=1,-k,试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即,解 先计算x(k)*y(k)，考虑到x(k)是因果序列,求解过程中对k没有限制，故上式可写为x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5-k,例 5.2-4 已知序列 f1(k)=2-(k+1)(k+1)和 f2(k)=(k-2)，试计算卷积和 f1(k)*f2(k)。,解 用下面两种方法计算。方法一：图解法。,f1(k)=2-(k+1)(k+1)f2(k)=(k-2),方法二：应用卷积和性质,f1(k)=2-(k+1)(k+1)f2(k)=(k-2),5.2.3 常用序列的卷积和公式,离散
6、系统的输入输出模型,5.3.1 LTI离散时间系统,5.3 离散系统的算子方程,离散时间系统在k0时刻的状态是指 满足如下条件的数目最少的一组数据x1(k0),x2(k0),xn(k0)。这组 数据连同k0k上的输入f(k)就可以惟一地确定k时刻的输出y(k)，而不需具体知道k 0以前的输入情况。n称为离散系统的阶数。,1、离散时间系统的状态和状态变量。,在实际工作过程中，系统的状态x1(k0),x2(k0),xn(k0)随k0不同 而变化，我们把描述系统状态变化的变量称作状态变量，它是一组序 列信号，记为x1(k),x2(k),xn(k)。,设k0为初始观察 时刻，则可将系统的输入区分为两部
7、分，称k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入信号或简称输入信号。,2、离散时间系统的零输入响应、零状态响应和完全响应,我们将仅由k0时刻的初始状态或历史输入信号引起的响应称作零输入响应，记为yx(k)；仅由当前输入信号引起的响应称作零状态响应，记为yf(k)。而将零输入响应、零状态响应之和 称作系统的完全响应，记为y(k)。,3、离散时间系统的齐次性、叠加性和线性特性。,f(k)y(k)，f1(k)y1(k)，f2(k)y2(k)齐次性是指对于任意常数a有 af(k)ay(k)叠加性是指对于输入f1(k)、f2(k)和输出y(k)，有 f1(k),f2(k)y1(k)+
8、y2(k)系统的线性特性可表示为 af1(k),bf2(k)ay1(k)+by2(k),离散时间系统的响应可分解为零输入响应和零状态响应两部分,线性离散时间系统,y(k)=yx(k)+yf(k),零输入响应与初始状态或历史输入信号满足齐次性和叠加性。,零状态 响应与当前输入信号之间满足齐次性和叠加性。,4、时不变离散时间系统和时变离散时间系统。,因果离散时间系统和非因果离散时间系统。如果系统始终不会在输入加入之前产生响应，这种系统称为因果系统，否则称为非因果系统。,例如，有三个系统的输入输出关系如下：系统 1 y(k)=kf(k)系统 2 y(k)=|f(k)|系统 3 y(k)=2f(k)+
9、3f(k-1),系统 1 是线性时变离散时间系统，系统 2 是非线性时不变离散时间系统，系统 3 是线性时不变离散时间系统。,一个n阶线性时不变离散时间系统，若其输入为f(k)，全响应为y(k)，那么，描述该系统输入输出关系的数学模型是n阶线性常系数差分方程，它可以表 示为,式中，ai(i=0,1,n-1)，bj(j=0,1,m)均为常数。,在离散系统分析中，我们引入E算子(超前算子)，表示将序列提前一个单位时间的运算；E-1算子(迟后算子)，表示将序列延迟一个单位时间的运算。,应用中，统称E算子和E-1算子为差分算子。,5.3.2 离散系统算子方程,利用差分算子，可将差分方程式写成下述形式：
10、,根据差分算子的定义，容易证明：,可见，对于同一序列而言，超前算子与迟后算子的作用可以互相抵消，或者说作用于同 一序列的差分算子公式中，分子分母中的算子公因子允许消去。,例 5.3-1 设描述某离散时间系统的差分方程为,求其传输算子H(E),并画出系统的模拟框图。,解 写出系统的算子方程为,系统的传输算子,例 5.3-2 某离散时间系统的输入输出算子 方程为,式中：,试画出系统的模拟框图。,解 选择中间变量x(k)，并令,一个描述n阶线性时不变离散时间系统的差分方程，若应用差分算子E，则可表示为,5.4 离散系统的零输入响应,假定初始观察时刻为k0，离散系统的零输入响应就是k0及k0以后的输入
11、为零时，仅由k0以前的输入或k0时刻的状态引起的响应，常记为yx(k)。,或者简写为,1、H(E)仅含有单个极点r,5.4.1 简单系统的零输入响应,表明，序列yx(k)是一个以r为公比的几何级数,比较一阶齐次微分方程解c1et 令t=kT，c1et=c1ekT=c1(eT)k=c1rk，其中 eT=r,待定系数值c1,c2,cg由系统零输入响应的初始条件确定。,2、H(E)含有重极点,代入初始条件，,令0取极限，使得H(E)的两个极点相重合，,或,同样，如果传输算子H(E)仅含有r的d重极点，,常数c0,c1,cd-1由系统零输入响应的初始条件确定。,5.4.2 一般系统的零输入响应,n阶L
