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1、第二章 拉伸与压缩,2-1 轴向拉伸与压缩的概念,受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作用线与杆轴线重合,CL2TU1,变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横 截面沿轴线平行移动。,2-2 轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应力,应用截面法,拉伸为正，压缩为负,CL2TU2,一、内力 轴力图,例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力,解：,CL2TU3,轴力图,二、轴向拉伸或压缩杆件的应力,1、横截面上的应力,CL2TU2,平面假设：变形前为平面的横截面变形后 仍为平面。,圣维南(Saint Venant)原理：作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替
2、。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响，在离开力系作用区域较远处，应力分布几乎相同,2、斜截面上的应力,CL2TU2,CL2TU2,2-4 材料拉伸时的力学性质,一、低碳钢的拉伸实验,CL3TU1,标准试件,标距，通常取 或,液压式万能试验机,底座,活动试台,活塞,油管,CL3TU5,1.弹性阶段 oab,弹性变形：,外力卸去后能够恢复的变形,塑性变形（永久变形）：,外力卸去后不能恢复的变形,这一阶段可分为：斜直线Oa和微弯曲线ab。,比例极限,弹性极限,屈服极限,2.屈服阶段 bc,上屈服极限,下屈服极限,强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。,3.强化阶段 cd,强度极限,
3、表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看见与轴线大致成45倾角的条纹。这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移线。因为在45的斜截面上剪应力最大。,在试件内所有晶格都发生滑移之后，沿晶格错动面产生了新的阻力，屈服现象终止。要使试件继续变形，必须增大拉力，这种现象称为材料的强化。强化阶段的变形绝大部分是塑性变形，这个阶段试件的横向尺寸明显缩小。e点所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限或抗拉强度，用 表示。,4.颈缩阶段 de,CL3TU6,比例极限 屈服极限 强度极限,其中 和 是衡量材料强度的重要指标,延伸率:,CL3TU6,截面收缩率:,CL3TU6,CL3TU7,冷作硬
4、化现象经过退火后可消除,卸载定律：,冷作硬化,材料在卸载时应力与应变成直线关系,二、其它材料的拉伸实验,对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，通常规定以产生0.2的塑性应变所对应的应力作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用0.2来表示。,CL3TU3,没有屈服现象和颈缩现象,只能测出其拉伸强度极限。,CL3TU4,灰口铸铁的拉伸实验,2-5 材料压缩时的力学性质,一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状。,CL3TU8,低碳钢压缩时的-曲线,CL3TU9,拉伸,压缩,铸铁压缩时的-曲线,CL3TU4,拉伸,压缩,蠕变及松弛现象,固体材料在保持应力不变的情况下，应变随时间缓慢增长的现象称为蠕变。粘弹
5、性材料在总应变不变的条件下,变形恢复力（回弹应力）随时间逐渐降低的现象称为应力松弛。,2-7 轴向拉伸或压缩时的强度计算,轴向拉压杆内的最大正应力:,强度条件：,式中：称为最大工作应力；称为材料的许用应力。,对于脆性材料,对于塑性材料,根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：,一、校核杆的强度已知Nmax、A、，验算构件是否满足强度条件。,二、设计截面已知Nmax、,根据强度条件，求A。,三、确定许可载荷已知A、，根据强度条件,求Nmax。,例1一直径d=14mm的圆杆，许用应力=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作用，试校核此杆是否满足强度条件。,解：,满足强度条件。,2-8 轴向
6、拉伸或压缩时的变形胡克定律,纵向线应变,横向线应变,关于横向变形：,从图中可看出，横向线应变为：,实验表明：当应力不超过比例极限时，横向应变 与轴向应变 之比的绝对值为一常数,即：,称为横向变形系数或泊松(Poisson)比，是一个无量纲的量。,轴向拉压杆胡克定律,大量各种不同工程材料的拉伸与压缩实验结果表明：在弹性范围内，当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。称为胡克定律（Hookes law）。,比例常数称为弹性模量。,弹性模量和泊松比都是材料本身固有的弹性常数，几种常用材料的E和 见教材P16表2-1。,对等截面直杆两端受轴力作用：,胡克定律计算变形的表达式,对于长度相同，受力
7、相等的杆件，EA值越大，变形越小，它代表了杆件抵抗拉伸或压缩变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。,FN 和 A 是所计算杆件或杆中某一段的内力和面积，且都是常量,即上式适用于等截面,常内力的情况。,说明：（1）变形量 的符号与轴力相一致；（2）构件的工作应力必须在线弹性范围内，胡克定律才成立；（3）公式适用于轴力与杆的横截面积都为常量的情况，即等直杆两端受轴力作用。,若1.等截面直杆，轴力沿轴线方向变化时：,叠加原理 几个(组)外力共同作用下在弹性体中所引起的效应,等于每组外力分别单独作用下引起的效应的代数和或几何合。叠加原理应用的条件：小变形,线弹性,载荷与所引起的效应成线性关系。,若2.
