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1、4.3 空间直角坐标系,学习目标:,1、空间直角坐标系的建立;2、空间直角坐标系的划分;3、空间点的坐标;4、特殊位置的点的坐标;5、空间点的对称问题。,4.3.1 空间直角坐标系,x,O,数轴上的点可以用唯一的一个实数表示,-1,-2,1,2,3,A,B,数轴上的点,思考：,平面中的点可以用有序实数对(x，y)来表示点,x,y,P,O,x,y,(x,y),平面坐标系中的点,思考：,思考：,在教室里同学们的位置坐标怎么表示？,y,O,x,在教室里同学们的位置片面坐标,讲台,y,O,x,z,【思考】教室里某位同学的头所在的位置怎么表示？,以单位正方体 的顶点O为原点,分别以射线OA，OC，的方向
2、为正方向,以线段OA,OC,的长为单位长度,建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系。,一、空间直角坐标系：,点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、和 zox平面,右手直角坐标系,o,1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴,2.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半,二、空间直角坐标系的画法：,思考：,空间直角坐标系中任意一点的位置如何表示？,三、空间点的坐标：,设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交
3、x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R,M,O,三、空间点的坐标：,设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示,(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z),其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标,M,O,过点M作与 x 轴垂直的平面，交 x 轴于点P,得M点横坐标 x,过点M作与 y轴垂直的平面，交 y 轴于点Q，得点M的纵坐标 y,过点M作与 z 轴垂直的平面，交 z 轴于点R，得点M的竖坐标 z,(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),三、空间点的坐标：,空间
4、中点的坐标（方法二）,过点M作与 平面 xoy 垂 直的垂线MA，垂足为A,过点A作与 x 轴垂 直的垂线AP，垂足为P,过点A作与 y 轴垂 直的垂线AQ，垂足为Q,过点M作与 z 轴 垂 直的垂面，交 z 轴于R,(x,y,z),空间的点,有序数组,想一想：在空间直角坐标下，如何找到给定坐标的空间位置？D（1，3，4）,O,在空间直角坐标系中标出D点：D(1,3,4),1,3,4,D,D,小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有一个坐标等于0。,(0,0,0),(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z),四、特殊位置的
5、点的坐标：,xoy平面上的点竖坐标为0,yoz平面上的点横坐标为0,xoz平面上的点纵坐标为0,x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0,z轴上的点横坐标和纵坐标都为0,y轴上的点横坐标和竖坐标都为0,(1)坐标平面内的点:,(2)坐标轴上的点:,规律总结：,练习,1、如下图，在长方体OABC-DABC中，|OA|=3，|OC|=4，|OD|=3，AC于BD相交于点P.分别写出点D，B，P的坐标.,P,(0,0,3),(3,4,3),(3/2,2,3),已知点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),且线段P1P2的中点为M(x,y,z),则,中点坐标公式,课本136页 2,在空间直角坐标系中
6、，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):,空间中点坐标公式：,练习,Q,2、如图，棱长为a的正方体OABC-DABC中，对角线OB于BD相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.,(0,0,0),(a,a,a),课本136页 3,思考：,点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,(1)与点M关于x轴对称的点:,(2)与点M关于y轴对称的点:,(3)与点M关于z轴对称的点:,(4)与点M关于原点对称的点:,(x,-y,-z),(-x,y,-z),(-x,-y,z),(-x,-y,-z),五、空间点的对称
7、问题：,规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。,思考：,点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点,(5)与点M关于平面xOy的对称点:,(x,y,-z),(-x,y,z),(x,-y,z),五、空间点的对称问题：,规律：关于谁对称谁不变，其余的相反。,(6)与点M关于平面yOz的对称点:,(7)与点M关于平面zOx的对称点:,对称问题,在空间直角坐标系中，点M(1,-2,3),1)关于xoy平面的对称点是M/(),2)关于yoz平面的对称点是M/(),3)关于xoz平面的对称点是M/(),4)关于x轴的对称点是M/(),5)关于y轴的对称点是M/(),6)关于z轴的对称点是M/(),
8、7)关于原点的对称点是M/(),关于谁对称谁不变，其余的相反,1,-2,-3,-1,-2,3,1,2,3,1,2,-3,-1,-2,-3,-1,2,3,-1,2,-3,4.3.2 空间中两点的距离公式,长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？,在空间直角坐标系中点O(0，0，0)到点P(x0，y0，z0)的距离，怎么求？,在空间直角坐标系中,点P(x，y，z)到点xOy平面的距离，怎么求？,在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离，怎么求？,x,y,P1(x1,y1),P2(x2,y2),O,已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则点P1和P2的距离|P1P
9、2|为,复习,思考？,类比平面直角坐标系中两点间距离公式及其推导，你能猜想一下空间两点P1（x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式吗？,空间点到原点的距离,O,在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：,N,M,H,例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求:(1)三角形三边的边长；,解:,例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)，B(3,3,4)，C(3,1,6)，求:(2)BC边上中线AM的长。,解:,解:,原结论成立.,例2:求证以,三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.,设P点坐标为
10、,所求点为,例3:设P在x轴上，它到 的距离为到点 的距离的两倍，求点P的坐标。,解:,例4:已知，在平面Oyz上是否存在一点C，使 为等边三角形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。,解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：,例4:已知，在平面Oyz上是否存在一点C，使 为等边三角形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。,所以存在一点C，满足条件.,练习,1、在空间直角坐标系中，求点A、B的中点，并求出它们之间的距离：A(2,3,5)B(3,1,4)(2)A(6,0,1)B(3,5,7),2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等。,练习,M,N,2、如
11、图，正方体OABC-DABC的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC|，求MN的长.,1(2012北京东城高一检测)在空间直角坐标系中，点M(2,4，3)在xOz平面上的射影为M1点，则M1关于原点的对称点坐标是_解析M点在xOz平面上的射影M1坐标为(2,0，3)，M1关于原点的对称点为(2,0,3)答案(2,0,3),【练习】,2如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-ABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为(),解析A(a,0，a)，C(0，a,0)，E点坐标为，而F.|EF|a，答案B,A.a B.a Ca D.a,3已知点A(4,2,3)关于坐标原点的
12、对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标解点A(4,2,3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，2，3)，点A1(4，2，3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，3)，点A2(4,2，3)关于z轴的对称点A3的坐标为(4，2，3)，AA3中点M的坐标为(4,0,0),4(创新拓展)如图所示，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动,(1)当P是AB的中点，且2|CQ|QD|时，求|PQ|的值；解(1)正方体的棱长为1，P是AB的中点，P，2|CQ|QD|，|CQ|，Q.由两点间的距离公式得|PQ|,【总一总成竹在胸】,1、空间直角坐标系的建立(三步);,2、空间中点的坐标(一一对应);,3、特殊位置的点的坐标(表格);,4、空间点的对称问题。,5、空间中两点的距离公式。,再见！,