12、TI离散系统的零输入响应为,第一步，求解方程A(E)=0，得到H(E)的相异极点r1,r2，,rg及相应的重数d1,d2,dg。,由H(E)求零输入响应yx(k)的具体步骤如下：,第四步，由零输入响应初始条件确定各个待定系数cij，并最后求出系统的零输入响应yx(k)。,例 5.4-1 已知离散时间系统传输算子,及初始条件yx(0)=12，yx(1)=4.9，yx(2)=2.47，yx(3)=1.371。求该系统的零输入响应。,解 因为传输算子H(E)极点为r1=0.2，r2=0.3，r3=0.5(二重极点)。所以，可得,上式中令k=0,1,2,3,代入初始条件后得到,求解得c10=5,c20
13、=3,c30=4,c31=2。,与连续系统中的H(p)一样，H(E)中若有复极点，则必定共轭成对。若设H(E)的共轭复极点为,式中：,例 5.4-2 设描述离散时间系统的差分方程 为,系统初始条件为yx(0)=2,yx(1)=3。求系统的零输入响应。,解 系统传输算子,其极点是一对共轭复极点：,利用初始条件，得到,在连续系统的时域法分析中(1)将一般信号分解为众多基本信号单元的线性组合；(2)求出基本信号激励下系统的零状态响应；(3)导出一般信号激励下系统零状态响应的计算公式。,5.5 离散系统的零状态响应,设系统的初始观察时间为k0，所谓离散时间系统的零状态响应，是指该系统在k0时刻的状态或
14、者历史输入为零时，仅由kk0时加入的输入所引起的响应，通常记为yf(k)。,5.5.1 离散信号时域分解,另一种分解形式,设系统初始观察时刻k0=0，则离散系统对于单位脉冲序列(k)的零状态响应称为系统的单位脉冲响应，或简称为单位响应，记作h(k)。,5.5.2 基本信号(k)激励下的零状态响应,LTI离散系统的单位响应可由H(E)求出。,根据系统的因果性，当k-1时，有h(k)=0。以此为初始条件，进行递推运算。,例 5.5-2 重极点情况,设系统传输算子,则有,同理,d阶重极点相应的单位响应,设LTI离散系 统的传输算子为,求单位响应h(k)的具体步骤是：第一步，将H(E)除以E得到,下面
15、 归纳由传输算子H(E)计算单位响应的一般方法,第二步，将 展开成部分分式和的形式；,第三步，将得到的部分分式展开式两边乘以E，得到H(E)的部分分式展开式,第四步，求得各Hi(E)对应的单位响应分量hi(k)；第五步，求出系统的单位响应,例 5.5-3 求下图 所示离 散系统的单位响应h(k)。,相应的传输算子为,由于,系统的单位响应,将 进行部分分式展开，得,例 5.5-4 如图 离散系统，求其单位响应h(k)。,系统的输入输出算子方程,(2)求单位响应。,系统的单位响应,例 5.5-5 设描述离散时间系统的差分方程为,求系统的单位响应。,解 由已知差分方程得系统传输算子,设离散时间系统的
16、输入为f(k)，对应的零状态响应为yf(k)。,5.5.3 一般信号f(k)激励下的零状态响应,系统在一般信号f(k)激励下的零状态响应为,可将离散时间系统的完全响应表示为,例 5.5-6 已知离散系统的输入序列f(k)和 单位响应h(k)如下：,求系统的零状态响应yf(k)。,解,由系统的时不变特性，得,系统的零状态响应为,例 5.5-7 描述某离散系统的差分方程 为y(k)-0.7y(k-1)+0.12y(k-2)=2f(k)-f(k-1)若输入f(k)=(0.2)k(k)，零输入响应初始条件yx(0)=8,yx(1)=3。试求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。,解 系统的算子方程,
17、其传输算子为,先求系统的零输入响应yx(k)。,将初始条件代入上式，有,解得c1=2,c2=6。,零输入响应,再求系统的零状态响应yf(k)。需要求出系统的单位响应。,系统的完全响应,1.齐次解,设n阶LTI离散系统的传输算子H(E)为,相应的输入输出方程可用后向差分方程表示为,5.6 系统差分方程的经典解法,式中，ai(i=0,1,n-1)、bj(j=0,1,m)均为常数。当式中的f(k)及其各移位项均为零时，齐次方程,通常，齐次解由形式为ck的序列组合而成，将ck代入上式，得到,消去常数c，并同乘n-k，得,的解称为齐次解，记为yh(k)。,表 5.2 特征根及其对应的齐次解,2.特解,表
18、 5.3 自由项及其对应的特解,如果一个n阶差分方程，特征根1为r重根，其余特征根均为单根，那么，该差分方程的完全解可 表示为,式中的各系数ci,cj由差分方程的初始条件，即n个独立的y(k)值确定。,例 5.6 1 某离散时间系统的输入输出方程 为,已知f(k)=cos(k)(k),y(0)=15,y(2)=4。试求k0时系统的完全响应y(k)。,因输入,由表5.3可设特解为,相应右移序列为,代入原差分方程，得,比较方程两边系数，求得P=2，于是有,方程的完全解,与连续系统响应类似，也称差分方程的齐次解为系统的自由响应，称其特解为强迫响应。本例中，特征根|1,2|1，其自由 响应随k的增大而逐渐衰减为零，故为系统的暂态响应。而强迫响应为 有始正弦序列，是系统的稳态响应。,作 业,5.23（3）5.26,