8、当截面尺寸沿轴线变化缓慢,且外力作用线与轴线重合时,我们在杆件中取出 dx 微段,由于 dx 非常微小,故在 dx 内,FN(x)和 A(x)可近似看成常量，则 dx 微段内杆的变形为：,整个杆件的变形,例1：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长l,CL2TU10,解:,例2：求图示结构结点A的垂直位移。,CL2TU11,解:,切线代圆弧,解:(1).校核强度对 B 点作受力分析,如图(b)。,由,故,例3:图示为一简单托架,BC 杆为圆钢,横截面直径 d=2
9、0mm,BD 杆为 8号 槽钢。若：F=60KN,试校核托架的强度,并求 B 点的位移。,(压力),(拉力),由教材型刚表P349可查 8号型钢的横截面积为,(2).求 B 点的位移,LCB,LDB,B,由胡克定律求 BC、BD 杆的变形：,再由几何关系即可求得 B 点的水平和垂直位移及总位移,LCB,LDB,2-9 应力集中的概念,应力集中现象:由于构件外形尺寸突然变化而引起的 局部应力 发生急剧增大的现象。,静载下,塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的,如铸铁）应考虑。动载下,塑性和脆性材料均需考虑。,应力集中系数是一个大于1的数，反映了应力集中的程度。应力集中程度与外形的突变程度直接相关
10、。突变越剧烈,应力集中程度越剧烈。,理论应力集中系数:,其中：,应力集中截面上的最大应力 同一截面上的平均应力（名义应力）,2-10直杆轴向拉伸或压缩时的变形能,一.基本概念,弹性体在外力作用下会产生变形。在变形过程中,外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。当外力逐渐减小,变形逐渐消失时,弹性体又是将 释放能量而作功。这种能量,因为是在弹性体变形 过程中产生的,因此我们就称其为 变形能。,1.定义 在外力作用下,弹性体因变形而储存于体内的能量,称为 变形能 或 应变能。,则：,设直线的斜率为 k,2.变形能的计算,图示杆件的上端固定,下端作用一外力 F,F 由零逐渐增加到 F。在比例极限的
11、范围之内,关系如图。,当外力加到 F1 时,杆件的伸长量用 L1 表示。,当外力加到 F1+F时,杆件的伸长量为 L1+d(L1)。,由于 F 为无穷小量,在区间(a,b)内可近似地认为 F1 为常量,则在这个区间内外力作的功为：,则拉力 F 所作的总功 W,即：,由胡克定律：,可知：,由于整个杆件内各点的受力是均匀的,故每单位体积内储存的变形能都相同,即比能相等,通常比能用 u 表示。,比能（单位体积的变性能）,由,有,（线弹性范围内）,单位：比能的单位为：,在加载过程中,外力在相应变形上所作的功 在数值上等于杆件所储存的变形能。（缓慢加载,忽略其它能量损耗。）杆件的变形能用 U 表示,则：
12、,功能原理：,解：,例：已知:F=10 kN,杆长 l=2m,杆径 d=25mm,=30,材料的弹性模量 E=210GPa。求：图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求 结点 A 的位移 A。,而,2-11 拉伸与压缩的静不定问题,一、静不定问题及其解法静定问题：根据静力平衡方程即可求出全 部未知力（支反力和轴力）静不定问题：未知力数目多于静力平衡方程数目,静不定次数：未知力数目与独立的平衡方程数目之差,例1：求图示杆的支反力。,CL2TU15,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,引用胡克定律：,由此得：,联立求解(1)和(2),得：,例2：刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料相同，许用
13、应力为，材料的弹性模量为 E，杆长均为l，横截面面积均为A，试求结构的许可载荷P,CL2TU16,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,即：,联立求解(1)和(2),得：,3杆轴力为最大,其强度条件为:,例3：求图示各杆的轴力。,CL2TU17,解（1）静力平衡条件：,（2）变形协调条件（几何方程）,由结构、材料、荷载的对称性,（3）物理方程,(4)补充方程 把物理方程代入几何方程，得到补充方程：,联立 补充方程和平衡方程即可求得未知力如下,可见,各杆的内力与各杆的刚度有关。,例4：如图所示，为刚杆，1、2、3杆、均相同，求各杆内力值。,CL2TU20,解（1）静力平衡方程,（2）变形协调方程,
14、（3）物理方程（胡克定律）,即,代入变形协调方程,得到补充方程,联立三个方程即可求解各杆的轴力,例5：求图示等直杆件的两端支反力。杆件两端固定,CL2TU21,解：,变形协调条件：,二、装配应力,CL2TU18,解：静力平衡条件：,变形协调条件：,引用胡克定律：,1).平衡方程,2).几何方程,三、温度应力,例1、如图所示静不定结构,求:其温度由,时,构件内部的应力值。,解：,解除 B 端约束,由于温度变化杆件自由伸长,再加上 RB,使 B 端回到原始位置,则有,4).补充方程,5).由补充方程可直接求得杆端约束反力,3).物理方程,线胀系数,进而求得构件横截面上温度应力为,线膨胀系数：单位长
15、度的杆温度升高1时杆的伸长量,例2:在温度为时安装的铁轨，每段长度为12.5m，两相邻段铁轨间预留的空隙为=1.2mm，当夏天气温升为40时，铁轨内的温度应力为多少？已知：E=200GPa，线膨胀系数12.510-6。,解：变形协调条件为,2-13 剪切和挤压的实用计算一、剪切的实用计算构件的受力特点：作用于构件两侧的外力的合力是一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向力。,变形特点：以两力P之间的横截面为分界面，构 件的两部分沿该面发生相对错动。,销轴连接,受力特点：大小相等,方向相反,作用线相距很近的一对力,作用于构件两个侧面上,与构件轴线垂直。变形特点：使构件两部分沿剪切面有发生相对
16、错动的趋势。,以两力 F 之间的横截面为分界面,构件的两部分沿该面发生相对错动,这个面称为剪切面。,具有上述两个特点的变形,称为剪切变形。,（一）剪切的概念,1.剪力,如图所示,沿截面 mm 假想的把螺栓分成两部分，并取上半部分作为研究对象,如图：mm 面上的合力用 Fs 表示。,则：由,由于 Fs 与剪切面相切,故称 Fs 为剪切面上的剪力 为内力。,（二）剪切的计算,2.剪应力,由于构件在发生剪切变形时,变形及受力都比较复杂,用理论的方法计算这些应力,不仅非常困难,而且跟实际情况出入较大,因此在工程中我们采用实用计算方法。,在这种方法中,假想剪切面上的应力是均匀分布的，若把剪切面积记为 A
17、,因其与截面相切,故称为剪应力,又称为名义剪应力。,3.强度条件：,同拉压强度条件一样,剪切强度条件为：,其中：,极限剪应力,n 安全系数,许用剪应力,注：许用剪应力 可以从有关设计手册中查得，或通过下面的材料剪切实验来确定。,2).设计截面(构件安全工作时的合理截面形状和大小),1).强度校核(判断构件是否破坏),4.剪切强度计算 三个方面的计算,可对构件进行强度校核。,从而可进行截面设计。,3).许可载荷的确定(构件最大承载能力的确定),如：若截面为圆形，由,若截面为正方形，由,目录,（一）概念,如图所示,两块厚度为 t 的木板.被一个铆钉铆接在一起,在这两块板上分别作用着一对大小相等,方
18、向相反的外力 F,由于外力 F 的作用,使铆钉受到了如图所示的分布力系的作用,从而发生了剪切变形。同时,由于铆钉与板之间的相互挤压,使得原为圆形的孔变成了长圆形,称为挤压变形。如果这个变形过大,同样可使结构破坏。因此,对于这样的构件不仅要进行剪切强度计算,同时也挤压强度计算。,二、挤压的实用计算,（二）计算,1.应力计算（实用计算方法）,其中：Fbs 挤压面上的作用力 为外力的传递 Abs 挤压面面积（两个物体的接触面）,2.强度条件：,3.关于挤压面 Abs 的确定,(2)当挤压面为圆柱面的一部分时,Abs 圆柱直径面的面积,挤压面面积,2).设计截面(构件安全工作时的合理截面形状和大小),
19、1).强度校核(判断构件是否破坏),从而可进行截面设计。,可对构件进行强度校核。,或,3).许可载荷的确定(构件最大承载能力的确定),例1:图示受拉力 F 作用下的螺栓,已知材料的剪切 许用应力 是拉伸许用应力 的 0.6倍。求：螺栓直径 d 和螺栓头高度 h 的合理比值。,（三）举例,解：,例2.拉杆头部尺寸如图所示，已知：=100MPa,许用挤压应力 bs=200MPa。求：校核拉杆头部的强度。,解:,例3.拉杆及头部均为圆截面,材料的许用剪应力 100 MPa,许用挤压应力 bs240MPa。求:由拉杆头的强度确定容许拉力 F。,F,解：由剪应力强度条件：,由挤压强度条件：,求得,故：,例4.已知:F、a、b、l。求:计算榫接头的剪应力和挤压应力。,解：,例5 一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板。钢板与 铆钉 材料相同。铆钉直径 d=16mm,钢板的尺寸为 b=100mm，t=10mm，F=90kN，铆钉的许用应力是=120MPa，bS=340MPa，钢板的许用拉应力=160MPa.试：校核铆钉接头的强度（假定每个铆钉均匀受力）,(1)校核铆钉的剪切强度,每个铆钉受力为 F/4,每个铆钉受剪面上的剪力为,(2)校核铆钉的挤压强度,每个铆钉受挤压力为 F/4,(3)校核钢板的拉伸强度,整个接头是安全的,
